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Vídeo de la lección: Valores de funciones trigonométricas mediante identidades de cofunción Matemáticas

En este video, vamos a aprender cómo usar identidades de cofunción y la paridad de las funciones para hallar valores de expresiones trigonométricas.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo usar identidades de cofunción y la paridad de las funciones para hallar valores de expresiones trigonométricas. Las funciones trigonométricas tienen muchas propiedades e identidades que nos ayudan a simplificar expresiones y a resolver ecuaciones. En este video, vamos a revisar las identidades de cofunción, y las identidades de paridad, y luego vamos a usarlas para resolver algunos problemas.

Primero, vamos a ver las identidades de cofunción, las cuales nos dicen que sen de 90 grados menos 𝜃 es igual a cos de 𝜃. cos de 90 grados menos 𝜃 es igual a sin de 𝜃. Y tan de 90 grados menos 𝜃 es igual a cot de 𝜃. También debemos recordar que, si estamos trabajando en radianes, pondremos 𝜋 sobre dos en lugar de 90 grados.

Podemos mostrar gráficamente estas identidades de cofunción usando la circunferencia unitaria. Si tenemos un ángulo 𝜃 en la circunferencia unitaria, podemos ver que forma un triángulo rectángulo con una hipotenusa de longitud uno y catetos de longitudes 𝑎 y 𝑏. Sabemos que el seno de 𝜃 será igual al cateto opuesto sobre la hipotenusa, que en este caso es 𝑎 sobre uno. Así que sen de 𝜃 es igual a 𝑎. El cos de 𝜃 es la longitud del cateto contiguo sobre la hipotenusa; o sea, 𝑏 sobre uno, que es simplemente 𝑏. Y tan de 𝜃 es el opuesto sobre la longitud del lado adyacente, 𝑎 sobre 𝑏. Y queremos explorar una relación entre 𝜃 y 90 menos 𝜃.

En la circunferencia unitaria en el plano de coordenadas, el espacio entre nuestro ángulo y 90 grados puede ser marcado como 90 menos 𝜃. Y así podemos crear un segundo triángulo rectángulo en el primer cuadrante, que nuevamente tendrá una hipotenusa de uno y longitudes de lado de 𝑎 y 𝑏. Si nos fijamos en nuestro nuevo triángulo, que está en amarillo, vemos que el seno de 90 menos 𝜃, eso es, cateto opuesto sobre hipotenusa, en este caso es 𝑏 sobre uno. Por lo tanto, sen de 90 menos 𝜃 es igual a 𝑏. Y el coseno de 90 menos 𝜃 es el cateto adyacente sobre la hipotenusa. En este caso, eso es 𝑎. Y tan de 90 grados menos 𝜃 será 𝑏 sobre 𝑎, así que hemos demostrado estas identidades de cofunciones. sen de 𝜃 y cos de 90 grados menos 𝜃 son ambos iguales a 𝑎 aquí, que es lo que deberíamos esperar según nuestra identidad de cofunción.

También hemos demostrado que tanto cos de 𝜃 como sen de 90 grados menos 𝜃 son iguales a 𝑏. Es decir que sen de 90 grados menos 𝜃 es igual a cos de 𝜃. El par tangente, la identidad de la cofunción tangente, es un poco diferente. Observa que tan de 90 grados menos 𝜃 es igual a 𝑏 sobre 𝑎. Pero tan de 𝜃 es igual a 𝑎 sobre 𝑏. Si tomamos el recíproco de tan de 𝜃, es decir, uno sobre tan de 𝜃, sería igual a 𝑏 sobre 𝑎. Y luego notamos que el recíproco de tan de 𝜃 es igual a cot de 𝜃 ya que cot de 𝜃 es igual a la longitud del cateto contiguo sobre la longitud del cateto opuesto, lo que demuestra la identidad de la tercera cofunción la cual dice que tan de 90 menos 𝜃 es igual a cot de 𝜃.

