Vídeo: Calcular integrales definidas: la regla de Barrow

En este vídeo vamos a aprender cómo usar la regla de Barrow para calcular integrales definidas.

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Transcripción del vídeo

Calcular integrales definidas: la regla de Barrow. En este vídeo vamos a aprender cómo calcular integrales definidas usando la regla de Barrow o regla de Newton-Leibniz. El teorema fundamental del cálculo se divide en dos partes. En este vídeo vamos a centrarnos en la segunda parte. Esta parte, que se conoce también como regla de Barrow, dice que, si 𝑓 minúscula es una función continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, y 𝐹 mayúscula es cualquier antiderivada de 𝑓 minúscula. Lo que aquí expresamos escribiendo 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 igual a 𝑓 minúscula de 𝑥. Entonces, la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 minúscula de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝐹 mayúscula de 𝑏 menos 𝐹 mayúscula de 𝑎.

Fíjate en que hemos dicho que 𝐹 mayúscula es cualquier antiderivada de 𝑓 minúscula. Esto es, en el caso de que haya muchas antiderivadas, no importa cuál utilicemos en el teorema. Para entender a qué nos referimos, vamos a repasar el significado de antiderivada. Conviene a estas alturas saber que la primera parte del teorema fundamental del cálculo nos dice que la derivación y la integración son procesos inversos. Esto significa que podemos hallar la forma general de la antiderivada de una función, 𝑓 minúscula de 𝑥, calculando la integral indefinida de esa función. Consideremos una función cualquiera. Digamos, 𝑓 minúscula uno de 𝑥 igual a dos 𝑥. Su antiderivada, 𝐹 mayúscula uno de 𝑥, es igual a la integral indefinida de dos 𝑥 con respecto a 𝑥.

Para resolver esta integral vamos a aplicar la regla de la potencia para integrales, aumentando el exponente de 𝑥 en uno y dividiendo por el nuevo exponente. Ojo, no te olvides de añadir la constante de integración, 𝑐. Escribiremos nuestra respuesta como 𝑥 al cuadrado más 𝑐. Esta constante de integración 𝑐 puede tomar el valor que queramos. Y nuestra expresión seguiría siendo una de un número infinito de antiderivadas de nuestra función original 𝐹 uno de 𝑥. Si hacemos 𝑐 igual a cero, 𝐹 uno de 𝑥 sería 𝑥 al cuadrado. 𝑐 igual a cinco nos daría una antiderivada igual a 𝑥 al cuadrado más cinco. 𝑐 puede ser también menos 𝜋, lo que significa que nuestra antiderivada sería 𝑥 al cuadrado menos 𝜋. Todas estas son antiderivadas de dos 𝑥.

Ahora bien, como la regla de Barrow nos permite usar cualquiera de estas antiderivadas para calcular una integral definida, ¿qué debemos hacer? Bueno, en primer lugar, vamos a continuar usando la función que tenemos, 𝑓 uno de 𝑥 igual a dos 𝑥. Muy bien, queremos hallar la integral definida de esta función entre 𝑎 y 𝑏. El teorema dice que esto es igual a la antiderivada 𝐹 mayúscula uno de 𝑏 menos 𝐹 mayúscula uno de 𝑎. Vamos a elegir una de las antiderivadas que tenemos, por ejemplo, 𝑥 al cuadrado más cinco. Si 𝐹 uno de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado más cinco, entonces 𝐹 uno de 𝑏 es igual a 𝑏 al cuadrado más cinco. Un razonamiento similar se aplica a 𝐹 uno de 𝑎. Simplificamos y vemos que hay un término más cinco y un término menos cinco, por lo que se cancelan entre sí. De esta forma obtenemos 𝑏 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado.

De hecho, si hubiéramos utilizado la forma general, en la que hay una constante 𝑐, habríamos obtenido el mismo resultado. Por lo tanto, sea cual sea la constante que utilicemos, llegamos a la misma solución. Teniendo esto en cuenta, podemos optar por ignorar la constante de integración cuando calculamos una integral definida. Esto es prácticamente lo mismo que hacer 𝑐 igual a cero. Si hubiéramos considerado este caso en primer lugar, habríamos llegado a la misma respuesta y de una forma mucho más fácil y rápida.

Vamos a ver un ejemplo de aplicación práctica de la regla de Barrow.

Sea 𝑓 de 𝑥 igual a seis 𝑥 al cuadrado más uno. Calcula la integral definida de 𝑓 desde 𝑥 igual a dos hasta 𝑥 igual a tres.

