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Vídeo de la lección: Resolución de ecuaciones exponenciales usando logaritmos Matemáticas • Décimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo usar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales.

17:27

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver ecuaciones exponenciales aplicando logaritmos. Para ello, vamos a ver primero la relación que existe entre las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas. Y vamos a repasar también las propiedades de los logaritmos.

Sabemos que las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales. Si 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑏, entonces 𝑥 es igual al logaritmo en base 𝑎 de 𝑏. Esta es una de las propiedades que vamos a aplicar para resolver ecuaciones en forma exponencial. Por ejemplo, si dos elevado a 𝑥 es igual a 16, 𝑥 es igual al logaritmo en base dos de 16. Si usamos una calculadora científica, obtendremos una respuesta de cuatro. Sabemos que esto es correcto porque dos a la cuarta es 16.

En esta lección, para resolver ecuaciones exponenciales, vamos a repasar primero las propiedades de los logaritmos. La primera propiedad dice que logaritmo en base 𝑎 de 𝑥 más logaritmo en base 𝑎 de 𝑦 es igual a logaritmo en base 𝑎 de 𝑥 por 𝑦. Otra de las propiedades dice que logaritmo en base 𝑎 de 𝑥 menos logaritmo en base 𝑎 de 𝑦 es igual a logaritmo en base 𝑎 de 𝑥 entre 𝑦. Por último, tenemos que logaritmo en base 𝑎 de 𝑥 elevado a 𝑛 es igual a 𝑛 multiplicado por logaritmo en base 𝑎 de 𝑥.

En este vídeo vamos a usar, fundamentalmente, esta tercera propiedad, además de la relación que existe entre las ecuaciones exponenciales y las logarítmicas. Fíjate en que en las tres propiedades de los logaritmos, la base debe ser la misma. Recordemos que el logaritmo decimal —o sea, en base 10— de 𝑥 normalmente se escribe sin mostrar la base explícitamente, o sea simplemente como logaritmo de 𝑥. Por lo tanto, cuando calculamos logaritmos, lo más común es usar logaritmos en base 10. Así no tenemos que estar escribiendo la base en cada uno de nuestros cálculos. Veamos ahora algunas cuestiones en las que se nos pide resolver ecuaciones exponenciales.

Resuelve tres elevado a 𝑥 igual a 11 para 𝑥, y expresa la respuesta con tres cifras decimales.

Hay dos formas de resolver esta ecuación usando logaritmos. La primera de ellas consiste en usar el hecho de que, si 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑏, entonces 𝑥 es igual a logaritmo en base 𝑎 de 𝑏. En este problema, las constantes 𝑎 y 𝑏 son tres y 11, respectivamente. Esto significa que 𝑥 es igual a logaritmo en base tres de 11. Si escribimos el lado derecho en nuestra calculadora científica obtenemos 2.182658, etcétera. Como se nos ha pedido que demos la respuesta con tres cifras decimales, el dígito que va a determinar si redondeamos hacia arriba o hacia abajo es el seis. Cuando el dígito determinante es cinco o mayor, redondeamos hacia arriba. Por lo tanto, 𝑥 es igual a 2.183. Podemos comprobar si la respuesta es correcta sustituyéndola en la ecuación original. Tres elevado a 𝑥 es igual a 11.

La segunda forma de resolver este problema es aplicando primero el logaritmo a ambos lados. Como hemos dicho, un logaritmo cuya base no se muestra es un logaritmo en base 10. Una de las propiedades de los logaritmos dice que logaritmo de 𝑥 elevado a 𝑛 es igual a 𝑛 multiplicado por logaritmo de 𝑥. Como el exponente en el lado izquierdo de nuestra ecuación es 𝑥, este lado puede reescribirse como 𝑥 multiplicado por logaritmo de tres. Y esto es igual a logaritmo de 11. Seguidamente dividimos ambos lados de la ecuación por logaritmo de tres y obtenemos que 𝑥 es igual a logaritmo de 11 dividido por logaritmo de tres. Y, de nuevo, obtenemos una respuesta redondeada a las milésimas de 2.183.

