Lesson Video: Las raíces 𝑛-ésimas de la unidad

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En este video, vamos a aprender cómo hallar las raíces 𝑛-ésimas de la unidad y vamos a explorar sus propiedades. Vamos a comenzar mostrando qué son las raíces 𝑛-ésimas y cómo es su forma general. Seguidamente, exploraremos el comportamiento de sus sumas y las propiedades de sus recíprocos y describiremos varias aplicaciones de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad así como sus propiedades geométricas.

Si 𝑧 es una raíz 𝑛-ésima de la unidad, entonces satisface la ecuación 𝑧 a la 𝑛 igual a uno.

Podemos usar la fórmula de De Moivre para ayudarnos a resolver esta ecuación y, por tanto, para hallar la forma general de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad. La fórmula o teorema de De Moivre para raíces dice que, para un número complejo escrito en la forma trigonométrica, 𝑟 cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃, sus raíces 𝑛-ésimas están dadas por 𝑟 elevado a uno sobre 𝑛 por cos de 𝜃 más dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 más 𝑖 sen de 𝜃 más dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛. Y 𝑘 toma los valores enteros desde cero hasta 𝑛 menos uno.

Para resolver la ecuación 𝑧 elevado a 𝑛 igual a uno, comenzamos escribiendo el número uno en forma trigonométrica. Uno, cuya parte real es uno y cuya parte imaginaria es cero, es un número bastante fácil de escribir en forma trigonométrica. Si representamos uno en el plano complejo, vemos que está representado por el punto cuyas coordenadas cartesianas son uno, cero. El módulo de este número — o sea, 𝑅 en la forma general de nuestro número complejo — es la longitud del segmento de recta que une este punto al origen. Por tanto, su módulo debe ser una unidad. El argumento es la medida del ángulo que este segmento de recta forma con el eje real positivo. Y eso se mide en sentido antihorario. Podemos ver que su argumento debe ser cero.

Y podemos decir, pues, que uno es igual a uno por cos de cero más 𝑖 sen de cero. Las raíces 𝑛-ésimas de la unidad — en otras palabras, la raíces 𝑛-ésimas de uno — están dadas por uno por cos de cero más dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 más 𝑖 sen de cero más dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 para valores de 𝑘 entre cero y 𝑛 menos uno.

Podemos simplificar esta expresión. Y vemos que las raíces 𝑛-ésimas de la unidad están dadas por cos de dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 más 𝑖 sen de dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛, cuya forma exponencial es 𝑒 elevado a dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 𝑖. Y eso es para valores de 𝑘 entre cero y 𝑛 menos uno. Es importante hacer hincapié en que esta es la fórmula general de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad. Conviene aprenderla de memoria y utilizarla cada vez que tengamos que hallar raíces 𝑛-ésimas de la unidad. Conociendo esta expresión, no hay entonces necesidad de utilizar el teorema de De Moivre cada vez. En nuestros dos ejemplos siguientes, vamos a ver cómo se aplica esta fórmula para hallar las raíces 𝑛-ésimas de la unidad.

Halla las raíces cúbicas de la unidad y represéntalas en un diagrama de Argand.

Hallar las raíces cúbicas de la unidad es lo mismo que hallar las soluciones de la ecuación 𝑧 al cubo igual a uno. Para obtenerlas, podemos usar la fórmula general para las raíces 𝑛-ésimas de la unidad. Que es cos de dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 más 𝑖 sen de dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 para valores enteros de 𝑘 entre cero y 𝑛 menos uno. Como estamos hallando las raíces cúbicas de la unidad en este ejemplo, nuestro valor de 𝑛 es tres, lo que significa que 𝑘 tomará los valores cero, uno y dos.

Comencemos con el caso en donde 𝑘 es igual a cero. Esta raíz es cos de cero más 𝑖 sen de cero. Bien, cos de cero es uno. Y sen de cero es cero. Así que la primera raíz es uno. Y tiene mucho sentido, si pensamos en ello, pues uno es claramente una solución de la ecuación 𝑧 al cubo igual a uno.