En este enunciado se nos pide que calculemos una integral definida, que en notación estándar tendría este aspecto. Como vemos, el integrando es nuestra función 𝑓 de 𝑥. Y los límites de integración son dos y tres, como dice el enunciado. Para calcular esta integral definida, vamos a aplicar la segunda parte del teorema fundamental del cálculo, o sea, la regla de Barrow. Este teorema dice que, si 𝑓 minúscula es una función continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, y 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 es igual a 𝑓 minúscula de 𝑥. Es decir, si 𝐹 es una antiderivada de 𝑓 minúscula. Entonces, la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 minúscula de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝐹 mayúscula de 𝑏 menos 𝐹 mayúscula de 𝑎.

Apliquemos este teorema para resolver la cuestión. Nuestra función, 𝑓 minúscula de 𝑥, es igual a seis 𝑥 al cuadrado más uno. Para hallar una antiderivada, 𝐹 mayúscula de 𝑥, integramos 𝑓 minúscula de 𝑥. Si aplicamos la regla de la potencia para integrales, aumentando el exponente de 𝑥 en cada uno de los términos y luego dividiendo por el nuevo exponente, obtenemos seis 𝑥 al cubo sobre tres más 𝑥. No nos olvidamos de añadir la constante de integración 𝑐. A estas alturas, sabemos que la regla de Barrow nos permite utilizar cualquier antiderivada, por lo que 𝑐 puede tomar cualquier valor. Lo más lógico es que escojamos el caso más fácil posible, que es cuando 𝑐 es igual a cero. Básicamente, con esto entendemos que podemos ignorar esta constante. Simplificamos, y la antiderivada que vamos a usar resulta ser igual a dos 𝑥 al cubo más 𝑥. Muy bien. Vamos a mover esta antiderivada a un lado para volver a nuestros cálculos principales.

El enunciado nos pide que calculemos esta integral definida. El límite superior de integración es tres. Y el límite inferior es dos. Por lo tanto, según la regla de Barrow, esta integral es igual a 𝐹 mayúscula de tres menos 𝐹 mayúscula de dos. Y como hemos hallado 𝐹 mayúscula de 𝑥, o sea, la antiderivada, ya podemos sustituir los valores tres y dos en esta función. Una vez hemos escrito los valores, hacemos algunas simplificaciones en la nueva expresión. Y, después de simplificar, obtenemos una respuesta de 39. Ya hemos resuelto la cuestión. La integral definida que nos pide la cuestión vale 39. Hemos calculado la integral utilizando la antiderivada de la función 𝐹 de 𝑥. Y el procedimiento que hemos utilizado para hacerlo ha sido la segunda parte del teorema fundamental del cálculo, o sea, la regla de Barrow.

Antes de continuar, vamos a hacer algunas indicaciones sobre notación. En el cálculo de la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de una función 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥, verás, a menudo, el siguiente paso expresado en esta forma. Con la antiderivada de la función escrita entre corchetes y los límites de integración a la derecha del último corchete. Esto es una especie de descansillo. Sirve para escribir la antiderivada de la función antes de empezar a sustituir los límites de integración y proceder con el cálculo de la integral. Equivale a una expresión que ya conocemos bien, que es 𝐹 mayúscula de 𝑏 menos 𝐹 mayúscula de 𝑎. Es muy probable que te encuentres a menudo con este paso, pues es un descansillo muy útil que nos ayuda a llevar a cabo un poco más cómodamente nuestras operaciones.

Vamos a fijarnos de nuevo en la función del ejemplo anterior, 𝑓 uno de 𝑥 igual a dos 𝑥. Si estamos calculando la integral definida entre uno y tres de esta función con respecto a 𝑥, el siguiente paso sería algo así, con la antiderivada de 𝑓 uno de 𝑥 entre corchetes. Luego, continuamos nuestros cálculos sustituyendo tres y uno, los límites de integración. Y, finalmente, obtenemos una respuesta de ocho.

Veamos un ejemplo en el que se usa esta notación.

Calcula la integral entre cero y dos de dos por seno de 𝑥 menos tres 𝑒 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥.