En el próximo ejercicio tendremos que operar con un exponente un poco más complejo.

Halla, a las centésimas, el valor de 𝑥 para el que dos elevado a 𝑥 más ocho es igual a nueve.

En este ejercicio se nos pide resolver una ecuación exponencial. Para hacerlo vamos a aplicar lo que sabemos de los logaritmos. Hay dos métodos muy comunes de resolver esto. Una forma es recordar que, si 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑏, entonces 𝑥 es igual a logaritmo en base 𝑎 de 𝑏. En esta cuestión tenemos que el exponente es 𝑥 más ocho, y que los valores de 𝑎 y 𝑏 son dos y nueve, respectivamente. Por lo tanto, el exponente 𝑥 más ocho es igual a logaritmo en base dos de nueve. Escribimos el lado derecho en la calculadora y obtenemos 3.169925 etcétera. Como queremos hallar el valor de 𝑥, hemos de restar ocho de ambos lados de la ecuación. Así, obtenemos que 𝑥 es igual a menos 4.830074 etcétera. Recordemos que se nos ha pedido redondear la respuesta a las centésimas, que es lo mismo que expresarla con dos cifras decimales. Por lo tanto, 𝑥 es igual a menos 4.83. Podemos comprobar la respuesta sustituyéndola en la ecuación dos elevado a 𝑥 más ocho igual a nueve.

Otra forma de resolver este problema consiste en aplicar el logaritmo a ambos lados de la ecuación original. De forma que ahora podemos aplicar la propiedad de los logaritmos que dice que logaritmo de 𝑥 elevado a 𝑛 es igual a 𝑛 multiplicado por logaritmo de 𝑥. Así, el lado izquierdo de la ecuación se convierte en 𝑥 más ocho multiplicado por logaritmo de dos. Y esto es igual a logaritmo de nueve. Seguidamente dividimos ambos lados de la ecuación por logaritmo de dos, de forma que 𝑥 más ocho es igual a logaritmo de nueve partido por logaritmo de dos. Este lado derecho es, por supuesto, igual a logaritmo en base dos de nueve. Si lo escribimos directamente en la calculadora, obtendremos de nuevo 3.169925, etcétera. A continuación restamos ocho de ambos lados de la ecuación, y obtenemos que 𝑥 es igual a menos 4.83.

Como has visto, cualquiera de estos métodos sirve perfectamente para resolver una ecuación exponencial de este tipo.

El siguiente ejercicio va a ser un poco más difícil, pues tendremos un exponente en ambos lados de la ecuación.

Utiliza una calculadora para hallar el valor de 𝑥 para el que tres elevado a menos cuatro 𝑥 menos tres es igual a ocho elevado a 𝑥 más 4.7. Expresa la respuesta con dos cifras decimales.

Para resolver esta ecuación exponencial vamos a empezar aplicando el logaritmo a ambos lados. Obtenemos logaritmo de tres elevado a menos cuatro 𝑥 menos tres igual a logaritmo de ocho elevado a 𝑥 más 4.7. Como ya hemos visto, una de las propiedades de los logaritmos dice que logaritmo de 𝑥 elevado a 𝑛 es igual a 𝑛 multiplicado por logaritmo de 𝑥. Bajamos los exponentes de ambos lados de la ecuación, y obtenemos menos cuatro 𝑥 menos tres multiplicado por logaritmo de tres igual a 𝑥 más 4.7 multiplicado por logaritmo de ocho.

Ahora vamos a desarrollar los paréntesis en ambos lados de la ecuación. El lado izquierdo se convierte en menos cuatro 𝑥 logaritmo de tres menos tres logaritmo de tres. El lado derecho se convierte en 𝑥 logaritmo de ocho más 4.7 logaritmo de ocho. Dos de los cuatro términos contienen 𝑥. Así que necesitamos que estos dos términos estén en el mismo lado de la ecuación. Para conseguirlo sumamos cuatro 𝑥 logaritmo de tres y restamos 4.7 logaritmo de ocho en ambos lados de la ecuación, y obtenemos que menos tres logaritmo de tres menos 4.7 logaritmo de ocho es igual a 𝑥 logaritmo de ocho más cuatro 𝑥 logaritmo de tres.

