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Vídeo de la lección: Problemas de proporcionalidad Matemáticas • Séptimo grado

En este video, vamos a aprender cómo hallar un término desconocido en una proporción y cómo resolver problemas que incluyen fracciones, números mixtos y decimales.

16:35

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender sobre proporciones y razones y, en particular, sobre cómo hallar una cantidad desconocida en una proporción. Comencemos considerando la pregunta ¿qué es una proporción? Imagina que tenemos una receta para una ensalada de frutas, que para dos personas requiere dos manzanas y tres naranjas. Supongamos que queremos hacer esta ensalada para cuatro personas. Necesitaremos duplicar las cantidades. Cuatro manzanas y seis naranjas. Podemos decir que, la cantidad de manzanas y la cantidad de naranjas son variables proporcionales entre sí. Podemos decir que dos magnitudes, 𝐴 y 𝐵, son directamente proporcionales si sus razones son iguales. A menudo podemos ver la proporción escrita sin la palabra «directamente». En ese caso, suponemos que se trata de una proporción directa. También podemos escribir el enunciado de que sus razones son iguales de una manera más matemática.

Podemos decir que las magnitudes 𝐴 y 𝐵 son directamente proporcionales si, al ocurrir, en una situación dada, que la cantidad de 𝐴 es 𝐴 sub uno y la cantidad de 𝐵 es 𝐵 sub uno. Y en una situación diferente, que la cantidad de 𝐴 es 𝐴 sub dos y la cantidad de 𝐵 es 𝐵 sub dos. Entonces, la razón entre 𝐴 sub y 𝐵 sub uno es igual a la razón entre 𝐴 sub dos y 𝐵 sub dos. O, lo que es equivalente, 𝐴 sub uno sobre 𝐵 sub uno es igual a 𝐴 sub dos sobre 𝐵 sub dos. Volviendo a nuestro ejemplo de manzanas y naranjas, dos manzanas por cada tres naranjas puede escribirse como una razón de dos a tres. Y es igual a una razón de cuatro a seis, cuatro manzanas y seis naranjas. Decimos que son iguales porque si reducimos la razón de cuatro a seis a su forma más simple, obtendríamos dos a tres. Como fracción, esto puede expresarse como que dos tercios equivalen a cuatro sextos. Y esto es así porque la fracción cuatro sextos se reduce a dos tercios.

Veamos ahora cómo podemos identificar una relación proporcional. El primer tipo puede ser descrito como una razón que compara dos partes iguales de un entero. Si observamos las razones y los rectángulos siguientes, vemos que, en el primer rectángulo, la razón de naranja a rosa es de tres a cinco. En el segundo rectángulo, la razón de naranja a rosa sería de seis a 10. Como podemos reducir la razón de seis a 10 a de tres a cinco, estas dos razones forman una proporción. Forman una proporción puesto que podemos reducir las razones a su forma más simple y vemos que son iguales. El segundo tipo de proporción que veremos es cuando tenemos una razón en la que se compara una parte y un todo.

En nuestro primer diagrama, vemos que hay 10 estudiantes y cuatro niñas. Podemos escribir esto como cuatro décimos. En el segundo diagrama, tenemos dos niñas y cinco estudiantes, que podemos escribir como dos quintos. Podemos decir que estas magnitudes son proporcionales si las fracciones reducidas son las mismas. Y por supuesto que sabemos que cuatro décimos se reduce a dos quintos. Cuando hablamos de proporción, también podemos encontrarnos con la expresión razón unitaria o tasa unitaria. Una razón unitaria o tasa unitaria es una razón que tiene un segundo término igual a uno. Por ejemplo, si queremos hallar la razón unitaria de nuestra razón de tres a cinco, necesitamos una razón equivalente con un segundo término igual a uno. Para pasar de cinco a uno, dividimos por cinco. Por lo tanto, también debemos dividir el primer término de nuestra razón por cinco. Y escribimos tres dividido por cinco como tres quintos o 0.6. Nuestra tasa unitaria en este caso sería de 0.6 a uno. Veamos ahora algunas cuestiones sobre proporciones.