Para resolver esta cuestión, vamos a aplicar la regla de Barrow. Este teorema dice que, si 𝑓 minúscula es una función continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, y 𝐹 mayúscula es una antiderivada de 𝑓 minúscula. Entonces, la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 minúscula de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝐹 mayúscula de 𝑏 menos 𝐹 mayúscula de 𝑎. Si leemos de nuevo el enunciado, lo primero que vemos es que la función 𝑓 minúscula, que es nuestro integrando, tiene dos términos distintos. En el primer término tenemos la función trigonométrica seno. Y en el segundo tenemos la función exponencial con base 𝑒. Se supone que ya sabemos que, tanto las funciones trigonométricas como las exponenciales de esta forma son continuas en todo el conjunto de los números reales. De modo que se cumple la condición de que nuestra función 𝑓 debe ser continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, que en nuestro caso es el intervalo cerrado entre cero y dos.

Como tenemos dos términos, es posible que nos resulte más fácil operar si los situamos en integrales separadas. Lo hacemos así, asegurándonos de mantener los mismos límites de integración en ambas integrales. Ahora ya podemos calcular cada una de estas integrales por separado. La antiderivada de dos seno de 𝑥 es menos dos coseno de 𝑥. Y la antiderivada de menos tres 𝑒 elevado a 𝑥 es menos tres 𝑒 elevado a 𝑥. Acuérdate de que podemos ignorar la constante de integración en ambos casos, pues estamos operando con integrales definidas.

Como ves, hemos escrito la antiderivada entre paréntesis, con los límites de integración a la derecha del paréntesis en ambos casos. Como los dos corchetes tienen los mismos límites de integración, los combinamos. Es posible que te preguntes por qué no hemos pasado de la integral original a este punto directamente, operando con cada término por separado. En lugar de descomponer la integral en dos para luego recombinarla, podríamos haber hallado la antiderivada de cada uno de los términos. Pero, sobre todo si no estás muy seguro, no hay nada malo en hacerlo de esta forma.

Seguimos hacia delante y sustituimos los límites de integración, cero y dos. De esta forma obtenemos la siguiente expresión. No es posible hacer ningún tipo de simplificación en el primer paréntesis. Así que lo dejamos como está. En el segundo paréntesis, nos acordamos de que coseno de cero es igual a uno. Por lo tanto, menos dos coseno de cero es menos dos. Por otro lado, 𝑒 elevado a cero es igual a uno. Por lo tanto, menos tres 𝑒 elevado a cero es menos tres. De esta forma, el segundo paréntesis se convierte en menos dos menos tres, que es menos cinco. Sin embargo, para la respuesta final restamos esto. Así que tenemos más cinco. Y ya tenemos la respuesta final. La integral definida que se nos ha dado en el enunciado es menos dos coseno de dos menos tres 𝑒 al cuadrado más cinco.

Muy bien, si echamos otra ojeada a la regla de Barrow, veremos que hay una condición importante a tener en cuenta, y es la continuidad de la función 𝑓 minúscula que estamos integrando. Así que, ojo, ten en cuenta que el teorema dice que la función debe ser continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏. Siendo 𝑎, 𝑏 los límites de la integral. Si 𝑓 minúscula no es continua en este intervalo, entonces no podemos afirmar que esta relación sea cierta. Para entender esto, vamos a considerar la función uno sobre la raíz cuadrada de 𝑥. Si dibujamos la gráfica de esta función, tendrá este aspecto. Bien, vamos a considerar ahora la integral definida de la función entre uno y dos con respecto a 𝑥. Esto puede interpretarse como el área bajo la curva entre uno y dos, como se indica en el gráfico.

Para calcular esto, vamos a reescribir uno sobre la raíz cuadrada de 𝑥 para que el exponente de 𝑥 esté en una forma más clara. A continuación, aplicamos la regla de la potencia para integrales, que ya conocemos. Y simplificamos. Podríamos seguir hacia delante sin ningún tipo de problema. Y obtendríamos una respuesta numérica. ¿Pero qué pasaría si, en vez de eso, se nos pidiera que calculásemos la integral definida entre menos uno y uno? Pues que nos surgirían algunos problemas. Si observamos la gráfica podemos ver que 𝑓 de 𝑥 es indefinida cuando 𝑥 es menor o igual que cero. Tratar de imaginar el área bajo la curva entre estos límites sería perder el tiempo. Pues, como la función es indefinida en parte del intervalo cerrado entre menos uno y uno, no es correcto decir que es continua. A sabiendas de esto, no tiene sentido que sigamos, pues queda claro que no podemos aplicar la regla de Newton-Leibniz, o regla de Barrow, para calcular esta integral.

Veamos otro ejemplo para ilustrar esto.