Veamos ahora las identidades de paridad de las funciones trigonométricas. Las identidades de paridad son las siguientes. sen de menos 𝜃 es igual a menos sen de 𝜃, lo que significa que seno es una función impar. cos de menos 𝜃 es igual a cos de 𝜃, lo que significa que el coseno es una función par. Y tangente de menos 𝜃 es igual a menos tangente de 𝜃, lo que significa que la tangente es una función impar. Nuevamente, podemos demostrar esto con la circunferencia unitaria. Para un ángulo 𝜃, en el primer cuadrante de la circunferencia unitaria, podemos hacer un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 𝑎 y 𝑏, y podemos considerar el ángulo menos 𝜃. Recuerda que este signo negativo nos dice que nos estamos moviendo en sentido horario en lugar de en sentido antihorario, lo que hace que nuestro ángulo esté en el cuarto cuadrante. Y vemos también que este ángulo puede determinar un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 𝑎 y 𝑏 e hipotenusa de longitud uno.

Para hallar el seno de menos 𝜃, vamos a tener en cuenta el sistema de coordenadas, el cual nos ayuda a identificar los signos de las razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes. En el cuadrante cuatro, solo la función coseno es positiva. El signo del seno y de la tangente es negativo. Como la fórmula del seno es cateto opuesto sobre hipotenusa, en el cuarto cuadrante esto será menos 𝑏. La fórmula del coseno es cateto contiguo sobre hipotenusa, que es 𝑎 sobre uno. Así que, en el cuarto cuadrante, la razón coseno es positiva. Así que cos de menos 𝜃 es igual a más 𝑎. Del mismo modo, tan de menos 𝜃 es cateto opuesto sobre cateto contiguo y en el cuarto cuadrante será un valor negativo, lo que nos da que tan de menos 𝜃 es menos 𝑏 sobre 𝑎.

Si queremos hallar el seno de 𝜃, en nuestro diagrama, que está en el cuadrante uno, es igual a 𝑏 sobre uno. El cos de 𝜃 es igual a 𝑎 sobre uno, y la tan de 𝜃 es igual a 𝑏 sobre 𝑎. Observa que, en estas relaciones del coseno, el cos de menos 𝜃 es igual a 𝑎 y el cos de positivo 𝜃 es igual a 𝑎. Reconocemos esto como nuestra función par y nuestra identidad de función par. Pero ¿qué pasa con las otras dos razones, las funciones impares? Si multiplicamos sen de 𝜃 y 𝑏 por menos uno, podemos decir que el seno de menos 𝜃 es igual a menos 𝑏. Del mismo modo, si multiplicamos tan por menos uno, obtenemos menos tan de 𝜃. Y luego necesitamos multiplicar el otro lado de la ecuación por menos uno, lo que nos dará menos 𝑏 sobre 𝑎. Así que podemos decir que sen de menos 𝜃 es igual a menos sen de 𝜃 y que tan de menos 𝜃 es igual a menos tan de 𝜃.

Veamos ahora un ejemplo en el que necesitamos usar estas identidades para ayudarnos a resolver una ecuación trigonométrica.

Halla el valor de cos de 90 grados más 𝜃 sabiendo que sen de 𝜃 es igual a tres quintos, y que 𝜃 está entre cero y 90 grados.

Nos dan el seno del ángulo 𝜃, y nos piden hallar el coseno de 90 grados más 𝜃. Podríamos hacer esto con una gráfica. Sin embargo, un enfoque mucho más sencillo es reescribir esta expresión usando identidades de cofunciones. De hecho, usando identidades de cofunciones, hay algunas formas diferentes en las que podríamos reescribir esto. Vamos a ver una de esas formas. Si queremos usar esta identidad de cofunción en el coseno de 90 grados más 𝜃, podemos reescribirlo como el coseno de 90 grados menos menos 𝜃. Y luego, usando nuestra identidad de cofunción, podemos decir que el coseno de 90 grados menos menos 𝜃 debe ser igual al seno de menos 𝜃.

Y si pensamos en el seno de menos 𝜃, recordaremos que la función seno es una función impar. Y el sen de menos 𝜃 es igual a menos el sen de 𝜃. Y sabemos a qué es igual el sen de 𝜃. El seno de 𝜃 en este caso es tres quintos, lo que significa que el seno de menos 𝜃 es igual a menos tres quintos. Habíamos comenzado con cos de 90 grados más 𝜃. Y usando identidades de cofunción e identidades de paridad, pudimos hallar que es igual a menos tres quintos. Antes de continuar, podemos mostrar esto gráficamente. Dibujemos una circunferencia unitaria con una medida de ángulo 𝜃, sabiendo que 𝜃 está entre cero y 90 grados. Y si el sen de 𝜃 es igual a tres quintos, entonces el cateto opuesto sobre la hipotenusa debe ser igual a tres quintos.

