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Vídeo de la lección: Probabilidad condicionada Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo calcular probabilidades condicionadas usando fórmulas y diagramas de Venn.

17:25

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender sobre la probabilidad condicionada. Vamos a resumir algunas reglas básicas de probabilidad, vamos a ver sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles, vamos a jugar con diagramas de Venn y a aprender cómo determinar si dos sucesos son independientes. Para comenzar, vamos a repasar algunas reglas de probabilidad.

(1) Representamos probabilidades en la escala de probabilidad, con números de cero a uno. (2) Algo tiene que suceder; si sumamos todas las probabilidades de todos los resultados posibles, el resultado debe ser la unidad. Algo sucede o no sucede. (3) Usamos 𝐴 con una raya sobre la letra o 𝐴 prima para representar el complemento o contrario de 𝐴, o sea, el suceso de que 𝐴 no ocurra. Si conocemos la probabilidad de que el suceso ocurra, y restamos eso de uno, obtenemos la probabilidad de que el suceso 𝐴 no ocurra. Podemos representar esto en un diagrama de Venn. Si el círculo A representa ocasiones en las que el suceso 𝐴 ocurre, entonces el área sombreada fuera de él son todas las ocasiones en las que no ocurre.

(4) La probabilidad de que ocurra el suceso 𝐴 o de que ocurra el suceso 𝐵 se conoce como probabilidad de 𝐴 unión 𝐵. Y se puede representar en un diagrama de Venn como este. (5) La probabilidad de que ocurra el suceso 𝐴 y el suceso 𝐵 se conoce como probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵. Y se puede representar en un diagrama de Venn como este. (6) La probabilidad de que el suceso 𝐴 ocurra pero el suceso 𝐵 no ocurra se puede representar mediante 𝐴 intersección del complemento de 𝐵. Y se ve así en un diagrama de Venn. Y una forma alternativa de escribir esto es que es la probabilidad de 𝐴 menos la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵.

A continuación, vamos a resumir nuestro conocimiento de sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes. Por ejemplo, un animal puede ser un gato o un perro. Pero no puede ser tanto un gato como un perro. Por lo tanto, ser gato y ser perro son sucesos mutuamente excluyentes o inconexos. Y cuando este es el caso, la probabilidad de obtener una intersección de esos dos sucesos es cero. Y como no hay superposición, si queremos hallar la probabilidad de que un animal sea un gato o un perro, simplemente necesitamos sumar las probabilidades de que sea un gato y la probabilidad de que sea un perro. Ahora bien, con sucesos no mutuamente excluyentes o no incompatibles, los dos sucesos pueden ocurrir a la vez. Por ejemplo, a una persona le pueden gustar solo los gatos o le pueden solo gustar los perros. Y pueden gustarles los gatos y los perros. Por lo tanto, que le gusten los gatos y le gusten los perros no son sucesos incompatibles.

Si este es el caso, debemos tener cuidado en la forma en que calculamos la probabilidad de que a una persona le gusten los gatos o los perros, la unión de los gatos y los perros. Esta región de color rosa representa a las personas a las que les gustan los gatos, y esta región de color verde representa a las personas a las que les gustan los perros. Si sumamos la probabilidad de que a alguien le gusten los gatos y la probabilidad de que a alguien le gusten los perros, contamos dos veces esta región en el medio. Por lo tanto, necesitamos hacer un ajuste en nuestro cálculo. Y, por lo tanto, la fórmula general es que la probabilidad de 𝐴 unión 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 más la probabilidad de 𝐵 menos la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵.

Bien, con esto hemos pasado lo que ya sabemos. Así que, hablemos ahora de probabilidad condicional. Si la probabilidad de un suceso 𝐵 se ve afectada por la ocurrencia o no de un suceso 𝐴, entonces decimos que la probabilidad de 𝐵 está condicionada a la ocurrencia de 𝐴. Y podemos escribir esto de esta manera, 𝐵 raya vertical (o raya oblicua) 𝐴. Y decimos la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴. Bien, veamos ahora un ejemplo en el que los sucesos no son mutuamente excluyentes. Esto nos lleva a una situación en la que la probabilidad de un suceso está condicionada a la probabilidad del otro.