El siguiente paso consiste en extraer la 𝑥 de factor común en el lado derecho, de modo que obtenemos 𝑥 multiplicado por logaritmo de ocho más cuatro logaritmo de tres. Ahora, para despejar la 𝑥, dividimos ambos lados de la ecuación por logaritmo de ocho más cuatro logaritmo de tres. Y tenemos que 𝑥 es igual a menos tres logaritmo de tres menos 4.7 logaritmo de ocho partido por logaritmo de ocho más cuatro logaritmo de tres. Recordando que un logaritmo en el que no aparece la base es un logaritmo en base 10, escribimos esto en la calculadora, y obtenemos que 𝑥 es igual a menos 2.018756, etcétera. Redondeamos la respuesta a las centésimas, y obtenemos que 𝑥 es igual a menos 2.02. Este es el valor de 𝑥 para el que tres elevado a menos cuatro 𝑥 menos tres es igual a ocho elevado a 𝑥 más 4.7.

Ahora vamos a considerar dos tipos de ecuaciones exponenciales ligeramente distintas.

Resuelve dos por tres elevado a 𝑥 igual a cinco por cuatro elevado a 𝑥 para 𝑥, y expresa la respuesta redondeada a las milésimas.

Hay varias maneras de resolver este problema. Una de ellas consiste en dividir ambos lados por cinco multiplicado por tres elevado a 𝑥. De esta forma en el lado izquierdo tres elevado a 𝑥 se cancela y nos queda dos quintos. En el lado derecho los cincos se cancelan y nos queda cuatro elevado a 𝑥 dividido por tres elevado a 𝑥. Cuando el numerador y el denominador de una fracción están elevados al mismo exponente, podemos reescribirla como se muestra aquí. 𝑎 elevado a 𝑥 dividido por 𝑏 elevado a 𝑥 es igual a 𝑎 partido por 𝑏 elevado a 𝑥. Así, dos quintos es igual a cuatro tercios elevado a 𝑥.

Esta ecuación puede ser resuelta calculando los logaritmos de ambos lados. O también podemos usar el hecho de que si 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑏, entonces 𝑥 es igual a logaritmo en base 𝑎 de 𝑏. Los valores de 𝑎 y 𝑏, respectivamente, son cuatro tercios y dos quintos. Por lo tanto, 𝑥 es igual a logaritmo en base cuatro tercios de dos quintos. Escribimos esto en la calculadora, y obtenemos que 𝑥 es igual a menos 3.185081, etcétera. Y como se nos ha pedido que redondeemos la respuesta a las milésimas, 𝑥 es igual a menos 3.185.

Como hemos dicho, podríamos haber calculado los logaritmos de ambos lados cuando teníamos la ecuación dos quintos igual a cuatro tercios elevado a 𝑥. De esta forma habríamos obtenido que logaritmo de dos quintos es igual a logaritmo de cuatro tercios elevado a 𝑥. Una de las propiedades de los logaritmos establece que logaritmo de 𝑥 elevado a 𝑛 es igual a 𝑛 multiplicado por logaritmo de 𝑥. Esto significa que podemos reescribir el lado derecho como 𝑥 multiplicado por el logaritmo de cuatro tercios. Dividimos ambos lados por logaritmo de cuatro tercios, y obtenemos que 𝑥 es igual a logaritmo de dos quintos dividido por logaritmo de cuatro tercios. Escribimos esto en la calculadora, y obtenemos, de nuevo, que la respuesta es menos 3.185. Esto confirma que este es el valor de 𝑥 que hace que la ecuación dos por tres elevado a 𝑥 igual a cinco por cuatro elevado a 𝑥 se cumpla.

Veamos ahora una última cuestión.

