Vídeo: Regiones del plano complejo

En este video, vamos a aprender a expresar regiones en el plano complejo en términos de inecuaciones y a interpretar inecuaciones en términos de regiones en el plano complejo.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender a expresar regiones en el plano complejo en términos de inecuaciones y a interpretar inecuaciones como regiones en el plano complejo. Es probable que hayas trabajado muchas veces con regiones en el plano cartesiano, utilizando inecuaciones. Y este video busca ampliar estos conceptos. Vamos a comenzar considerando regiones tales como como semirrectas, circunferencias y mediatrices de segmentos, antes de ver cómo la notación de conjuntos puede ayudarnos a trabajar con regiones compuestas.

Recuerda que hay dos ecuaciones que se usan para definir circunferencias como lugares geométricos. La ecuación módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno igual a 𝑟 representa una circunferencia de radio 𝑟 y centro 𝑧 uno. La ecuación módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno igual a 𝑘 por el módulo de 𝑧 menos 𝑧 dos, también representa una circunferencia cuando 𝑘 es mayor que cero pero no es igual a uno. En estas situaciones, es necesario hallar el radio y el centro en cada caso.

También necesitamos saber que las ecuaciones de la forma módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno igual a módulo de 𝑧 menos 𝑧 dos representan la mediatriz del segmento que une 𝑧 uno con 𝑧 dos, como se muestra en este diagrama. Y finalmente, una semirrecta se describe usando el argumento. Las ecuaciones del tipo argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno igual a 𝜃 representan una semirrecta desde, pero sin incluir, 𝑧 uno. Esta semirrecta forma un ángulo 𝜃 con la semirrecta horizontal que se extiende desde 𝑧 uno en la dirección positiva de 𝑥.

Al igual que con las regiones en el plano cartesiano, aquí también utilizamos la convención de que una inecuación estricta, con los signos mayor que o menor que, está representada por una recta discontinua, mientras que una inecuación débil, con los signos mayor o igual que o menor o igual que, está representada por una recta continua. Vamos a comenzar con un ejemplo simple que utiliza algunas de estas definiciones y convenciones y veamos cómo decidir qué regiones son las representadas.

Dibuja en el plano complejo la región representada por argumento de 𝑧 más tres menos dos 𝑖 mayor o igual que menos 𝜋 sobre dos y menor que 𝜋 sobre cuatro.

Para representar esta región, vamos a comenzar fijándonos en sus bordes. Están dados por argumento de 𝑧 más tres menos dos 𝑖 igual a menos 𝜋 sobre dos y argumento de 𝑧 más tres menos dos 𝑖 igual a 𝜋 sobre cuatro. Cada una de estas ecuaciones representa una semirrecta. Podemos reescribir 𝑧 más tres menos dos 𝑖 factorizando menos uno. Y obtenemos 𝑧 menos menos tres más dos 𝑖. El punto que representa este número complejo tendrá coordenadas cartesianas menos tres, dos. Y, por supuesto, representamos esto con un circulito vacío pues sabemos que el lugar geométrico no incluye este punto.

La primera semirrecta va a formar un ángulo de menos 𝜋 sobre dos con el semieje real positivo, medido en sentido antihorario. Esto es lo mismo que hacer un ángulo 𝜋 partido por dos en el sentido horario. Y esta es una inecuación débil. Así que dibujamos una línea continua para representarla. La semirrecta para nuestro otro borde formará un ángulo de 𝜋 sobre cuatro radianes con la dirección horizontal positiva, medido en sentido antihorario. Esta vez, es una inecuación débil. Así que necesitamos dibujar una línea discontinua.

Una vez que tenemos los bordes de nuestra región, debemos decidir qué lado de la región vamos a sombrear. Estamos interesados ​​en todos los números complejos tales que el argumento de 𝑧 más tres menos dos 𝑖 sea mayor o igual que menos 𝜋 sobre dos y menor que 𝜋 sobre cuatro. Esa será la región entre estas dos semirrectas. Sombreamos esta región. Y ya hemos terminado. Hemos representado la región requerida en el plano complejo.

En nuestro próximo ejemplo vamos a considerar una región circular.

La figura muestra una región compleja. Escribe una descripción algebraica de la región sombreada.