Supongamos que, en una calle, 10 casas tienen un gato, C, ocho casas tienen un perro, D, tres casas tienen ambos y siete casas no tienen ninguno. Ahora bien, esta cuestión se divide en tres partes. Veamos la primera parte. Halla el número total de casas en la calle. Por lo tanto, halla la probabilidad de que una casa elegida al azar tenga tanto un gato como un perro. Da la respuesta con tres cifras decimales.

Una excelente manera de abordar esta cuestión es dibujar un diagrama de Venn. En este caso, el conjunto universal para un diagrama de Venn son todas las casas en la calle. El círculo de la izquierda representa las casas que tienen un gato. El círculo de la derecha representa las casas que tienen un perro. Y la intersección de esos dos círculos son las casas que tienen ambos. Cualquier cosa que esté fuera de los círculos, pero dentro del rectángulo es una casa que no tiene ni un gato ni un perro. Ahora nos dicen que 10 casas tienen un gato, pero que están distribuidas en casas que solo tienen un gato y casas que tienen un gato y un perro. Del mismo modo, las ocho casas que tienen un perro se van a distribuir entre las casas que solo tienen un perro y las que tienen tanto un gato como un perro.

Así que será más fácil para nosotros comenzar mirando las casas que tienen un gato y un perro, y hay tres de esas. Y hay 10 casas que tienen un gato y tres de ellas son casas que también tienen un perro. Eso deja 10 menos tres, son siete casas, que solo tienen un gato. Y de las ocho casas que tienen un perro, tres de ellas también tienen un gato, por lo que quedan ocho menos tres, que son cinco, que solo tienen un perro. Y, por último, también nos dicen que siete casas no tienen gatos ni perros. Así que es un siete aquí afuera.

El número total de casas en la calle se compone de las siete casas que solo tienen un gato, las cinco casas que solo tienen un perro, las tres casas que tienen un gato y un perro, y las siete casas que no tienen gatos ni perros. Y cuando las sumamos, obtenemos 22. Después, tenemos que calcular la probabilidad de que una casa elegida al azar tenga tanto un gato como un perro. Una forma de pensar en esta cuestión de probabilidad es qué fracción de las casas en la calle tienen un gato y un perro. Hemos visto que tres casas tienen un gato y un perro, y hay 22 casas en total. Por lo tanto, la fracción de casas que tienen un gato y un perro es tres sobre 22. Y si elegimos las casas al azar, la probabilidad de elegir una casa con un gato y un perro viene dada por esa fracción. Y con tres cifras decimales es 0.316.

La segunda parte de la cuestión nos pide hallar la probabilidad de que una casa en la calle tenga un gato, un perro o ambos. Da la respuesta con tres cifras decimales.

Bien, eso es suponiendo que la casa es elegida al azar. Esto es solo una cuestión de contar los casos en los que las casas tienen un gato, un perro o ambos de nuestro diagrama de Venn. Y la probabilidad que estamos buscando es simplemente el número de casas con un gato, un perro o ambos como una fracción del número total de casas en la calle. Siete casas solo tienen un gato, cinco casas solo tienen un perro y tres casas tienen ambos. Así que son 15 casas. Y vimos anteriormente que el número total de casas era 22. Así que la probabilidad que buscamos es 15 sobre 22. Y, con tres cifras decimales, eso es 0.682.

La tercera parte es una cuestión de probabilidad condicional. Sabiendo que una casa en la calle tiene un gato, halla la probabilidad de que también haya un perro viviendo allí.

Nos han dicho que en la casa hay un gato viviendo allí. Conociendo este hecho, ¿cuál es la probabilidad de que también haya un perro viviendo allí? Mirando nuestro diagrama de Venn, podemos descartar inmediatamente todos los casos de casas que no tienen gatos. Así que podemos reformular esta cuestión así: de las casas que tienen gatos, ¿qué fracción también tiene perros? Solo necesitamos fijarnos en estas siete casas y en estas tres casas. Eso es un total de 10 casas que tienen gatos. Y de esas 10 casas, solo estas tres también tienen un perro. Tres de las 10 casas que tienen gatos también tienen un perro. Así que la probabilidad de que una casa tenga un perro, sabiendo que tienen un gato, es tres décimos. Hemos dado las otras respuestas como decimales, así que hagámoslo aquí también. La probabilidad de que una casa tenga un perro sabiendo que tiene un gato es 0.3.

