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En este video, vamos a aprender cómo sumar, restar, multiplicar o dividir dos funciones para crear una nueva función y cómo determinar el dominio de la nueva función. No vamos a ver, sin embargo, la composición de funciones, que es un concepto un tanto diferente.
Combinar funciones de estas maneras es increíblemente intuitivo. Supongamos que tenemos dos funciones 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥. Y tenemos las siguientes operaciones y la notación asociada. La función 𝑓 más 𝑔 de 𝑥 es igual a la suma de las funciones, 𝑓 de 𝑥 más 𝑔 de 𝑥. Podemos decir lo mismo de la resta: 𝑓 menos 𝑔 de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥. De igual forma, tenemos que 𝑓𝑔 de 𝑥 es 𝑓 de 𝑥 por 𝑔 de 𝑥. Y luego 𝑓 sobre 𝑔 de 𝑥 es 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥. Y todo esto es bastante sencillo.
Pero debemos tener mucho cuidado al combinar funciones y considerar el dominio de la nueva función. El dominio de la nueva función será la intersección o superposición del dominio de 𝑓 y el dominio de 𝑔. En otras palabras, ambas funciones deben estar definidas en un punto para que la combinación de las funciones también esté definida. Y, por supuesto, si estamos trabajando con la división de funciones, un requisito adicional es que el denominador, que aquí es 𝑔 de 𝑥, no puede ser igual a cero. Ahora que tenemos algunas de estas definiciones, veamos cómo podemos responder una cuestión.
Sabiendo que 𝑓 y 𝑔 son dos funciones reales donde 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 más nueve sobre 𝑥 al cuadrado más 15𝑥 más 54 y 𝑔 de 𝑥 es igual a 𝑥 más ocho, determina el valor de 𝑓 menos 𝑔 de menos seis si es posible.
Comencemos considerando lo que queremos decir con la combinación de funciones 𝑓 menos 𝑔. 𝑓 menos 𝑔 de 𝑥 es igual a la diferencia entre las funciones 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥; es 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥. Ya que nuestras funciones están definidas como 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 más nueve sobre 𝑥 al cuadrado más 15𝑥 más 54, y 𝑔 de 𝑥 es 𝑥 más ocho, vemos que 𝑓 menos 𝑔 de 𝑥 aquí es 𝑥 más nueve sobre 𝑥 al cuadrado más 15𝑥 más 54 menos 𝑥 más ocho. Y podemos seguir adelante y simplificar esto, pero en realidad no es necesario, ya que estamos tratando de determinar si podemos evaluar la función en 𝑥 igual a menos seis.
Así que necesitamos considerar cuál es el dominio de nuestra función 𝑓 menos 𝑔 de 𝑥. Bien, el dominio de una combinación de funciones es igual a la intersección de los dominios de las funciones respectivas. Así que aquí, necesitamos hallar el dominio de 𝑓 de 𝑥 y de 𝑔 de 𝑥. Primero, 𝑔 de 𝑥 es la función 𝑥 más ocho, y eso es un polinomio. Sabemos que el dominio de un polinomio es simplemente el conjunto de los números reales. Por lo tanto, podemos decir que el dominio de 𝑔 de 𝑥 es el conjunto de los números reales; 𝑥 puede ser cualquier número real. Pero ¿qué pasa con la función 𝑓 de 𝑥? Bien, 𝑓 de 𝑥 es el cociente de dos polinomios. Y cuando pensamos en estos cocientes, debemos asegurarnos de que el denominador no es igual a cero.
Y lo que vamos a hacer es igualar a cero el denominador de 𝑓 de 𝑥 y despejar 𝑥. Y así obtendremos los valores de 𝑥 que necesitamos excluir de nuestra función ya que nos darán un valor de cero en un denominador. 𝑥 al cuadrado más 15𝑥 más 54 es igual a cero. Factorizamos la expresión en el lado izquierdo. Es una expresión cuadrática, así que vamos a tener un par de paréntesis con 𝑥 al principio de cada paréntesis. Y buscamos dos números que multiplicados hacen 54, o sea, tienen un producto de 54, y que sumados hacen 15. Esos números son seis y nueve, por lo que nuestra expresión se factoriza a 𝑥 más seis por 𝑥 más nueve.