Calcula la integral entre cuatro y nueve de menos dos por la raíz cuadrada de 𝑥 con respecto a 𝑥.

En esta cuestión se nos pide calcular una integral definida. En problemas de este tipo puede ser útil sacar los factores constantes fuera del integrando, como menos dos. Puede que también nos sirva reescribir la raíz cuadrada de 𝑥 como 𝑥 elevado a un medio o como 𝑥 elevado a 0.5. Veremos el por qué en un momento. Para seguir adelante, vamos a hacer uso de la regla de Newton-Leibniz, o sea, de la regla de Barrow. Esta regla nos dice cómo podemos calcular integrales definidas usando la antiderivada de la función que forma el integrando.

Ya hemos visto que el teorema requiere que la función 𝑓 minúscula sea continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏. Siendo 𝑎, 𝑏 los límites de integración, en este caso, cuatro y nueve. La función con la que estamos operando, 𝑓 minúscula, es la raíz cuadrada de 𝑥, que acabamos de escribir como 𝑥 elevado a un medio. Esta función no es continua en todo el conjunto de números reales, pues solo es continua cuando 𝑥 es mayor o igual que cero. Por suerte para nosotros, los dos límites de la integral definida, cuatro y nueve, son mayores o iguales que cero. Por lo tanto, podemos decir que la raíz cuadrada de 𝑥 es continua en el intervalo cerrado entre cuatro y nueve. Por lo que podemos usar nuestro teorema sin problemas.

Para seguir con nuestros cálculos, vamos a aplicar la regla de la potencia para integrales, aumentando el exponente de 𝑥 en uno y dividiendo por el nuevo exponente. De esta forma, la antiderivada de 𝑥 elevado a un medio es dos tercios por 𝑥 elevado a tres medios. De nuevo, sacamos este factor constante fuera de los corchetes para facilitar nuestros cálculos. Y sustituimos los límites de integración. Puede que a estas alturas del problema sea más útil expresar el exponente de tres medios como el cubo de una raíz cuadrada. Seguimos teniendo suerte, pues tanto nueve como cuatro son números cuadrados. Y, por tanto, podemos simplificar nuestro paréntesis a tres al cubo menos dos al cubo. Vamos a seguir simplificando un poco más. Así, obtenemos una respuesta de menos 76 tercios. Esta es la respuesta final de nuestra cuestión.

Como ves, hemos calculado la integral definida que se nos ha dado haciendo uso de la segunda parte del teorema fundamental del cálculo. En el proceso, hemos tenido que comprobar que la función 𝑓 minúscula es continua en el intervalo cerrado entre los límites de integración. Vamos a hacer un apunte que no hemos hecho antes. Y es que la raíz cuadrada de 𝑥 no es continua cuando 𝑥 es menor que cero, porque, de hecho, la raíz cuadrada de 𝑥 no está definida en aquellos números reales 𝑥 que son menores que cero. Y, evidentemente, una función no puede ser continua en aquellos puntos en los que no está definida.

Bien, sigamos hacia delante. Otros casos que vale la pena analizar son los de las funciones definidas a trozos y los de las cuestiones en las que nos encontramos con el valor absoluto de una función. La razón por la que es necesario prestar atención a estas funciones es porque pueden tener distintos comportamientos en las diferentes regiones de su dominio.

Vamos a ver cómo lidiar con esto en el siguiente ejemplo.

Calcula la integral definida entre menos cuatro y cinco del valor absoluto de 𝑥 menos dos con respecto a 𝑥.

En este problema se nos pide que calculemos la integral definida de una función, que vamos a llamar 𝑓 minúscula. Esta función es el valor absoluto, o módulo, de 𝑥 menos dos. Pero ocurre que siempre podemos expresar una función de valor absoluto como una función definida a trozos. Podemos hacerlo recordando que, si 𝑥 menos dos resulta en un número negativo o en un valor absoluto, basta con multiplicarlo por menos uno para convertirlo en un número positivo. Muy bien, de esta forma, cuando 𝑥 menos dos es mayor o igual que cero, nuestra función es 𝑥 menos dos. Sin embargo, cuando 𝑥 menos dos es menor que cero, la función ha de ser multiplicada por menos uno. Así que es menos 𝑥 menos dos. Probablemente lo más sencillo sea despejar 𝑥. Lo hacemos sumando dos a ambos lados de la inecuación. Ahora simplificamos esto a menos 𝑥 más dos.

