Vídeo: Derivación implícita

En este vídeo vamos a aprender cómo usar derivación implícita para derivar funciones definidas implícitamente.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo usar derivación implícita para ayudarnos a hallar la derivada de funciones expresadas implícitamente como funciones de 𝑥. La mayoría de los problemas de derivación que nos hemos encontrado hasta ahora tenían funciones expresadas explícitamente como funciones de 𝑥, como 𝑦 igual a tres 𝑥 al cuadrado sen 𝑥. En este vídeo vamos a aprender cómo la derivación implícita, que es un desarrollo de la regla de la cadena, nos permite derivar fácilmente ecuaciones como la ecuación cartesiana de una circunferencia, 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a uno, por ejemplo. También vamos a ver lo que esto supone para la segunda derivada y para derivadas de orden superior.

La regla de la cadena nos permite derivar funciones compuestas. Esta regla afirma que, para dos funciones derivables, 𝑔 y ℎ, siendo 𝑓 la función compuesta 𝑔 de ℎ de 𝑥, la derivada de 𝑓 es la derivada de ℎ de 𝑥 por la derivada de 𝑔 calculada en ℎ de 𝑥. Sin embargo, esto resulta mucho más intuitivo si lo expresamos como d𝑦 sobre d𝑥 igual a d𝑢 sobre d𝑥 por d𝑦 sobre d𝑢, donde 𝑦 es una función de 𝑢 y 𝑢 es una función de 𝑥. Vamos a ver cómo la regla de la cadena puede ayudarnos a hallar la derivada de una función implícita.

Considera la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a uno. Usando derivación implícita, halla una expresión para d𝑦 sobre d𝑥 en términos de 𝑥 e 𝑦. Y tenemos una segunda parte en este enunciado. Para la semicircunferencia en la que 𝑦 es mayor o igual que cero, expresa 𝑦 explícitamente en términos de 𝑥, y luego deriva esta expresión para obtener una expresión para d𝑦 sobre d𝑥 en términos de 𝑥.

Vamos a empezar por la primera parte. Para derivar la función implícitamente, vamos a comenzar derivando ambos lados de la ecuación con respecto a 𝑥. Puede que esto parezca un poco extraño, pero ten paciencia. Decimos que la derivada de 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de uno con respecto a 𝑥. Y debemos hacer esto en ambos lados de la ecuación. Luego derivamos lo que podemos. Es bastante sencillo derivar uno con respecto a 𝑥. Es cero. Pero, ¿cómo derivamos 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado?

Bueno, la derivada de 𝑥 al cuadrado es dos 𝑥. Sin embargo, la derivada de 𝑦 al cuadrado es un poco más difícil de hallar. Sabemos que 𝑦 al cuadrado es una función de 𝑦. Y, a su vez, 𝑦 es una función de 𝑥. Por lo tanto, aquí podemos usar la regla de la cadena. Decimos que la derivada de 𝑦 al cuadrado con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de 𝑦 al cuadrado con respecto a 𝑦 por la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥. Bien, la derivada de 𝑦 al cuadrado con respecto a 𝑦 es dos 𝑦. Y la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es d𝑦 sobre d𝑥. De este modo, nuestra ecuación se convierte en dos 𝑥 más dos 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥 igual a cero.

Recordemos que queremos hallar una expresión para la derivada. Así que vamos a despejar d𝑦 sobre d𝑥, restando primero dos 𝑥 a ambos lados de la ecuación. Así, obtenemos que dos 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos dos 𝑥. Luego, dividimos por dos 𝑦. Y vemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos dos 𝑥 dividido por dos 𝑦. Bien, los doses se cancelan. Y hemos hallado una expresión para d𝑦 sobre d𝑥 en términos de 𝑥 y de 𝑦: menos 𝑥 sobre 𝑦.

Para resolver la segunda parte de la cuestión tenemos que volver a la ecuación original. Vamos a comenzar despejando 𝑦 en la ecuación. Eso es lo mismo que expresar 𝑦 explícitamente en términos de 𝑥. Restamos 𝑥 al cuadrado de ambos lados. Y luego tomamos la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación. Ahora bien, normalmente tomamos la raíz cuadrada positiva y negativa. Aquí, sin embargo, se nos dice que la semicircunferencia es tal que 𝑦 es mayor o igual que cero. Así que vamos a considerar solo la raíz cuadrada positiva. Y hemos obtenido una función explícita en 𝑥.

