Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo usar las propiedades de la adición y de la multiplicación de vectores. Recordemos que un vector es una cantidad que tiene magnitud (módulo), dirección y sentido. Y que podemos representar un vector mediante un segmento orientado de una longitud determinada. No obstante, en este vídeo solo vamos a considerar los vectores en el plano.
Representamos el módulo, la dirección y el sentido de un vector en el plano en términos del cambio horizontal y vertical de esta manera. Si el vector 𝐯 tiene una componente horizontal 𝑎 y una componente vertical 𝑏, consideramos que se trata de un desplazamiento de 𝑎 unidades a la derecha y un desplazamiento de 𝑏 unidades hacia arriba. Vamos a aplicar este método para sumar dos vectores considerando sus componentes.
Gráficamente, la suma de dos vectores 𝐮 y 𝐯 es su desplazamiento combinado. Así que marcamos el punto terminal o extremo del primer vector como el punto inicial u origen del segundo vector. De esta forma, la suma de los vectores tiene el punto inicial del primer vector y el punto terminal del segundo vector, como se muestra. Como el vector 𝐮 más 𝐯 representa el desplazamiento tanto del vector 𝐮 como del vector 𝐯, tendrá una componente horizontal igual a la suma de las componentes horizontales del vector 𝐮 y del vector 𝐯, y una componente vertical igual a la suma de las componentes verticales del vector 𝐮 y del vector 𝐯.
Esto se puede escribir más formalmente de la siguiente manera. Si tomamos vectores cualesquiera en el plano, 𝐮 con componentes 𝑢 sub uno y 𝑢 sub dos y 𝐯 con componentes 𝑣 sub uno y 𝑣 sub dos, entonces 𝐮 más 𝐯 tiene componentes 𝑢 sub uno más 𝑣 sub uno y 𝑢 sub dos más 𝑣 sub dos. Como la suma de dos vectores cualesquiera en el plano es también un vector en el plano, decimos que la suma de los vectores en el plano es una operación cerrada. Esto se conoce normalmente como la propiedad de clausura de la suma de vectores. Esta propiedad se aplica a cualquier número de dimensiones, pero en este vídeo solo vamos a operar con vectores en el plano. También podemos definir la operación de multiplicación de un vector por un número, que consiste en multiplicar cada una de las coordenadas del vector por el número.
Para cualquier vector 𝐮 con coordenadas 𝑢 sub uno y 𝑢 sub dos, y número 𝑘, 𝑘 multiplicado por el vector 𝐮 tiene coordenadas 𝑘𝑢 sub uno y 𝑘𝑢 sub dos. Gráficamente, la multiplicación escalar de un vector por el escalar (número) 𝑘 es un alargamiento del vector en un factor 𝑘. Veamos un ejemplo en el que tendremos que hacer uso de estas definiciones para resolver un problema que incluye una propiedad de la suma de vectores.
Completa la siguiente igualdad: el vector uno, nueve más el vector cinco, dos es igual al vector cinco, dos más [espacio en blanco].
Vamos a comenzar calculando el lado izquierdo de la igualdad. Recuerda que, para calcular la suma de dos vectores, simplemente sumamos sus componentes correspondientes. En este problema en concreto, para sumar los vectores uno, nueve y cinco, dos, sumamos uno y cinco, y luego nueve y dos. De esta forma, el lado izquierdo de nuestra ecuación se convierte en el vector seis, 11. Para simplificar el lado derecho, asignamos al vector desconocido las componentes 𝑥 e 𝑦, como se muestra. El vector cinco, dos más el vector 𝑥, 𝑦 nos da el vector cinco más 𝑥, dos más 𝑦.
Ahora igualamos los dos lados de la ecuación. Seis, 11 es igual a cinco más 𝑥, dos más 𝑦. Para que los dos vectores sean iguales, sus componentes correspondientes deben ser iguales. De esta forma obtenemos dos ecuaciones que tenemos que resolver: seis igual a cinco más 𝑥 y 11 igual a dos más 𝑦. Restamos cinco de ambos lados de nuestra primera ecuación, y obtenemos que 𝑥 vale uno. Restamos dos de ambos lados de la segunda ecuación, y obtenemos que 𝑦 vale nueve. Hemos hallado que el vector desconocido es uno, nueve. El vector uno, nueve más el vector cinco, dos es igual al vector cinco, dos más el vector uno, nueve.