Queremos saber el coseno de 90 grados más 𝜃. Si sumamos 90 grados a este ángulo, tenemos un radio de uno porque esta es la circunferencia unitaria. Y como lo hemos girado 90 grados en sentido antihorario, la distancia desde nuestro punto hasta el eje 𝑦 es de tres quintos. Y cuando trabajamos con la circunferencia unitaria, el coseno de nuestro ángulo será igual a la coordenada 𝑥, que en nuestro caso será menos tres quintos, y confirma que el coseno de 90 grados más 𝜃 es igual a menos tres quintos.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a combinar varias funciones trigonométricas. Esto hace que el enfoque gráfico sea mucho más difícil, por lo que necesitaremos usar una combinación de diferentes identidades de cofunción para simplificar.

Halla el valor de sen de 180 grados menos 𝑥 más tan de 360 grados menos 𝑥 más siete por sen de 270 grados menos 𝑥 sabiendo que sen de 𝑥 es igual a tres quintos y que 𝑥 está entre cero y 90 grados.

Tenemos una expresión que queremos simplificar que tiene tres términos. Y sabemos que sen de 𝑥 es igual a tres quintos. Para simplificar toda la expresión, consideraremos estos términos uno por uno, comenzando con sen de 180 grados menos 𝑥. Una de nuestras identidades de cofunciones nos dice que el seno de 90 grados menos 𝜃 es igual a cos de 𝜃. Nuestro término seno no tiene esta forma, pero podemos reescribirlo para que sea seno de 90 grados más 90 grados menos 𝑥. Queremos algo en la forma 90 grados menos 𝜃. Y eso significa que podemos reorganizar esto y escribirlo como 90 grados menos 𝑥 menos 90 grados, de modo que 𝜃 es igual a 𝑥 menos 90 grados. Y obtenemos cos de 𝜃, es decir, cos de 𝑥 menos 90 grados. Esto parece muy cercano al coseno de 90 grados menos 𝜃. Para reorganizar esta parte de la función, podemos aprovechar el hecho de que la función coseno es una función par.

Sabemos que cos de menos 𝜃 es igual a cos de 𝜃. Esto significa que cos de 𝑥 menos 90 será igual a cos de menos 𝑥 menos 90, que es coseno de 90 grados menos 𝑥. Y sabemos que coseno de 90 grados menos 𝜃 es igual al seno de 𝜃. Y así podemos decir que seno de 180 grados menos 𝑥 es igual a seno de 𝑥. Eso simplifica nuestro primer término. Para nuestro segundo término, en lugar de usar identidades de cofunciones, recordamos la propiedad periódica de la tangente, que nos dice que tan de 𝜃 más o menos 180 grados es igual a tan de 𝜃. Queremos reescribir esto en una forma que nos sea útil, por lo que podemos decir que es tan de 180 grados más 180 grados menos 𝑥. Si hacemos 𝜃 igual a 180 grados menos 𝑥, ahora estamos sumando 𝜃 más 180 grados dentro de esta tangente, que será igual a tangente de 180 grados menos 𝑥.

Podemos usar esta propiedad periódica por segunda vez, así que vamos a hacer 𝜃 igual a menos 𝑥. Estamos diciendo que tan de 180 grados menos 𝑥 es igual a tan de menos 𝑥 más 180 grados. Y esa propiedad periódica nos permite simplificarla a tan de menos 𝑥. Como sabemos que la función tangente es impar, tan de menos 𝑥 será igual al menos tan de 𝑥. Nuestra expresión ahora es sen de 𝑥 menos tan de 𝑥. Y necesitamos simplificar este tercer término. Esta vez, usaremos una propiedad periódica de sen de que sen de 𝜃 más o menos 360 grados es igual a sen de 𝜃. Si hacemos 𝜃 igual a 270 menos 𝑥, podemos restar 360 grados del argumento. 270 menos 360 es menos 90. El argumento del seno se convierte en menos 90 grados menos 𝑥. Como seno es una función impar, siete por sen de menos 90 grados menos 𝑥 es igual a menos siete sen de 90 grados más 𝑥.