Ahora bien, si la escribimos como uno menos 𝑥 al cuadrado elevado a un medio, vemos que podemos usar la regla de las potencias para derivar esto. Esta regla nos dice que, si 𝑢 es una función en 𝑥, la derivada de 𝑢 elevado a 𝑛 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑛 por 𝑢 elevado a 𝑛 menos uno por la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥. Esto es así para cualquier número real 𝑛. Así que la derivada de uno menos 𝑥 al cuadrado elevado a un medio es un medio por uno menos 𝑥 al cuadrado elevado a menos un medio por d𝑢 sobre d𝑥. Pero sabemos que 𝑢 es igual a uno menos 𝑥 al cuadrado. Así que la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥 es menos dos 𝑥. De nuevo, los doses se cancelan. Y nuestra expresión para d𝑦 sobre d𝑥 en términos de 𝑥 es menos 𝑥 sobre la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado.

Nos damos cuenta de que, como hemos dicho que 𝑦 es igual a la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado, podríamos escribir esto como d𝑦 sobre d𝑥 igual a menos 𝑥 sobre 𝑦. Y esta es la misma respuesta que obtuvimos en la primera parte del problema. Y, por supuesto, debemos recordar que 𝑦 no puede ser igual a cero aquí. Este ejemplo prueba algunos puntos importantes. Primero, que, aunque ha sido bastante fácil expresar esta relación como una función explícita, fue bastante más sencillo derivar usando derivación implícita.

Y, en general, cuando derivamos implícitamente, podemos usar la siguiente versión de la regla de la cadena. Esta dice que la derivada de una función de 𝑦 con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de esa función de 𝑦 con respecto a 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥. Conviene memorizar esta versión de la regla de la cadena. Ahora vamos a aplicarla en un ejemplo un poco más complicado.

Halla d𝑦 sobre d𝑥 por derivación implícita sabiendo que menos 𝑒 elevado a 𝑦 por seno de 𝑥 es igual a cuatro 𝑥𝑦 más dos 𝑥.

Para derivar esta función implícitamente, comenzamos derivando ambos lados de la ecuación con respecto a 𝑥. Comenzamos escribiendo esto como d sobre d𝑥 de menos 𝑒 elevado a 𝑦 por sen 𝑥 igual a d sobre d𝑥 de cuatro 𝑥𝑦 más dos 𝑥. Vamos a derivar cada término con respecto a 𝑥. Bien, la derivada de dos 𝑥 es sencilla, es dos. Vamos a tener que usar la regla del producto junto con la regla de la cadena para derivar cuatro 𝑥𝑦 y menos 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥. La versión especial de la regla de la cadena que necesitamos dice que la derivada de 𝑓 de 𝑦 con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥. Y la regla del producto dice que la derivada de 𝑢 por 𝑣 es igual a 𝑢 por la derivada de 𝑣 más 𝑣 por la derivada de 𝑢.

Pasamos a derivar cuatro 𝑥𝑦. Hacemos 𝑢 igual a cuatro 𝑥 y 𝑣 igual a 𝑦. Por lo tanto, la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥 es cuatro. La derivada de 𝑣 con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑦, que es uno por d𝑦 sobre d𝑥, que es sencillamente d𝑦 sobre d𝑥. 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 es cuatro 𝑥 por d𝑦 sobre d𝑥. Y 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥 es 𝑦 por cuatro. Por lo tanto, el lado derecho de la ecuación es cuatro 𝑥 d𝑦 sobre d𝑥 más cuatro 𝑦 más dos. Vamos a repetir este proceso para menos 𝑒 elevado a 𝑦 por sen 𝑥.

Esta vez hacemos 𝑢 igual a menos 𝑒 elevado a 𝑦 y 𝑣 igual a sen 𝑥. La derivada de sen 𝑥 es cos 𝑥. Y, luego, la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de menos 𝑒 elevado a 𝑦 con respecto a 𝑦, que es menos 𝑒 elevado a 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥. Luego, cuando usamos la regla del producto, vemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos 𝑒 elevado a 𝑦 cos 𝑥 menos 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥 d𝑦 sobre d𝑥. Así que nuestra ecuación es ahora la que se muestra. Recordemos que queremos hallar una ecuación para d𝑦 sobre d𝑥. Así que vamos a reorganizar y a despejar d𝑦 sobre d𝑥. Para hacer esto, vemos que menos 𝑒 elevado a 𝑦 cos 𝑥 menos cuatro 𝑦 menos dos es igual a cuatro 𝑥 más 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥, todo multiplicado por d𝑦 sobre d𝑥.

Ahora podemos factorizar menos uno en el lado izquierdo de la ecuación. Luego, dividimos por cuatro 𝑥 más 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥. Y obtenemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos 𝑒 elevado a 𝑦 cos 𝑥 más cuatro 𝑦 más dos sobre cuatro 𝑥 más 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥. Y, por supuesto, la derivada es válida cuando el denominador no es igual a cero, cuando cuatro 𝑥 más 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥 no es igual a cero. Es bastante común usar derivación implícita para hallar la ecuación de una tangente a una curva definida implícitamente. En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo podemos usar derivación implícita para resolver un problema de este tipo.