Evidentemente, esto es una circunferencia. Pero hay dos formas de describir el lugar geométrico que es una circunferencia. Módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno igual a 𝑟 y módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno igual a 𝑘 por el módulo de 𝑧 menos 𝑧 dos. En este ejemplo, es más conveniente usar el primer método. De hecho, tratamos de usar esta fórmula cuando describimos regiones, porque es más fácil hallar el centro y el radio que hallar dos puntos cuya distancia de la circunferencia está en una razón constante.

Podemos ver que el centro de nuestra circunferencia está representado por el número complejo cuatro más 𝑖. Las coordenadas cartesianas de este punto son cuatro, uno. Y podríamos usar la fórmula de la distancia para calcular el radio, usando cero, siete o cero, menos cinco como uno de los otros puntos. Alternativamente, podemos hallar el módulo de la diferencia entre el número complejo cuatro más 𝑖 y siete 𝑖 o menos cinco 𝑖. Usemos siete 𝑖.

Siete 𝑖 menos cuatro más 𝑖 es lo mismo que seis 𝑖 menos cuatro o menos cuatro más seis 𝑖. Así que necesitamos hallar el módulo de menos cuatro más seis 𝑖. Para hallar el módulo, elevamos al cuadrado las partes real e imaginaria, hallamos su suma y después hallamos la raíz cuadrada de este número. Este es el módulo de menos cuatro al cuadrado más seis al cuadrado, que es dos raíz de 13. Sabemos que el borde de nuestra región, la circunferencia, se describe mediante la ecuación módulo de 𝑧 menos cuatro más 𝑖, porque ese es el centro, igual a dos raíz 13, ya que ese es el radio. Y podemos eliminar estos paréntesis y escribirlo como se muestra.

Sin embargo, debemos fijarnos otra vez en la región. Es la región fuera de la circunferencia. Cada punto de la región está a una distancia del centro de la circunferencia que es mayor que el radio. Y se trata de una línea continua, lo que significa que representa una inecuación débil. Y, por lo tanto, podemos decir que la región está representada por módulo de 𝑧 menos cuatro menos 𝑖 mayor o igual que dos raíz de 13.

Hemos visto hasta ahora regiones simples definidas mediante semirrectas y circunferencias. Sin embargo, para definir regiones compuestas, necesitamos usar la notación de conjuntos. Vamos a revisar brevemente lo que vamos a necesitar.

𝐴 unión 𝐵 es el conjunto de todos los elementos que están en 𝐴, en 𝐵 o en ambos. 𝐴 intersección 𝐵 es el conjunto de todos los elementos que están en 𝐴 y en 𝐵. Son los elementos comunes. 𝐴 prima es el complemento de 𝐴. Y ese es el conjunto de todos los elementos que no están en 𝐴, como se muestra en este tercer diagrama de Venn. Y pasamos ahora a ver cómo podemos definir regiones compuestas utilizando esta notación.

Describe algebraicamente la región sombreada en la siguiente figura, la cual tiene la forma 𝐴 intersección 𝐵 intersección 𝐶, donde 𝐴 es el conjunto de números complejos donde la parte imaginaria de 𝑧 es menor que 𝐴. 𝐵 es el conjunto de números complejos tales que el módulo de 𝑧 es menor o igual que el módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno. Y 𝐶 es el conjunto de números complejos tales que el módulo de 𝑧 es menor o igual que el módulo de 𝑧 menos 𝑧 dos. Y 𝑎, que es un número real, y 𝑧 uno y 𝑧 dos, que son números complejos, son constantes que hay que hallar.

Podemos ver que la región está delimitada por tres rectas. Tenemos una recta horizontal, que es L uno, y dos diagonales a las que llamaremos L dos y L tres. Podemos ver que nuestra recta horizontal tiene como ecuación parte imaginaria de 𝑧 igual a dos. Estamos interesados ​​en la región directamente debajo de esta recta. Y podemos ver que está representada por una línea discontinua. Por lo tanto, es una inecuación estricta. Podemos decir que 𝐴 es igual al conjunto de los números complejos cuya parte imaginaria es menor que dos.

Consideremos la diagonal que pasa por los puntos tres, cero y cero, menos tres. Recuerda que en el plano complejo llamamos diagonal a las mediatriz de un segmento que une un punto al origen. Y aquí es posible hacer esto mediante inspección. Observa que la recta atraviesa dos vértices de un cuadrado en tres, cero y cero, menos tres. Esto significa que el segmento que biseca debe pasar a través de los otros dos vértices, en cero, cero y en tres, menos tres.