Este ejemplo demuestra la propiedad conmutativa de la suma de vectores, que dice lo siguiente.
Para dos vectores cualesquiera en el plano, 𝐮 y 𝐯, el vector 𝐮 más 𝐯 es igual al vector 𝐯 más 𝐮. Veamos la representación gráfica de esta propiedad en el siguiente diagrama. Si los dos vectores 𝐮 y 𝐯 son distintos de cero, entonces podemos dibujar estos vectores como los lados de un paralelogramo. Por lo tanto, el vector de la diagonal del romboide puede representarse como 𝐮 más 𝐯 y como 𝐯 más 𝐮. Así que estas expresiones deben ser iguales. En el caso de que uno de los vectores sea el vector cero, esto nos lleva a la propiedad del elemento neutro. Esta es una de las muchas propiedades de la adición de vectores y de la multiplicación de vectores por números. Aunque no vamos a aplicar estas propiedades en este vídeo, conviene repasarlas rápidamente.
Para los vectores 𝐮, 𝐯 y 𝐰, y los escalares (números) 𝑚 y 𝑛, vamos a considerar lo siguiente: en primer lugar, cinco propiedades de la suma de vectores. Ya hemos visto que el vector 𝐮 más el vector 𝐯 es igual al vector 𝐯 más el vector 𝐮. Esta es la propiedad conmutativa. En segundo lugar, tenemos que el vector 𝐮 más el vector 𝐯 más el vector 𝐰 es igual al vector 𝐮 más el vector 𝐯 más el vector 𝐰. Esta se conoce como la propiedad asociativa de la suma, y dice que, cuando sumamos tres vectores, no importa qué dos vectores sumemos primero. A continuación, tenemos que el vector 𝐮 más el vector cero es igual al vector 𝐮. Esta se conoce como la propiedad del elemento neutro, y dice que, si sumamos el vector cero a cualquier vector, el resultado es ese vector.
Seguidamente, tenemos la propiedad del elemento opuesto, según la cual el vector 𝐮 más el vector menos 𝐮 es igual al vector cero. Al sumar cualquier vector y su opuesto el resultado siempre es el vector cero. Por último, tenemos la propiedad de cancelación. Esta propiedad dice que, si 𝐮 más 𝐯 es igual a 𝐮 más 𝐰, entonces 𝐯 es igual a 𝐰. Estas son las cinco propiedades de la suma de vectores.
También tenemos que considerar cinco propiedades de la multiplicación de vectores por números. Hay dos propiedades distributivas. También tenemos la propiedad del elemento identidad para la multiplicación, la propiedad asociativa y, de nuevo, la propiedad de cancelación. Si multiplicamos el escalar 𝑛 por la suma de los vectores 𝐮 más 𝐯, obtendremos 𝑛𝐮 más 𝑛𝐯. Y si multiplicamos la suma de los escalares 𝑛 y 𝑚 por el vector 𝐮, obtenemos 𝑛𝐮 más 𝑚𝐮. Si multiplicamos cualquier vector 𝐮 por el número uno obtenemos el vector 𝐮. Esta se conoce como propiedad del elemento identidad para la multiplicación. La propiedad asociativa dice que, 𝑛𝑚 multiplicado por el vector 𝐮, es igual a 𝑛 multiplicado por 𝑚𝐮. Por último, la propiedad de cancelación dice que, si 𝑛𝐮 es igual a 𝑛𝐯, entonces el vector 𝐮 debe ser igual al vector 𝐯.
Estas 10 propiedades se cumplen para vectores en el plano y en el espacio, y también en dimensiones superiores, y, como ya dijimos anteriormente, podemos demostrarlas con métodos algebraicos. En el resto de este vídeo vamos a ver una serie de cuestiones en las que haremos uso de estas propiedades para calcular expresiones con vectores.
Sabiendo que el vector 𝐚 es igual a uno, cinco y que el vector 𝐛 es igual a seis, dos, halla 𝐚 más 𝐛 más menos 𝐚.
