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Vídeo de la lección: Escalares, segmentos y vectores Matemáticas • Duodécimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo identificar, construir y representar vectores.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo identificar, construir y representar vectores. Comenzaremos examinando un vector que conecta dos puntos. Consideremos la siguiente cuestión.

¿Qué datos necesitamos para definir completamente un vector? Consideremos el sistema de coordenadas 𝑥𝑦 que se muestra. La flecha dibujada representa un vector. Hay dos formas de definir un vector. Un segmento tiene módulo y dirección, un vector es un segmento orientado, pues tiene módulo, dirección y, además, sentido. La longitud del segmento es el módulo del vector, la orientación del segmento es la dirección del vector y la flecha indica el sentido del vector. Un segmento tiene dos extremos; un vector tiene un origen, el cual, a veces, se llama punto inicial; y un extremo, el cual se llama, a veces, punto final. Un vector está determinado por el cambio de posición que hay del origen al extremo. Esto indica que también tenemos una segunda forma de definir un vector si conocemos su punto inicial u origen y su punto terminal o extremo. Por lo tanto, podemos concluir que para definir un vector necesitamos, bien su magnitud o módulo, su dirección y su sentido, o bien su punto inicial y su punto terminal.

Veamos ahora cuál es la notación que usamos cuando operamos con vectores. Que una letra representa un vector, tal como el vector 𝐯 del dibujo, se suele indicar bien escribiendo la letra en negrita, o bien poniendo a la letra un acento en forma de flecha o de media flecha. En el dibujo, para ir del origen del vector a su extremo, hemos de movernos siete unidades en el sentido positivo del eje de las 𝑥 y tres unidades en el sentido positivo del eje de las 𝑦. Esto puede escribirse entre paréntesis, como se muestra. Alternativamente, podemos escribir un vector en términos de los vectores unitarios 𝐢 y 𝐣, en este caso siete 𝐢 más tres 𝐣. La componente 𝐢 es el desplazamiento en la dirección 𝑥, y la componente 𝐣 es el desplazamiento en la dirección 𝑦. También podríamos escribir esto como un vector columna siete, tres, de esta forma.

Denotamos el módulo del vector 𝐯 con barras de valor absoluto, y podemos calcularlo usando el teorema de Pitágoras. En este caso, la magnitud del vector 𝐯 es igual a la raíz cuadrada de siete al cuadrado más tres al cuadrado. Calculamos la suma de los cuadrados de las componentes 𝑥 y 𝑦, y luego hacemos la raíz cuadrada del resultado. En este ejemplo, la magnitud del vector 𝐯 es igual a la raíz cuadrada de 58.

Como ya hemos dicho, también podemos definir un vector usando su punto inicial (origen) y su punto terminal (extremo). En este ejemplo, el punto 𝐴 tiene coordenadas menos tres, uno y el punto 𝐵 tiene coordenadas cuatro, cuatro. Podemos calcular el vector definido por el segmento 𝐴𝐵 restando las coordenadas 𝑥 y luego restando las coordenadas 𝑦. Al restar la coordenada 𝑥 de 𝐴 de la coordenada 𝑥 de 𝐵 obtenemos cuatro menos menos tres. Con la coordenada 𝑦, obtenemos cuatro menos uno. Esto demuestra, una vez más, que el vector de nuestro diagrama es siete, tres.

Ahora veremos una cuestión en la que se nos pide identificar vectores con la misma dirección.

¿Qué vector tiene la misma dirección que el vector 𝐚?

Si dos vectores tienen la misma dirección, entonces determinan rectas paralelas. Esto significa que sus rectas nunca se cortan. Por lo tanto, podemos concluir, a partir del diagrama, que el vector que tiene la misma dirección que 𝐚 es el vector 𝐝. Los vectores 𝐚 y 𝐛 tienen el mismo punto inicial. Y se ve claramente que no tienen la misma dirección. Análogamente, los vectores 𝐚 y 𝐜 tienen el mismo punto terminal. Y se ve claramente que tampoco tienen la misma dirección. Si dos segmentos tienen el mismo punto inicial o el mismo punto terminal y son paralelos, entonces están en la misma recta. Si no están en la misma recta, no tienen la misma dirección.

De hecho, podemos decir un poquito más en esta cuestión. Podemos ver en la cuadrícula que el vector 𝐚 es igual a cuatro, dos. Desde el punto inicial hasta el punto terminal, nos movemos cuatro unidades hacia la derecha y dos unidades hacia arriba. Esto también se cumple para el vector 𝐝. Por lo tanto, podemos concluir que los vectores 𝐚 y 𝐝 tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido. Si dos vectores tienen las mismas coordenadas 𝑥 y 𝑦, tienen, por supuesto, la misma magnitud, dirección y sentido.