Y ahora sabemos que, como el producto de estos binomios es igual a cero, uno u otro de ellos debe ser igual a cero. Es decir, 𝑥 más seis es igual a cero o 𝑥 más nueve es igual a cero. Si resolvemos esta primera ecuación restando seis de ambos lados, obtenemos 𝑥 igual a menos seis. Y cuando resolvemos la segunda ecuación, obtenemos 𝑥 igual a menos nueve. Así que los valores de 𝑥 que hacen que el denominador de nuestra función 𝑓 de 𝑥 sea igual a cero son menos seis y menos nueve. Y como 𝑓 de 𝑥 es un cociente de dos polinomios, sabemos que su dominio es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos números reales que hacen que el denominador sea igual a cero.
El dominio de 𝑓 de 𝑥 es el conjunto de los números reales menos el conjunto formado por los elementos menos seis y menos nueve. El dominio de nuestra función combinada 𝑓 menos 𝑔 de 𝑥 es la intersección de nuestros dos dominios, el dominio de 𝑓 de 𝑥 y el de 𝑔 de 𝑥. El solapamiento del dominio de 𝑓 de 𝑥 y el de 𝑔 de 𝑥 es el conjunto de los números reales menos el conjunto formado por menos seis y menos nueve. Y así, si volvemos a lo que nos pide nuestra cuestión, que es calcular 𝑓 menos 𝑔 de menos seis, podemos ver que menos seis no está en el dominio de esta función. Y, por lo tanto, no podemos hallar este valor. Pues la función 𝑓 menos 𝑔 de 𝑥 no está definida en ese punto. Así que decimos que el valor de 𝑓 menos 𝑔 de menos seis no está definido.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo la inclusión de una función radical afecta el dominio de la suma de dos funciones.
Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones reales, donde 𝑓 de 𝑥 es 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 más uno, halla el dominio de la función 𝑓 más 𝑔.
En primer lugar, recordemos que la función combinada 𝑓 más 𝑔 es simplemente la suma de las funciones 𝑓 y 𝑔. Queremos hallar el dominio de esta función combinada. Recordamos que el dominio de 𝑓 más 𝑔, o sea, el conjunto de los valores de entrada que producirán valores de salida reales, es la intersección de los dominios de 𝑓 y 𝑔. Hallemos, pues los dominios de 𝑓 y 𝑔. Comenzamos con la función 𝑓 de 𝑥. Es 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥. Es simplemente un polinomio, y sabemos que el dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales. Así que, el dominio de 𝑓 de 𝑥 es el conjunto de los números reales.
¿Y qué hay de la función 𝑔 de 𝑥? Bien, con una función radical, sabemos que para obtener un valor de salida real, el número dentro de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual que cero. En 𝑔 de 𝑥, tenemos una función dentro de la raíz cuadrada, por lo que 𝑥 más uno debe ser mayor o igual que cero. Y esto significa que para hallar el dominio de 𝑔 de 𝑥, necesitamos resolver la inecuación 𝑥 más uno es mayor o igual que cero. Y hacemos esto restando uno de ambos lados. Y eso nos dice que 𝑥 debe ser mayor o igual que menos uno. Podemos usar la notación de intervalo para representar el dominio de 𝑔 de 𝑥. 𝑥 debe ser mayor o igual que menos uno, por lo que decimos que el dominio de 𝑔 de 𝑥 es el intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha desde menos uno hasta ∞.
Ten en cuenta que ∞ no es un número real, por lo tanto, no podemos tener un corchete en el lado derecho de este intervalo. Y así sabemos que el dominio de nuestra función 𝑓 más 𝑔 es la intersección, el solapamiento de estos dos dominios. Puesto que el dominio de 𝑔 de 𝑥 es un subconjunto del conjunto de los números reales, entonces vemos que el dominio de 𝑓 más 𝑔, la intersección, es de hecho el intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha desde menos uno hasta ∞. Y ese intervalo, ese conjunto de valores de 𝑥, es el dominio de la función 𝑓 más 𝑔.
Consideremos ahora el producto de dos polinomios.