Olivia quiere agrandar una foto de cuatro pulgadas por seis pulgadas. ¿Cuál de las siguientes medidas es proporcional a la foto original? Opción A) ocho pulgadas por 10 pulgadas. Opción B) 18 pulgadas por 24 pulgadas. Opción C) 20 pulgadas por 24 pulgadas. Opción D) 16 pulgadas por 20 pulgadas. O opción E) 24 pulgadas por 36 pulgadas.

Podemos comenzar esta cuestión de proporcionalidad recordando que dos cantidades son proporcionales si sus razones son equivalentes. Aquí tenemos nuestra foto que mide cuatro pulgadas por seis pulgadas. Podemos escribir esto como la razón de cuatro a seis. Podríamos agrandar la foto multiplicando tanto el largo como el ancho por dos, lo que nos da un marco de ocho pulgadas por 12 pulgadas. Y la razón en este caso es de ocho a 12. Podemos decir que las dos son proporcionales, o que forman una proporción, ya que ambas se reducen a la misma razón de dos a tres. Veamos la opción A, ocho pulgadas por 10 pulgadas. Podemos escribir esto como la razón de ocho a 10. Sin embargo, podemos rechazarla inmediatamente, porque ya hemos visto que nuestra razón es de ocho a 12 y no de ocho a 10.

Alternativamente, también podríamos haber considerado reducir la razón de ocho a 10 dividiendo ambos lados de la razón por dos, lo que nos da cuatro a cinco, lo que no es equivalente a la razón de dos a tres. Pasemos ahora a la opción B, que es una razón de 18 a 24, y veamos si podemos reducirla a una razón de dos a tres. Dividimos ambos lados por seis, y 18 dividido por seis es tres y 24 dividido por seis es cuatro. Como esto no es equivalente a una razón de dos a tres, podemos rechazar la opción B.

En la opción C, la razón de 20 a 24 se reduce a una razón de cinco a seis al dividir ambos lados por cuatro. Esto también puede ser rechazado. En la opción D, la razón de 16 a 20 se reduce a cuatro a cinco, por lo que podemos rechazarla también. La razón en la opción E, 24 a 36, se reduce a una razón de dos a tres. Y como esta es la misma razón que obtuvimos al reducir nuestra razón de cuatro pulgadas por seis pulgadas, la razón de cuatro a seis es equivalente. Por tanto, la foto que es proporcional a la de cuatro pulgadas por seis pulgadas es la foto en la opción E, de 24 pulgadas por 36 pulgadas.

Charlotte puede escribir 75 palabras en tres minutos. Determina cuántas palabras escribirá en cuatro minutos.

Podemos responder esta cuestión usando dos métodos diferentes. El primer método implica la tasa o razón unitaria. La tasa unitaria es una razón que tiene el segundo término igual a uno. Comencemos escribiendo los valores de 75 palabras y tres minutos en una razón de palabras a minutos. Como nos dicen que son 75 palabras en tres minutos, podemos escribir esto como la razón de 75 a tres. Para hallar la tasa unitaria, necesitamos escribir esto como una razón donde el segundo término es uno. Dado que podemos hacer esto dividiendo por tres, también necesitamos dividir nuestro 75 por tres, lo que nos da 25. Hemos establecido, por lo tanto, que en un minuto Charlotte escribe 25 palabras. Necesitamos calcular cuántas palabras puede escribir en cuatro minutos. Mirando nuestra razón, pensamos, ¿cómo ir de uno a cuatro? Multiplicando por cuatro, por supuesto. Pero también debemos multiplicar 25 por cuatro, lo que nos da 100. Es decir, 100 palabras en cuatro minutos.