Antes de pasar a nuestro siguiente ejemplo, generalicemos el último resultado. Al decirnos que la casa tenía un gato, eso nos determinó un subconjunto de casos a considerar. Limitamos nuestro interés solo a las casas con gatos. Y dado que solo estamos mirando casas que tienen gatos, las casas que tienen perros también deben tener gatos. Por lo tanto, la probabilidad de que una casa tenga un perro sabiendo que tiene un gato es igual a la probabilidad de intersección perro sobre gato sobre la probabilidad de un gato. O, más generalmente, la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵 es la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 sobre la probabilidad de 𝐵.

Supongamos ahora que 𝐴 y 𝐵 son dos sucesos. Sabiendo que la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 es dos tercios y la probabilidad de 𝐴 es nueve treceavos, halla la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴.

Quizás recuerdes la fórmula general para la probabilidad condicional de que la probabilidad de 𝐴 condicionada a 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 sobre la probabilidad de 𝐵. Pero nos han pedido hallar la probabilidad de 𝐵 condicionada a 𝐴. Así que hemos intercambiado 𝐴 y 𝐵 en nuestra fórmula. Bien. Estamos buscando la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴. Nos han dado probabilidad 𝐴 en la cuestión, pero nos han dado la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵, no de 𝐵 intersección 𝐴. Pero veamos un diagrama de Venn.

La región 𝐴 intersección 𝐵 es la misma que la región 𝐵 intersección 𝐴. Así que una fórmula equivalente es que la probabilidad de 𝐵 condicionada a 𝐴 es igual a la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 sobre la probabilidad de 𝐴. Nos dijeron que la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 es dos tercios y la probabilidad de 𝐴 es nueve treceavos. De modo que la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴 es dos tercios dividido por nueve treceavos. Y un cálculo equivalente a dividir por nueve treceavos es multiplicar por su recíproco, 13 sobre nueve, lo que nos da nuestra respuesta. La probabilidad de 𝐵 dado 𝐴 es 26 sobre 27.

Así que hemos visto que podemos resolver cuestiones de probabilidad condicionada usando diagramas de Venn o usando la fórmula de la probabilidad condicional. Pero la fórmula de la probabilidad condicional tiene un uso especial adicional. Puede ayudarnos a determinar si dos sucesos son independientes o dependientes.

Y, como dijimos antes, sucesos independientes son aquellos en los que el resultado de un suceso no se ve afectado en absoluto por el resultado de otro. Por ejemplo, si lanzamos una moneda y un dado, obtendremos cara o cruz en la moneda y uno o dos o tres o cuatro o cinco o seis en el dado. Independientemente de si la moneda cae cara o cruz, eso no tendrá ningún impacto en si obtendremos un uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis en el dado. Esas probabilidades son completamente independientes de las probabilidades de cara y cruz al lanzar una moneda.

Pero con los sucesos dependientes, el resultado de un suceso se ve afectado por el resultado de otro suceso. Por ejemplo, supongamos que tenemos una bolsa con dos caramelos: uno de fresa y otro de naranja. Si la persona uno viene y escoge un caramelo al azar y se lo come, entonces, de los dos caramelos, es igualmente probable que escoja fresa o naranja. La probabilidad en cada caso es un medio. Ahora bien, si consideramos un segundo suceso, en el que la persona dos viene después de que la persona uno ha comido su caramelo y escoge un caramelo al azar de la bolsa y se lo come, realmente no sabemos cuál es la probabilidad de obtener fresa o naranja. Todo depende del caramelo que comió la persona uno.

Si la persona uno comió el caramelo de fresa, entonces la probabilidad de que la segunda persona obtenga un caramelo de fresa es cero y la probabilidad de que obtenga un caramelo de naranja es uno, mientras que, si la primera persona comió el caramelo de naranja, ahora la probabilidad de que la segunda persona obtenga un caramelo de fresa es uno y la probabilidad de que obtenga uno de naranja es cero. La probabilidad de los diferentes resultados del segundo suceso depende de los resultados del primer suceso. Para calcular la probabilidad de que ocurran ambos sucesos, la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 con sucesos independientes, podemos simplemente multiplicar sus probabilidades individuales.