Sabiendo que 𝑓 sub uno es una función del conjunto de los números reales positivos al conjunto de los números reales de modo que 𝑓 sub uno de 𝑥 es igual a 𝑥 menos cuatro, y 𝑓 sub dos asigna números del intervalo abierto por la izquierda, cerrado por la derecha de menos nueve a uno al conjunto de los números reales de modo que 𝑓 sub dos de 𝑥 es igual a cinco 𝑥 menos dos, halla 𝑓 uno por 𝑓 dos de 𝑥 e indica su dominio.
En primer lugar, recordemos que el producto de 𝑓 uno y 𝑓 dos de 𝑥 es el producto de los valores que toman estas funciones. Es 𝑓 uno de 𝑥 por 𝑓 dos de 𝑥. Y sabemos que cuando combinamos funciones, el dominio de la función resultante es la intersección de los dominios de esas funciones. El único caso en el que necesitamos tener en cuenta información adicional es si estamos hallando el cociente y necesitamos asegurarnos de que el denominador no es igual a cero. Pero, por supuesto, ese no es el caso aquí, así que comencemos hallando 𝑓 uno por 𝑓 dos de 𝑥. 𝑓 sub uno es 𝑥 menos cuatro y 𝑓 sub dos es cinco 𝑥 menos dos, por lo que el producto es 𝑥 menos cuatro por cinco 𝑥 menos dos.
Desarrollemos estos paréntesis usando el método PEIÚ. Vamos a multiplicar el primer término de cada binomio. 𝑥 por cinco 𝑥 es cinco 𝑥 al cuadrado. A continuación, multiplicamos los términos externos, lo que nos da menos dos 𝑥. Seguidamente, multiplicamos los términos internos, lo que nos da menos 20𝑥. Para terminar, multiplicamos el último término en cada binomio. Menos cuatro por menos dos es ocho. Y hallamos que 𝑓sub uno por 𝑓 sub dos de 𝑥 es cinco 𝑥 al cuadrado menos 22𝑥 más ocho. Pero ¿cuál es el dominio de esta función?
Tanto 𝑓 uno de 𝑥 como 𝑓 sub dos de 𝑥 son, de hecho, polinomios, y, como regla general, el dominio de un polinomio es el conjunto de los números reales. Sin embargo, se nos dice que 𝑓 sub uno está definida en el conjunto de los números reales positivos. Así que ese es el dominio de 𝑓 sub uno. Son los números reales positivos. Y nos dicen también que 𝑓 sub dos está definida en el intervalo abierto por la izquierda, cerrado por la derecha de menos nueve a uno. En otras palabras, 𝑥 puede ser mayor que menos nueve y menor o igual que uno. Y ese es el dominio de 𝑓 sub dos. El dominio del producto de nuestras funciones será la intersección, el solapamiento, de estos dos dominios. Usemos, pues, una recta numérica para determinar cuál es esta intersección.
El dominio de 𝑓 sub uno es el conjunto de los números reales positivos. Así que es cualquier número mayor que cero como se muestra. El dominio de 𝑓 sub dos son valores de 𝑥 mayores que menos nueve y menores o iguales que uno. La intersección es esta parte de aquí. Son valores de 𝑥 mayores que cero y menores o iguales que uno. Podemos representar este dominio usando notación de intervalos como se muestra. Y vemos que 𝑓 uno por 𝑓 dos de 𝑥 es cinco 𝑥 al cuadrado menos 22𝑥 más ocho, y el dominio son todos los números 𝑥 pertenecientes a intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha de cero a uno.
A continuación, vamos a ver cómo necesitamos modificar nuestro procedimiento para hallar el cociente de dos funciones.
Sabiendo que 𝑓 y 𝑔 son dos funciones reales donde 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado menos uno y 𝑔 de 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 más cinco, halla el valor de 𝑔 sobre 𝑓 de menos dos, si es posible.
Para comenzar, recordemos que 𝑔 sobre 𝑓 de 𝑥 es simplemente el cociente de las funciones. Es 𝑔 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥. Y la razón por la que esta cuestión nos pide que hallemos el valor de 𝑔 sobre 𝑓 de menos dos «si es posible» es porque cuando pensamos en el dominio de nuestra función combinada, que es 𝑔 sobre 𝑓 de 𝑥, debemos hallar la intersección de los dominios de 𝑓 y 𝑔. Pero queremos asegurarnos de que el denominador, aquí que es 𝑓 de 𝑥, no es igual a cero. Así que, comencemos hallando los dominios de nuestras respectivas funciones. 𝑓 de 𝑥 es 𝑥 al cuadrado menos uno. Eso es simplemente un polinomio, y el dominio de un polinomio es el conjunto de todos los números reales. El dominio de 𝑓 de 𝑥 es, de hecho, el conjunto de todos los números reales.