Consideremos un método alternativo. Hemos dicho que 𝐴 y 𝐵 son magnitudes directamente proporcionales si la razón de 𝐴 sub uno a 𝐵 sub uno es igual a la razón de 𝐴 sub dos a 𝐵 sub dos. O, lo que es lo mismo, si 𝐴 sub uno sobre 𝐵 sub uno es igual a 𝐴 sub dos sobre 𝐵 sub dos. Nuestros subíndices uno y dos aquí se refieren a los valores de 𝐴 y 𝐵 en dos situaciones diferentes. Si queremos escribir 75 palabras en tres minutos como una fracción, escribiremos esto como 75 sobre tres. Podemos poner esto igual a 𝑥 sobre cuatro, donde 𝑥 se refiere al número de palabras. Y hallar 𝑥 multiplicando en cruz. Que es lo mismo que hacer una regla de tres. Y obtenemos que 75 por cuatro es igual a tres por 𝑥. Podemos evaluar 75 por cuatro como 300. Y tres por 𝑥 puede escribirse como tres 𝑥. Para despejar 𝑥, debemos dividir ambos lados de nuestra ecuación por tres, obteniendo 100 igual a 𝑥. Hemos obtenido, pues, que nuestra incógnita 𝑥, el número de palabras es 100. Usando cualquiera de estos métodos, hemos establecido que Charlotte escribirá 100 palabras en cuatro minutos.

Veamos otro ejemplo en el que podemos usar una fracción para ayudarnos a resolver la proporción.

Un terreno es dividido entre dos personas en una razón de 13 a 10. La primera persona recibe 81 metros cuadrados más que la segunda persona. ¿Cuál es el área total del terreno?

En esta cuestión, tenemos una relación de proporcionalidad entre la primera persona y la segunda persona. Cuando tenemos una relación de proporcionalidad entre dos magnitudes 𝐴 y 𝐵, podemos decir que la razón de 𝐴 sub uno a 𝐵 sub uno es igual a la razón de 𝐴 sub dos a 𝐵 sub dos. O, lo que es lo mismo, que 𝐴 sub uno sobre 𝐵 sub uno es igual a 𝐴 sub dos sobre 𝐵 sub dos. Los valores de 𝐴 sub uno y 𝐵 sub uno se refieren a las cantidades de 𝐴 y 𝐵 en la primera situación. Y 𝐴 sub dos y 𝐵 sub dos se refieren a los valores de la variable en una segunda situación. Comencemos tomando nuestra razón de 13 a 10 y, escribiéndola en forma de fracción como podemos ver en la definición, obtenemos 13 sobre 10.

Para la segunda fracción, necesitamos una forma de expresar que la primera persona recibe 81 metros cuadrados más que la segunda persona. Usemos un valor 𝑥 para representar el tamaño de la parte de terreno de la segunda persona. Como la parte de la primera persona es 81 metros cuadrados más grande, podemos escribir esto como 𝑥 más 81. Y, ahora necesitamos resolver esta ecuación para hallar 𝑥. Podemos comenzar tomando el producto cruzado que nos da 10 por 𝑥 más 81 igual a 13 por 𝑥.

Luego multiplicamos el 10 por cada término en el paréntesis, comenzando con 10 por 𝑥, que es 10 𝑥, y después 10 por 81, que es 810. Y podemos escribir 13 por 𝑥 como 13 𝑥. Podemos continuar restando 10𝑥 de ambos lados de nuestra ecuación, obteniendo 810 igual a tres 𝑥, ya que 13𝑥 menos 10𝑥 es tres 𝑥. Para hallar 𝑥, dividimos ambos lados de nuestra ecuación por tres. Y obtenemos 𝑥 igual a 270 metros cuadrados. Así sabemos que la parte de la segunda persona, el valor 𝑥, es de 270 metros cuadrados. Para obtener lo que le corresponde a la primera persona calculamos 270 más 81, que son 351 metros cuadrados. Necesitamos calcular el área total del terreno. Así que sumamos 351 y 270, lo que nos da 621 metros cuadrados.

En la siguiente cuestión, vamos a ver un ejemplo de un tipo diferente de problema de proporcionalidad. Debemos tener mucho cuidado y aplicar un buen razonamiento y unas buenas habilidades matemáticas.

Tres obreros tardaron dos horas y un tercio en pintar una habitación grande. ¿Cuánto tiempo tardarán seis obreros en pintar la misma habitación suponiendo que todos trabajan al mismo ritmo?