Muy bien. Ahora que ya hemos formulado nuestra función definida a trozos, vamos a ver cuál es su gráfica. Aquí está. Aunque la escala no es exacta, tanto la gráfica como la expresión de la función definida a trozos nos muestran la diferencia en el comportamiento de nuestra función a cada lado de la recta 𝑥 igual a dos. Podemos observar un pico en el punto dos, cero de la gráfica. De hecho, la función no es derivable en 𝑥 igual a dos. Pero es continua en 𝑥 igual a dos. Esto es importante porque para calcular la integral definida, vamos a usar la regla de Newton-Leibniz, o sea, la regla de Barrow. De esta forma vamos a poder calcular una integral definida utilizando la antiderivada, 𝐹 mayúscula, de la función que forma nuestro integrando, 𝑓 minúscula. La condición para hacerlo es que 𝑓 minúscula sea continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, que son los límites de integración. Como la función 𝑓 minúscula es continua en 𝑥 igual a dos, deducimos que es continua en todo el conjunto de los números reales. Y, por lo tanto, se cumple la condición de continuidad.

Muy bien, vamos a calcular la integral definida. Como ya hemos dicho, nuestra función presenta un comportamiento distinto a cada lado de la recta 𝑥 igual a dos. Lo primero que vamos a hacer es dividir la integral en dos tramos. La primera va del límite inferior, menos cuatro a dos, y la segunda va de dos a cinco. Como el límite superior de la primera integral es el mismo que el límite inferior de la segunda integral, la suma de estas dos integrales va a ser igual a la integral original. Ahora que ya hemos dividido la integral en dos, podemos sustituir las dos subfunciones que hemos definido usando la definición por partes del valor absoluto de 𝑥 menos dos. Lo hacemos tomando nuestras integrales como el área bajo estas rectas. De menos cuatro a dos, la función se comporta como menos 𝑥 más dos. Y de dos a cinco la función se comporta como 𝑥 menos dos. La suma de estas dos áreas equivale a la integral original.

A partir de aquí avanzamos aplicando la regla de la potencia para integrales. Aumentamos el exponente de 𝑥 en cada uno de nuestros términos y dividimos entre el nuevo exponente. Vamos a despejar esto un poco para dejar espacio a nuestros siguientes cálculos. Hemos introducido los límites de ambas integrales. Y hemos coloreado esto un poco para ver mejor los cálculos. Tenemos que seguir simplificando. Vamos a hacer de nuevo algo de espacio. Y continuamos simplificando. Y llegamos a un punto en el que expresamos todo en términos de mitades. De esta forma hemos obtenido una respuesta final de cuarenta y cinco medios o 45 sobre dos. Muy bien, ya hemos resuelto el problema. Lo hemos hecho expresando primero el valor absoluto de 𝑥 menos dos como una función definida a trozos. A continuación, hemos dividido la integral original en dos partes y hemos aplicado la regla de Barrow para ayudarnos a calcular cada parte por separado.

Muy bien. Ahora, para terminar, vamos a repasar algunos puntos clave. La regla de Barrow dice que, si 𝑓 minúscula es una función continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, y 𝐹 mayúscula es una antiderivada de 𝑓 minúscula, lo que podemos expresar escribiendo 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 igual a 𝑓 minúscula de 𝑥. Entonces, la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 minúscula de 𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝐹 mayúscula de 𝑏 menos 𝐹 mayúscula de 𝑎. Recuerda que podemos usar cualquier antiderivada de la función 𝑓 minúscula. Esto quiere decir que podemos optar por utilizar el caso que hemos visto antes, lo que simplifica enormemente nuestros cálculos. Esto es cuando 𝑐, nuestra constante de integración, es igual a cero, por lo que podemos ignorarla.

Frecuentemente, cuando estamos calculando una integral definida, el primer paso es escribir la antiderivada entre corchetes con los límites de integración a la derecha del último corchete. Esta es una forma conveniente de escribir la antiderivada como una función antes de sustituir los límites de integración. Este es generalmente un paso intermedio antes de escribir 𝐹 mayúscula de 𝑏 menos 𝐹 mayúscula de 𝑎. Para poder aplicar este teorema, debemos comprobar que 𝑓 minúscula está definida y es continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏. En caso contrario, tal vez no podamos integrarla. Por último, es posible que, para funciones definidas a trozos, o para aquellas con valores absolutos, necesitemos descomponer la integral en varios tramos, pues este tipo de funciones tienen distintos comportamientos en diferentes regiones de sus dominios.

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