Sin embargo, 𝑔 de 𝑥 es un poco más complicada. Tenemos la raíz cuadrada de 𝑥 más cinco. Y sabemos que para que la raíz cuadrada de un número sea real, ese número debe ser mayor o igual que cero. Así que aquí sabemos que 𝑥 más cinco debe ser mayor o igual que cero. Resolvamos esta desigualdad restando cinco de ambos lados. Y cuando lo hacemos, hallamos que 𝑥 debe ser mayor o igual que menos cinco. Y, por lo tanto, el dominio de nuestra función 𝑔 de 𝑥 son todos los números 𝑥 del intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha desde menos cinco hasta ∞. Pasemos ahora a hallar el dominio de 𝑔 sobre 𝑓 de 𝑥. Es la intersección de los dominios de 𝑓 de 𝑥 y de 𝑔 de 𝑥, que es el intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha desde menos cinco hasta ∞.
Pero necesitamos excluir los valores de 𝑥 que hacen que el denominador sea igual a cero. En otras palabras, necesitamos excluir los valores de 𝑥 que hacen que la expresión 𝑥 al cuadrado menos uno, o sea, la función 𝑓 de 𝑥, igual a cero. Esta vez vamos a resolver esta ecuación sumando uno a ambos lados, lo que nos da 𝑥 al cuadrado igual a uno. A continuación, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, recordando, por supuesto, tomar tanto la raíz cuadrada positiva como la negativa de uno. Y cuando lo hacemos, hallamos que 𝑥 es igual a más uno o menos uno. Esto significa que el dominio de 𝑔 sobre 𝑓 de 𝑥 es el intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha desde menos cinco hasta ∞ menos el conjunto formado por los elementos menos uno y uno.
¿Qué significa esto para el valor de 𝑔 sobre 𝑓 de menos dos? 𝑥 igual a menos dos está dentro del dominio de la función y, por lo tanto, el valor de la función está definido. Y ahora vamos a pasar a hallar la función 𝑔 sobre 𝑓 de 𝑥. Tomamos la función 𝑔 de 𝑥, y la dividimos por la función 𝑓 de 𝑥, y obtenemos raíz cuadrada de 𝑥 más cinco partido por 𝑥 al cuadrado menos uno. Y, ahora, 𝑔 sobre 𝑓 de menos dos se halla reemplazando 𝑥 con menos dos, y obtenemos la raíz cuadrada de menos dos más cinco sobre menos dos al cuadrado menos uno, que se simplifica a la raíz cuadrada de tres sobre tres. Y así, dadas las funciones 𝑓 y 𝑔, hemos demostrado que el valor de 𝑔 sobre 𝑓 de menos dos es la raíz cuadrada de tres sobre tres.
Para concluir, resumamos los puntos clave de esta lección. En este video, hemos visto que dadas dos funciones 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥, la función combinada 𝑓 más 𝑔 de 𝑥 es la suma de las funciones. Es 𝑓 de 𝑥 más 𝑔 de 𝑥. Hemos visto que 𝑓 menos 𝑔 de 𝑥 es 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥. Y también que 𝑓 por 𝑔 de 𝑥 es simplemente 𝑓 de 𝑥 por 𝑔 de 𝑥. Hemos aprendido que 𝑓 sobre 𝑔 de 𝑥 es 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥. Finalmente, hemos aprendido que el dominio de cada una de nuestras combinaciones es la intersección de los dominios de 𝑓 y 𝑔 de 𝑥. En otras palabras, ambas funciones deben estar definidas en un punto para que la combinación esté definida.
Además, hemos visto que un requisito adicional que se aplica solo a la división de funciones es que el denominador no puede ser igual a cero. El dominio de 𝑓 sobre 𝑔 de 𝑥 es la intersección de los dominios de 𝑓 y 𝑔 menos los valores de 𝑥 que hacen que el denominador sea igual a cero.