La ecuación 𝑦 al cuadrado menos 24𝑥 al cubo más 24𝑥 igual a cero describe una curva en el plano. 1) Halla las coordenadas de dos puntos en esta curva donde 𝑥 es igual a menos un medio. 2) Determina la ecuación de la tangente en los puntos donde 𝑥 es igual a menos un medio y donde la coordenada 𝑦 es positiva. 3) Halla las coordenadas de otro punto, si existe, en el que la tangente interseca la curva.

En la primera parte, para hallar los puntos en los que 𝑥 es igual a menos un medio, vamos a sustituir este valor de 𝑥 en nuestra ecuación, y vamos a hallar 𝑦. Eso es 𝑦 al cuadrado menos 24 por menos un medio al cubo más 24 por menos un medio. Esto es igual a cero. Operando obtenemos que 𝑦 al cuadrado más tres menos 12 es igual a cero, o sea, 𝑦 al cuadrado menos nueve es igual a cero. Y ahora resolvemos la ecuación sumando nueve a ambos lados.

El último paso es hallar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, y recordemos que debemos hallar la raíz cuadrada positiva y la raíz cuadrada negativa de nueve. La raíz cuadrada de nueve es tres. Así que 𝑦 es igual a tres y menos tres cuando 𝑥 es igual a menos un medio. En forma de coordenadas, esto es menos un medio, tres y menos un medio, menos tres.

Vayamos ahora a la segunda parte. Tenemos que hallar la ecuación de la tangente en un punto en el que la abscisa 𝑥 es igual a menos un medio y la ordenada 𝑦 es positiva. Ese es el punto menos un medio, tres. Pero vamos a hallar primero la pendiente de la tangente a la curva. Esta va a ser la derivada de la ecuación de la curva calculada en 𝑥 igual a menos un medio y en 𝑦 igual a tres. Así que vamos a derivar nuestra ecuación implícitamente. Esto es d sobre d𝑥 de 𝑦 al cuadrado menos 24𝑥 al cubo más 24𝑥 igual a d sobre d𝑥 de cero. La derivada de 𝑦 al cuadrado es la derivada de 𝑦 al cuadrado con respecto a 𝑦 por la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥. Es dos 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥. La derivada de menos 24𝑥 al cubo es tres por menos 24𝑥 al cuadrado. Esto es menos 72𝑥 al cuadrado. La derivada de 24𝑥 es 24. Y la derivada de cero es cero.

De este modo, tenemos que dos 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥 menos 72𝑥 al cuadrado más 24 es igual a cero. Necesitamos una ecuación para d𝑦 sobre d𝑥. Así que vamos a reorganizar para despejar d𝑦 sobre d𝑥. Para ello sumamos 72𝑥 al cuadrado a ambos lados de la ecuación y restamos 24. Luego dividimos por dos 𝑦. Y vemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 72𝑥 al cuadrado menos 24 sobre dos 𝑦, que se simplifica a 36𝑥 al cuadrado menos 12 sobre 𝑦. Recordemos que queremos hallar la pendiente de la tangente de la curva en menos un medio, tres. Así que vamos a sustituir 𝑥 igual a menos un medio y 𝑦 igual a tres en la ecuación de la derivada. Al hacerlo, obtenemos que la pendiente de la tangente es 36 por menos un medio al cuadrado menos 12, todo partido por tres, que es menos uno.

Finalmente, ponemos todo lo que sabemos de la tangente en la ecuación de una recta. Y obtenemos que 𝑦 menos tres es igual a menos uno por 𝑥 menos menos un medio. Distribuimos el paréntesis, simplificamos y reorganizamos para 𝑦, y obtenemos que 𝑦 es igual a cinco medios menos 𝑥.

Vamos a ver ahora la tercera parte. Tenemos que hallar un punto, si existe, en el que la tangente se encuentra de nuevo con la curva. Por lo tanto, vamos a resolver simultáneamente las ecuaciones 𝑦 al cuadrado menos 24𝑥 al cubo más 24𝑥 igual a cero y 𝑦 igual a cinco medios menos 𝑥. Podemos hacerlo sustituyendo 𝑦 igual a cinco medios menos 𝑥 en la ecuación original de la curva. Esto es cinco medios menos 𝑥, todo al cuadrado, menos 24𝑥 al cubo más 24𝑥 igual a cero. Desarrollamos el paréntesis, multiplicamos por menos uno y obtenemos la siguiente ecuación.