Para usar nuestra identidad de cofunción aquí, reescribiremos el argumento como 90 menos menos 𝑥, lo que se simplifica a menos siete cos de menos 𝑥. Y como el coseno es una función par, menos siete por cos de menos 𝑥 será igual a menos siete por cos de 𝑥. Nuestra nueva expresión es entonces sen de 𝑥 menos tan de 𝑥 menos siete por cos de 𝑥. Y como sabemos que 𝑥 es un ángulo agudo, podemos hallar los otros valores usando trigonometría de triángulo rectángulo. Dibujando un triángulo rectángulo con un ángulo 𝑥, sabemos que el seno del ángulo es tres quintos. Eso es cateto opuesto sobre hipotenusa. En este punto, reconocemos que este es un triángulo rectángulo tres-cuatro-cinco.

Por supuesto, podríamos usar el teorema de Pitágoras para hallar el lado faltante. Pero debido a que un cateto es tres y la hipotenusa es cinco, sabemos que ese tercer lado debe ser igual a cuatro. sen de 𝑥 es igual a tres quintos menos tan de 𝑥 —que será el cateto opuesto sobre el cateto contiguo, tres cuarto — menos siete veces el coseno, que será cuatro sobre cinco, cateto contiguo sobre hipotenusa. Y tres quintos menos tres cuartos menos siete por cuatro quintos será igual a menos veintitrés cuartos.

Veamos un último ejemplo en el que usaremos identidades de cofunciones para ayudarnos a hallar algunas medidas de un triángulo.

𝐴𝐵𝐶 es un triángulo con un ángulo recto en 𝐵. Halla cot de 𝛼 sabiendo que cot de 𝜃 es cuatro tercios.

Como sabemos que 𝐴𝐵𝐶 es un triángulo rectángulo, también podemos decir que 𝐴𝐵𝐷 es un triángulo rectángulo. Y esto significa que podemos identificar el ángulo 𝐴𝐷𝐵 como 90 grados menos 𝜃. También significa que podemos decir que 𝛼 más 90 grados menos 𝜃 es igual a 180 grados ya que sabemos que 𝐵𝐶 forma una recta. Y, si entonces restamos 90 grados de ambos lados de esta ecuación, hallamos que 90 grados es igual a 𝛼 menos 𝜃. Y sumando 𝜃 a ambos lados obtenemos que 𝛼 es igual a 90 grados más 𝜃, lo que significa que cot de 𝛼 es igual a cot de 90 grados más 𝜃. Y ahora parece que nos estamos acercando porque conocemos cot de 𝜃. Según nuestra identidad de cofunción, sabemos que tan de 90 grados menos 𝜃 es igual a cot de 𝜃, por lo que queremos reorganizar cot de 90 grados más 𝜃.

Podemos reescribir esto como cot de 90 grados menos menos 𝜃. Y luego, vamos a reescribir esto en términos de la tangente porque la cotangente es el recíproco de la tangente. Podemos decir que esto es igual a uno sobre tan de 90 grados menos menos 𝜃 y que tan de 90 grados menos menos 𝜃 se simplifica a cot de menos 𝜃. Pero ahora tenemos uno sobre cot de menos 𝜃, que es igual a tan de menos 𝜃. Y como tan de menos 𝜃 es igual a menos tan de 𝜃, pues es una función impar, simplificamos a menos tan de 𝜃.

Volviendo a nuestro diagrama, si cot de 𝜃 es cuatro tercios, 𝐴𝐵 es igual a cuatro, 𝐵𝐷 es igual a tres, pues tan de 𝜃 es cateto opuesto sobre cateto contiguo, que aquí es tres cuartos. Y necesitamos menos la tangente, que será menos tres cuartos. Hemos demostrado que cot de 𝛼 es igual a menos tan de 𝜃 y esto es menos tres cuartos.

Antes de terminar, repasemos rápidamente algunos puntos clave. Las identidades de cofunciones y las identidades de paridad permiten simplificar expresiones trigonométricas. Estas identidades se pueden combinar con otras identidades y propiedades trigonométricas para ayudarnos a evaluar expresiones. Estas son las tres identidades de cofunción y las tres identidades de paridad que hemos demostrado y aplicado.

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