Pero también sabemos por la fórmula de probabilidad condicionada que la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 partido por la probabilidad de 𝐵. Y podemos reorganizar esto para hacer que la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 sea el sujeto. Y eso es igual a la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵 por la probabilidad de 𝐵. Eso nos da dos expresiones diferentes para la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵. Y eso significa que la probabilidad de 𝐴 es igual a la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵. Y, por supuesto, si invertimos 𝐴 y 𝐵, podemos ver que la probabilidad de 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴.

Ahora bien, esto nos da una especie de definición de independencia, o al menos una forma de verificar si dos sucesos son independientes. Si la probabilidad de que ocurra el primer suceso es la misma si ocurre el segundo suceso o no, entonces los sucesos son independientes. Podemos ver que la probabilidad de 𝐵 es la misma ya sea que el suceso 𝐴 haya ocurrido o no. Entonces, si ambas ecuaciones se cumplen, podemos decir que los eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes. Veamos, pues, cómo funciona eso en una cuestión.

Supongamos que la probabilidad de 𝐴 es dos quintos y la probabilidad de 𝐵 es tres séptimos. La probabilidad de que el suceso 𝐴 ocurra y el suceso 𝐵 también ocurra es un quinto. Calcula la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵 y consecuentemente indica si los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes.

Bien, primero, recordemos la fórmula de la probabilidad condicionada. La probabilidad de 𝐴 dado 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 sobre la probabilidad de 𝐵. La probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵, que es la probabilidad de que el suceso 𝐴 ocurra y el suceso 𝐵 también ocurra, nos la dieron en la cuestión y es un quinto. Y también se nos dijo en la cuestión que la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐵 es de tres séptimos. Así que la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵 es un quinto dividido por tres séptimos. Y, por supuesto, una operación equivalente a dividir por una fracción es multiplicar por el recíproco de esa fracción. Esto es igual a un quinto por siete sobre tres. Ahí está la respuesta a nuestra primera parte de la cuestión. La probabilidad de 𝐴 dado 𝐵 es igual a siete quinceavos.

Para la segunda parte de la cuestión, recordemos nuestra prueba de independencia usando las fórmulas de probabilidad condicionada. Si la probabilidad de 𝐴 es igual a la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵 y la probabilidad de 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴, entonces podemos decir que los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes. La cuestión nos dice que la probabilidad de 𝐴 es dos quintos. Así que el siguiente paso es calcular la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵. De hecho, eso es lo que resolvimos en la primera parte de la cuestión. Así que sabemos que la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵 es siete quintos.

Ahora bien, si dos quintos es lo mismo que siete quinceavos, necesitamos continuar para verificar si la probabilidad de 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴. Para comparar dos quintos y siete quinceavos, necesitamos obtener un denominador común. Podemos hacer esto multiplicando el numerador y el denominador por tres, y, haciendo esto, dos quintos se convierten en seis quinceavos. Eso significa que la probabilidad de 𝐴 no es igual a la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵. Y como ambas condiciones deben ser ciertas para que los sucesos 𝐴 y 𝐵 sean independientes, el hecho de que hayamos demostrado que la probabilidad de 𝐴 no es igual a la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵 implica que estos dos eventos no son independientes. Ni siquiera necesitamos comprobar si la probabilidad de 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴.

Repasemos los principales puntos de este video. Si la probabilidad del suceso 𝐵 se ve afectada por el resultado del suceso 𝐴, decimos que la probabilidad del suceso 𝐵 está condicionada por el suceso 𝐴. Representamos esto usando la notación la probabilidad de 𝐵 condicionada a 𝐴. Esa es una 𝐵, una raya vertical u oblicua, y luego una 𝐴. Tenemos una fórmula para calcular probabilidades condicionadas. La probabilidad de que ocurra el suceso 𝐴 dado que el suceso 𝐵 ha ocurrido es igual a la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵 dividida por la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐵.

Y también tenemos una prueba para la independencia de los sucesos 𝐴 y 𝐵. Son independientes si la probabilidad de 𝐴 es la misma que la probabilidad de 𝐴 dado 𝐵 y la probabilidad de 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴. Y finalmente, también hemos visto cómo los diagramas de Venn pueden ser una excelente manera de responder cuestiones de probabilidad condicionada. Y también pueden ser de ayuda para verificar respuestas si usamos las fórmulas.

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