Podemos resolver esto usando una calculadora científica. Alternativamente, podemos usar que sabemos que 𝑥 igual a menos un medio es una raíz de esta ecuación. Y, podemos, por lo tanto, sacar el factor común 𝑥 más un medio. Podemos hacerlo dividiendo o agrupando coeficientes. El primero paso para igualar coeficientes es escribir esta ecuación. Y, aunque no es el objetivo de este vídeo emplear mucho tiempo en hacer esta operación, deberíamos hallar que 𝑎 es igual a 24, 𝑏 es menos 13 y 𝑐 es menos 25 partido por dos. Puedes pausar el vídeo si quieres para ver si puedes completar este paso tú mismo.

El último paso que tenemos que hacer es resolver la ecuación cuadrática 24𝑥 al cuadrado menos 13𝑥 menos 25 sobre dos igual a cero. Podemos hacerlo usando la fórmula cuadrática o completando el cuadrado. Resolviéndola vemos que 𝑥 es igual a menos un medio. Esta es una raíz doble. Y 𝑥 es igual a 25 partido por 24. Estamos hallando las coordenadas, así que sustituimos 𝑥 igual a 25 sobre 24 en la ecuación cinco sobre dos menos 𝑥. Y obtenemos un valor de 𝑦 de 35 sobre 24. Por lo tanto, la tangente de la ecuación 𝑦 igual a cinco medios menos 𝑥 interseca la curva en menos un medio, tres, y en veinticinco veinticuatroavos, treinta y cinco veinticuatroavos. En el último ejemplo vamos a ver cómo puede ayudarnos la derivación implícita a hallar derivadas de orden superior.

Sabiendo que dos sen 𝑦 menos cinco cos 𝑥 es igual a menos cuatro, determina, por derivación implícita, la segunda derivada de 𝑦.

Para hallar la segunda derivada de 𝑦, a veces llamada 𝑦 doble prima, vamos a tener que derivar nuestra función dos veces. Vemos que la función está expresada implícitamente mediante funciones de 𝑥. Así que vamos a usar derivación implícita y vamos a empezar hallando la derivada en ambos lados. Bien, la derivada de menos cuatro con respecto a 𝑥 es bastante fácil de calcular. Es cero. Del mismo modo, podemos hallar la derivada de menos cinco cos 𝑥 con respecto a 𝑥. Es cinco sen 𝑥. Pero, ¿qué hay de la derivada de dos sen 𝑦 con respecto a 𝑥? Bueno, aquí vamos a usar una versión especial de la regla de la cadena. Esta nos dice que la derivada de una función en 𝑦 con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de esa función con respecto a 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥.

La derivada de dos sen 𝑦 con respecto a 𝑦 es dos cos 𝑦. Así que nuestra ecuación es dos cos 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥 más cinco sen 𝑥. Y esto es igual a cero. Podemos hallar la primera derivada restando cinco sen 𝑥 a ambos lados de la ecuación y dividiendo por dos cos 𝑦. Recordemos, además, que queremos hallar la segunda derivada. Así que aquí vamos a tener que usar la regla del cociente para derivar menos cinco sen 𝑥 sobre dos cos 𝑦. Según nuestra notación, podemos hacer 𝑢 igual a menos cinco sen 𝑥 y 𝑣 igual a dos cos 𝑦. d𝑢 sobre d𝑥 es menos cinco cos 𝑥. Luego, como la derivada de 𝑣 con respecto a 𝑦 es menos dos sen 𝑦, podemos ver que d𝑣 sobre d𝑥 es menos dos sen 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥.

Sustituimos cada uno de estos términos en la fórmula de la regla del cociente. Luego simplificamos y nos acordamos de que hemos dicho que d𝑦 sobre d𝑥 es menos cinco sen 𝑥 sobre dos cos 𝑦. Así que podemos sustituir esto en la fórmula de la segunda derivada. Para simplificar esto de algún modo, multiplicamos el numerador y el denominador de nuestra fracción por dos cos 𝑦. Y luego simplificamos un poco más. Distribuimos este menos uno, y podemos ver que la segunda derivada de nuestra función es 25 sen al cuadrado 𝑥 sen 𝑦 menos 10 cos 𝑥 cos al cuadrado 𝑦, todo partido por cos al cubo 𝑦. Y está fórmula es válida siempre que cos 𝑦 no sea igual a cero.

En este vídeo hemos visto que, cuando tenemos una función definida implícitamente, podemos usar una versión especial de la regla de la cadena para derivarla. La derivada de una función en 𝑦 con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de esa función en 𝑦 con respecto a 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥. También hemos visto que, aunque sea posible reescribir la relación como una función explícita, a menudo es más fácil y conveniente usar derivación implícita. También hemos aprendido que, cuando derivamos implícitamente, obtenemos una expresión para d𝑦 sobre d𝑥 en términos de 𝑥 y de 𝑦. Y, por último, hemos visto que podemos hallar derivadas de orden superior usando derivación implícita. Y, en estos casos, tenemos que sustituir las expresiones que conocemos de las derivadas de orden inferior para ayudarnos a simplificar las expresiones.

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