Por lo tanto, nuestra recta es la mediatriz del segmento que une el punto tres, menos tres con el origen. Eso representa el número complejo tres menos tres 𝑖. Podemos decir que 𝐵 es igual al conjunto de números complejos tales que el módulo de este número complejo es menor o igual que el módulo de 𝑧 menos tres menos tres 𝑖.

Consideremos ahora la tercera recta. No es tan fácil hallar la mediatriz por inspección. Podemos ver un método que puede aplicarse a este caso. Vamos a comenzar por hallar la pendiente de nuestra recta. La fórmula aquí es el cambio en 𝑦 dividido por el cambio en 𝑥, o sea, 𝑦 dos menos 𝑦 uno sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno. Por lo tanto, la pendiente es menos tres menos cero sobre cero menos menos dos, que es menos tres sobre dos.

Dado que esta recta atraviesa el eje imaginario en menos tres, podemos decir que su ecuación es 𝑦 igual a menos tres sobre dos 𝑥 menos tres. Y también podemos hallar la pendiente de mediatriz. Como la mediatriz es perpendicular a esta recta, su pendiente es dos tercios. Y, por supuesto, pasa por el origen. Su ecuación es 𝑦 igual a dos tercios de 𝑥.

A continuación, vamos a hallar el punto de intersección de estas rectas. Y lo haremos igualándolas. Sumamos menos tres sobre dos 𝑥 a ambos lados y después dividimos por tres. Y vemos que la abscisa 𝑥 del punto donde se cruzan estas dos rectas es menos 18 sobre 13. Reemplazamos esto en cualquiera de las ecuaciones que acabamos de usar y obtenemos un valor 𝑦 de menos 12 sobre 13. Hemos hallado, pues, el punto en el que se cruzan estas dos rectas. Nuestra recta es la mediatriz del segmento que une un número complejo con el origen. Así que estas coordenadas que acabamos de hallar deben ser la mitad del valor del número complejo que buscamos.

Por lo tanto, debemos duplicar los valores 𝑥 y 𝑦. Y podemos ver que el número complejo que necesitamos, el 𝑧 dos en la parte 𝐶, está dado por el punto cuyas coordenadas cartesianas son menos 36 sobre 13 y menos 24 sobre 13. Y eso nos dice que 𝐶 es igual al conjunto de números complejos tales que el módulo de 𝑧 es menor o igual al módulo de 𝑧 menos menos 36 sobre 13 menos 24 sobre 13 𝑖. Y, la pregunta decía que 𝑎, 𝑧 uno y 𝑧 dos son constantes que han de ser halladas. Por lo tanto, hemos hallado que 𝑎 es igual a dos. 𝑧 es igual a tres menos tres 𝑖. Y 𝑧 dos es igual a menos 36 sobre 13 menos 24 sobre 13.

Consideremos otro ejemplo de representación de regiones compuestas en el plano complejo.

El número complejo 𝑧 cumple las siguientes condiciones. El módulo de 𝑧 es mayor o igual que dos por el módulo de 𝑧 más 12 menos nueve 𝑖. El módulo de 𝑧 menos dos 𝑖 es mayor o igual que el módulo de 𝑧 más seis más cuatro 𝑖. Y la parte imaginaria de 𝑧 es menor que 12. Representa la región en el plano complejo.

Ocupémonos primero de la primera región. Podemos hallar el centro y el radio de la circunferencia sustituyendo 𝑧 por 𝑥 más 𝑦𝑖 en nuestra ecuación. Recuerda que solo necesitamos hallar el borde de la región. Después elevamos ambos lados de esta ecuación al cuadrado. Podemos reemplazar inmediatamente dos al cuadrado con cuatro.