Comencemos por considerar esto como una razón de los obreros en relación al tiempo empleado. Sabemos que tres obreros tardan dos horas y un tercio en pintar una habitación, así que podemos escribir esto como la proporción de tres a dos y un tercio. Necesitamos calcular cuánto tiempo tardarán seis obreros en pintar la misma habitación. Sería muy fácil pensar que simplemente debemos multiplicar por dos. Sin embargo, debemos analizar detenidamente el problema que se nos presenta. Si estuviéramos pintando una habitación y viniera un pariente a ayudarnos, ¿tardaríamos más tiempo o menos tiempo en pintar la habitación? Es de esperar que, al haber más personas pintando, el tiempo necesario será menor. Así que tenemos un ejemplo de proporción inversa. En una proporción inversa, si una variable aumenta, la otra variable disminuye. Aquí, a medida que aumenta el número de personas, el tiempo empleado en pintar disminuirá.

Para responder esta pregunta, hagamos uso de la variable 𝑡 para representar el tiempo empleado. Y la ecuación que escribimos es tres por dos y un tercio igual a seis por 𝑡. El lado izquierdo de nuestra ecuación representa el tiempo que nuestras tres personas han empleado en total al pasar cada una dos horas y un tercio pintando la habitación. Podemos simplificar nuestra ecuación escribiendo tres por siete sobre tres igual a seis 𝑡, ya que nuestra fracción mixta dos y un tercio se convierte en siete sobre tres como fracción impropia. Dado que nuestros treses en el lado izquierdo se cancelan, tenemos siete igual a seis 𝑡. Para hallar 𝑡, podemos dividir ambos lados de nuestra ecuación por seis, obteniendo siete sobre seis. También podemos escribir esto como uno y un sexto. Por lo tanto, nuestra respuesta final es que seis personas tardarán una hora y un sexto en pintar la habitación.

Verifiquemos nuestra respuesta volviendo a considerar esta proporción inversa. Sabemos que a tres personas les toma dos horas y un tercio pintar la habitación. Sabemos que estamos considerando seis personas y que debemos multiplicar tres por dos para obtener seis. El tiempo que tardan tres personas es de dos horas y un tercio. Y tenemos muy claro que no debemos multiplicar este valor por dos. Sin embargo, puesto que existe una proporción inversa, los valores seguirán siendo proporcionales de alguna manera. La inversa de multiplicar por dos sería dividir por dos, lo que equivale a multiplicar por un medio. Cuando dividimos dos y un tercio por dos, obtenemos una hora y un sexto, que coincide con nuestra primera respuesta de una hora y un sexto.

Repasemos los puntos clave que hemos aprendido en este video. Las variables 𝐴 y 𝐵 son directamente proporcionales si ocurre que, cuando en una situación, la cantidad de 𝐴 es 𝐴 sub uno y 𝐵 es 𝐵 sub uno. Y en una situación diferente, la cantidad de 𝐴 es 𝐴 sub dos y la de 𝐵 es 𝐵 sub dos. Entonces, la razón de 𝐴 sub uno a 𝐵 sub uno es igual a la razón de 𝐴 sub dos a 𝐵 sub dos. Y esto es equivalente a que 𝐴 sub uno sobre 𝐵 sub uno es igual a 𝐴 sub dos sobre 𝐵 sub dos. Podemos resumir esto diciendo que dos magnitudes son directamente proporcionales si sus razones son equivalentes.

Además, hemos aprendido sobre la tasa o razón unitaria, que es una razón de dos términos donde el segundo término es uno. También hemos visto un ejemplo de una cuestión que incluye una proporción inversa, que ocurre si, cuando una variable aumenta, la otra variable disminuye. Y hemos visto que, cuando respondemos una pregunta sobre proporciones, debemos estar muy atentos, y usar bien nuestra lógica y capacidad de razonamiento. Y es que en preguntas de proporcionalidad inversa, las reglas de proporcionalidad directa no aplican.

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