Utiliza la calculadora para hallar el valor de 𝑥 que satisface la ecuación dos elevado a 𝑥 por siete igual a 16 por siete elevado a 𝑥 más nueve. Expresa la respuesta con dos cifras decimales.

Para resolver este problema vamos a comenzar calculando los logaritmos de ambos lados de la ecuación. De este modo obtenemos que logaritmo de dos elevado a 𝑥 por siete es igual a logaritmo de 16 por siete elevado a 𝑥 más nueve. Recordemos que una de las propiedades de los logaritmos dice que logaritmo de 𝑥 más logaritmo de 𝑦 es igual a logaritmo de 𝑥 por 𝑦. Esto significa que podemos reescribir el lado izquierdo como logaritmo de dos elevado a 𝑥 más logaritmo de siete. El lado derecho puede reescribirse como logaritmo de 16 más logaritmo de siete elevado a 𝑥 más nueve.

Otra de las propiedades de los logaritmos dice que logaritmo de 𝑥 elevado a 𝑛 es igual a 𝑛 multiplicado por logaritmo de 𝑥. Podemos reescribir el primero término del lado izquierdo como 𝑥 logaritmo de dos. El último término en el lado derecho puede reescribirse como 𝑥 más nueve multiplicado por logaritmo de siete. Desarrollamos el paréntesis, y obtenemos 𝑥 logaritmo de siete más nueve logaritmo de siete.

Por lo tanto, la ecuación se ha convertido en 𝑥 logaritmo de dos más logaritmo de siete igual a logaritmo de 16 más 𝑥 logaritmo de siete más nueve logaritmo de siete. Dos de los cinco términos contienen 𝑥, por lo que vamos a querer tenerlos en el mismo lado de la ecuación. Restamos logaritmo de siete y 𝑥 logaritmo de siete de ambos lados, y obtenemos que 𝑥 logaritmo de dos menos 𝑥 logaritmo de siete es igual a logaritmo de 16 más nueve logaritmo de siete menos logaritmo de siete. Los dos últimos términos del lado derecho se pueden simplificar. Nueve logaritmo de siete menos logaritmo de siete es igual a ocho logaritmo de siete.

Seguidamente sacamos el factor común de 𝑥 en el lado izquierdo y obtenemos 𝑥 multiplicado por logaritmo de dos menos logaritmo de siete. Esto es igual a logaritmo de 16 más ocho logaritmo de siete. Por último, dividimos ambos lados por logaritmo de dos menos logaritmo de siete. Escribimos esto en la calculadora, y obtenemos que 𝑥 es igual a menos 14.6395, etcétera. ¡Ojo!, ten en cuenta que se nos ha pedido expresar la respuesta con dos cifras decimales. Por lo tanto, 𝑥 es igual a menos 14.64. Este es el valor de 𝑥 para el que dos elevado a 𝑥 por siete es igual a 16 por siete elevado a 𝑥 más nueve.

Para finalizar, vamos a resumir los puntos clave que hemos visto en este vídeo. En primer lugar, hemos aprendido que las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales. Esto significa que podemos resolver una ecuación exponencial aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuación. Para resolver una ecuación exponencial sencilla, podemos usar el hecho de que decir que 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑏 es lo mismo que decir que 𝑥 es igual al logaritmo en base 𝑎 de 𝑏. Asimismo, hemos aplicado tres de las propiedades de los logaritmos: logaritmo de 𝑥 más logaritmo de 𝑦 es igual a logaritmo de 𝑥𝑦, logaritmo de 𝑥 menos logaritmo de 𝑦 es igual a logaritmo de 𝑥 dividido por 𝑦, y logaritmo de 𝑥 elevado a 𝑛 es igual a 𝑛 multiplicado por logaritmo de 𝑥.

Hemos visto, además, que cuando no aparece la base en un logaritmo, significa que el logaritmo tiene base 10. Usando todo lo que sabemos sobre los logaritmos hemos sido capaces de resolver ecuaciones exponenciales, incluyendo aquellas en las que los exponentes son números racionales y las que tienen exponentes que son binomios en una variable.

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