Pero, para el resto de la ecuación, vamos a necesitar usar la definición del módulo. Sabemos que el módulo de 𝑥 más 𝑦𝑖 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Por lo tanto, el lado izquierdo de nuestra ecuación se convierte en 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Después agrupamos las partes reales e imaginarias en el lado derecho. Y obtenemos cuatro por 𝑥 más 12 todo al cuadrado más 𝑦 menos nueve todo al cuadrado. Desarrollando los paréntesis y luego simplificando, en el lado derecho, obtenemos cuatro 𝑥 al cuadrado más 96𝑥 más cuatro 𝑦 al cuadrado menos 72𝑦 más 900. Restamos 𝑥 al cuadrado y 𝑦 al cuadrado de ambos lados de esta ecuación. Y, dividimos por tres.

Estamos tratando de determinar la ecuación cartesiana de una circunferencia. Así que vamos a completar el cuadrado en 𝑥 y 𝑦. Para 𝑥, tenemos 𝑥 más 16 todo al cuadrado menos 256. Y para 𝑦, tenemos 𝑦 menos 12 todo al cuadrado menos 144. Y sumamos 300. Menos 256 menos 144 más 300 es menos 100. Sumamos 100 a ambos lados. Y tenemos la ecuación cartesiana de la circunferencia. Tiene un centro en menos 16, 12 y un radio de 10 unidades.

El borde de nuestra primera región es, por lo tanto, una circunferencia. Pero ¿cómo decidimos si sombrear la parte de dentro o la parte de fuera de la circunferencia? Bien, tomemos un punto que se halle fuera de la circunferencia. Tomemos el punto cuyas coordenadas cartesianas son uno, cero. Este es el número complejo uno. Vamos a reemplazar esto en la primera inecuación y ver si la afirmación es correcta.

Esta afirmación es módulo de uno es mayor o igual que dos por el módulo de uno más 12 menos nueve 𝑖. O módulo de uno es mayor o igual que dos por el módulo de 13 menos nueve 𝑖. Bien, el módulo de uno es uno. Y el módulo de 13 menos nueve 𝑖 es raíz de 250. No es cierto que uno es mayor que dos raíz de 250. Así que esta afirmación es falsa. Y esto nos dice que nuestro interés está en el interior de la circunferencia. Esa es la región que satisface la primera condición. Sombrearemos completamente una región cuando hayamos resuelto las otras dos condiciones.

Para dos, sabemos que la ecuación módulo de 𝑧 menos dos 𝑖 igual a módulo de 𝑧 más seis más cuatro 𝑖, representa la mediatriz del segmento que une el punto dos 𝑖 y menos seis menos cuatro 𝑖. Este es el segmento entre cero, dos y menos seis, menos cuatro. Podemos hallar la ecuación exacta de la mediatriz de este segmento determinando la pendiente y el punto medio del segmento bisecado. Alternativamente, podemos hacer esto por inspección. Y podemos ver que el segmento pasa a través de los puntos cero, menos cuatro y menos cuatro, cero. Y, de hecho, también pasa a través del centro de nuestra circunferencia

Nuevamente, sustituimos 𝑧 igual a uno en la inecuación y vemos si la afirmación es correcta. El módulo de uno menos dos 𝑖 es la raíz cuadrada de cinco. Y el módulo de uno más seis más cuatro 𝑖, o sea, el módulo de siete más cuatro 𝑖 es la raíz cuadrada de 65. Otra vez, podemos ver que en realidad no es cierto que la raíz cuadrada de cinco sea mayor o igual que la raíz cuadrada de 65. Así que estamos interesados ​​en el otro lado de la recta. Recuerda que dibujamos una recta continua porque nuestra inecuación es una inecuación débil.

Pasemos a la tercera región. Nos han dicho que la parte imaginaria de 𝑧 debe ser menor que 12. El límite de esta región es la recta horizontal que pasa por 12 en el eje imaginario. Y como es una inecuación estricta, dibujamos una recta discontinua. Estamos interesados en la región debajo de la recta discontinua. Para satisfacer las tres regiones en esta pregunta, necesitamos la intersección de las regiones. Así que sombreamos la parte común de las tres regiones. Es el sector de la circunferencia que se muestra. Y ya hemos terminado. Hemos representado la región en el plano complejo.

En este video, hemos visto que podemos usar lo que sabemos de los lugares geométricos en el plano para representar regiones en el plano complejo. Utilizamos líneas discontinuas para representar puntos del borde que no están incluidos y líneas continuas para representar regiones que incluyen los puntos del borde. Y podemos usar operaciones de conjuntos como la unión, la intersección y el complementario para definir regiones compuestas en el plano complejo.

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