Podemos resolver esta cuestión fácilmente usando las propiedades de la suma de vectores. En primer lugar, si usamos la propiedad conmutativa, según la cual el vector 𝐮 más el vector 𝐯 es igual al vector 𝐯 más el vector 𝐮, podemos reescribir nuestra expresión 𝐚 más 𝐛 más menos 𝐚 como 𝐚 más menos 𝐚 más 𝐛. Seguidamente, usamos la propiedad del elemento opuesto, que dice que el vector 𝐮 más el vector menos 𝐮 es igual al vector cero. Aplicando esta propiedad a nuestra expresión, obtenemos que el vector 𝐚 más el vector menos 𝐚 es igual al vector cero. Así que nos queda el vector cero más el vector 𝐛.
Por último, vamos a aplicar la propiedad del elemento neutro, que dice que el vector 𝐮 más el vector cero es igual al vector 𝐮. Por lo tanto, en esta cuestión, el vector cero más el vector 𝐛 es igual al vector 𝐛. En el enunciado se nos dijo que el vector 𝐛 es igual a seis, dos. Esto significa que 𝐚 más 𝐛 más menos 𝐚 también es igual a seis, dos. Otra forma de resolver esta cuestión es operando con las componentes del vector 𝐚 y del vector 𝐛. Tenemos que sumar los vectores uno, cinco y seis, dos, y luego sumar el opuesto del vector uno, cinco. Podemos distribuir el signo menos del vector multiplicando todas sus coordenadas por menos uno. De esta forma, el tercer vector se convierte en menos uno, menos cinco.
Ahora ya podemos sumar los tres vectores hallando la suma de sus componentes correspondientes. Comenzamos sumando uno, seis y menos uno. Que es igual a seis. Luego sumamos las componentes 𝑦 de cinco, dos y menos cinco, y obtenemos dos. Hemos obtenido la misma respuesta que obtuvimos usando las propiedades de la suma de vectores. El vector 𝐚 más el vector 𝐛 más el vector menos 𝐚 es igual a seis, dos.
Veamos un último ejemplo.
Completa la siguiente igualdad: dos multiplicado por el vector dos, cinco más el vector cinco, uno es igual a [espacio en blanco] más el vector 10, dos.
Vamos a comenzar simplificando el lado izquierdo de la ecuación. En primer lugar, usamos el hecho de que la multiplicación de vectores por números es distributiva con respecto a la suma de vectores. Esto significa que el lado izquierdo se convierte en dos multiplicado por el vector dos, cinco más dos multiplicado por el vector cinco, uno. Ahora calculamos el producto de vectores por números. Dos multiplicado por el vector dos, cinco es igual al vector dos multiplicado por dos, dos multiplicado por cinco. Esto es igual a cuatro, 10. Del mismo modo, al multiplicar el vector cinco, uno por el número dos, obtenemos el vector 10, dos. Seguidamente, igualamos esto al lado derecho de nuestra ecuación, denotando las componentes del vector desconocido como 𝑥 e 𝑦.
Seguidamente aplicamos la propiedad de cancelación de la suma de vectores, según la cual, si el vector 𝐮 más el vector 𝐯 es igual al vector 𝐮 más el vector 𝐰, entonces el vector 𝐯 es igual al vector 𝐰. El vector 10, dos aparece en la suma en ambos lados de nuestra ecuación. Esto significa que los otros vectores en cada lado también deben ser iguales. El vector cuatro, 10 es igual al vector 𝑥, 𝑦. Por lo tanto, concluimos que el vector desconocido es cuatro, 10.
Resumamos ahora los puntos clave que hemos visto en este vídeo. En este vídeo hemos aprendido que podemos usar las propiedades de la suma de vectores y del producto escalar de vectores para simplificar expresiones que contienen vectores. Las cinco propiedades de la adición de vectores son las siguientes. Son la propiedad conmutativa, la propiedad asociativa, la propiedad del elemento neutro, la propiedad del elemento opuesto y la propiedad de cancelación, respectivamente. Las cinco propiedades de la multiplicación de vectores por números son las siguientes. Las dos primeras de aquí son dos propiedades distributivas. La tercera es la propiedad del elemento identidad para la multiplicación, seguida de la propiedad asociativa y de la propiedad de cancelación.
Podemos demostrar que todas estas propiedades se cumplen operando con las coordenadas de los vectores. Aunque en este vídeo solo nos hemos referido a vectores en el plano, todas estas propiedades se cumplen también para vectores en el espacio y en dimensiones superiores.