En la siguiente cuestión se nos pide identificar el punto final o extremo de un vector.

¿Cuál es el punto terminal del vector AB?

El vector AB es el segmento orientado que comienza en el punto 𝐴 y termina en el punto 𝐵. El punto 𝐴 se conoce como punto inicial u origen del vector. El punto 𝐵 se conoce como extremo o punto terminal del vector. Escribir AB con una flecha o media flecha por encima es la notación habitual para el vector que comienza en el punto 𝐴 y termina en el punto 𝐵. Por lo tanto, podemos concluir que el punto terminal del vector es el punto 𝐵.

En el siguiente problema vamos a calcular la magnitud de un vector.

Halla la magnitud del vector 𝐯 que se muestra en la siguiente cuadrícula de cuadrados unitarios.

Todo vector, en este caso 𝐯, puede escribirse en términos de sus coordenadas 𝑥 e 𝑦. Todo vector tiene también un origen o punto inicial y un extremo o punto final. Para ir del punto inicial al punto final, nos desplazamos una unidad hacia la derecha y dos unidades hacia arriba. Esto significa que el vector 𝐯 es igual a uno, dos. La magnitud de un vector se denota usando barras de valor absoluto. La magnitud es, gráficamente, la longitud del segmento, y se puede calcular hallando la suma de los cuadrados de las componentes 𝑥 e 𝑦 y calculando luego la raíz del resultado. En esta cuestión, la magnitud del vector 𝐯 es igual a la raíz cuadrada de uno al cuadrado más dos al cuadrado. Uno al cuadrado es uno y dos al cuadrado es cuatro. Esto significa que la magnitud del vector 𝐯 es igual a la raíz cuadrada de cinco.

En la última pregunta nos piden que identifiquemos la figura formada por cuatro vectores.

¿Qué figura forman estos cuatro vectores?

Si nos fijamos en el diagrama, podemos ver enseguida que tenemos dos vectores 𝐮, uno que va del punto 𝐴 al punto 𝐵 y otro que va del punto 𝐶 al punto 𝐷. Estos dos vectores tienen la misma magnitud, dirección y sentido. Esto significa que son paralelos y tienen la misma longitud y sentido. Del mismo modo, vemos que los segmentos 𝐴𝐶 y 𝐵𝐷 son iguales al vector 𝐯. Por lo tanto, estos dos lados de la figura también deben ser paralelos y tener la misma longitud. Sabemos que toda figura de cuatro lados, o sea, todo cuadrilátero que está formado por dos pares de lados paralelos de igual longitud es un paralelogramo. Esto significa que, según la información aportada por el diagrama, esta figura es un paralelogramo. Hay varios tipos de paralelogramos, tales como rectángulos, cuadrados y rombos. Sin embargo, no tenemos suficiente información en esta cuestión para demostrar que nuestro paralelogramo es un rectángulo, un cuadrado o un rombo.

Resumamos ahora los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Al comienzo de este vídeo, dijimos que un vector tiene módulo (magnitud), dirección y sentido. Un vector puede representarse como un segmento dirigido, así. La longitud del segmento es la magnitud del vector, la orientación del segmento es la dirección del vector y la flecha indica el sentido del vector. Los vectores en dos dimensiones tienen componentes 𝑥 e 𝑦. Como este vector indica un desplazamiento hacia la derecha y hacia abajo, tendrá una componente 𝑥 positiva y una componente 𝑦 negativa. El vector indica un desplazamiento de cinco unidades hacia la derecha y cuatro unidades hacia abajo. Por lo tanto, sus componentes son cinco, menos cuatro. También sabemos que todo vector tiene un punto inicial y un punto terminal. El punto inicial también se conoce como origen y el punto terminal como extremo.

También vimos que, si el punto A tiene coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno y el punto B tiene coordenadas 𝑥 dos, 𝑦 dos, entonces las coordenadas del vector AB son las coordenadas del punto B menos las coordenadas del punto A. Para calcular las coordenadas del vector AB, restamos las coordenadas 𝑥 e 𝑦 por separado. Por último, vimos que el módulo del vector 𝐯 con componentes 𝑥 e 𝑦 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Denotamos la magnitud (módulo) con barras de valor absoluto, y es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las dos coordenadas.

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