A continuación, hacemos 𝑘 igual a uno. Esta raíz es cos de dos 𝜋 partido por tres más 𝑖 sen de dos 𝜋 partido por tres. Y, en forma exponencial, esto es 𝑒 elevado a dos 𝜋 partido por tres 𝑖. Finalmente, hacemos que 𝑘 sea igual a dos. La raíz aquí es cos de cuatro 𝜋 partido por tres más 𝑖 sen de cuatro 𝜋 partido por tres. Nótese que el argumento para esta raíz está fuera del rango del argumento principal. Por lo tanto restamos dos 𝜋 de cuatro 𝜋 partido por tres para obtener menos dos 𝜋 partido por tres. Así que nuestra tercera y última raíz es cos de menos dos 𝜋 partido por tres más 𝑖 sen de menos dos 𝜋 partido por tres. O, en forma exponencial, es 𝑒 elevado a menos dos 𝜋 partido por tres 𝑖.

Una vez que tenemos las raíces cúbicas de la unidad, necesitamos representarlas en un diagrama de Argand. Hay dos formas en las que podemos llevar esto a cabo. Podemos convertir cada número a la forma binómica. Y son uno, menos un medio más raíz de tres sobre dos 𝑖, y menos un medio menos raíz de tres sobre dos 𝑖. Y están representados en el plano complejo como se muestra. Alternativamente, podemos usar el módulo y el argumento de cada raíz.

De una forma u otra, los puntos que representan estos números complejos están situados en los vértices de un triángulo equilátero. Este triángulo está inscrito en una circunferencia unitaria, o goniométrica, cuyo centro es el origen. De hecho, una propiedad geométrica interesante de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad es que, en un diagrama de Argand, están dispuestas de manera uniforme sobre la circunferencia unitaria (o goniométrica) cuyo centro es el origen. Forman un polígono regular de 𝑛 lados. Este polígono regular tiene, además, un vértice en el punto uno, cero.

Vamos a investigar un poco más esta propiedad más adelante en el video.

Halla las raíces sextas de la unidad.

Hallar las raíces sextas de la unidad es lo mismo que resolver la ecuación 𝑧 a la sexta igual a uno. Una vez más, vamos a usar la formula general de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad. Lo que nos da cos de dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 más 𝑖 sen de dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛, con 𝑘 tomando valores enteros de cero a 𝑛 menos uno. En este ejemplo, queremos hallar las raíces sextas de la unidad. Así que 𝑛 es seis. Y 𝑘 toma valores enteros de cero a cinco. La primera raíz es calculada con 𝑘 igual a cero. Esto es cos de cero más 𝑖 sen de cero, que es uno.

De hecho, acabamos de decir que, en el plano complejo, los puntos que representan las raíces 𝑛-ésimas de la unidad forman un polígono regular de 𝑛 lados con un vértice en el punto uno, cero. Eso es esta raíz. Para la segunda raíz, hacemos 𝑘 igual a uno. Esto es cos de dos 𝜋𝑘 sobre seis más 𝑖 sen de dos 𝜋𝑘 sobre seis. El argumento aquí se simplifica a 𝜋 partido por tres. Y también podríamos escribir esto en forma exponencial como 𝑒 elevado a 𝜋 partido por tres 𝑖. Cuando 𝑘 es igual a dos, nuestra raíz es cos de cuatro 𝜋 partido por seis más 𝑖 sen de cuatro 𝜋 partido por seis. Y este argumento se simplifica a dos 𝜋 partido por tres.

Cuando 𝑘 es igual a tres, tenemos cos de seis 𝜋 sobre seis más 𝑖 sen de seis 𝜋 sobre seis, que es menos uno. Y, cuando 𝑘 es igual a cuatro, tenemos cos de ocho 𝜋 sobre seis más 𝑖 sen de ocho 𝑖 sobre seis. Aquí el argumento se simplifica a cuatro 𝜋 partido por tres. Y está fuera del rango del argumento principal. Por lo tanto, restamos dos 𝜋 de cuatro 𝜋 partido por tres para obtener menos dos 𝜋 partido por tres. Así que, en la forma exponencial, nuestra quinta raíz es 𝑒 elevado a menos dos 𝜋 partido por tres 𝑖. Finalmente, cuando 𝑘 es igual a cinco, obtenemos cos de 10𝜋 sobre seis más 𝑖 sen de 10𝜋 sobre seis. Esta vez, el argumento se simplifica a cinco 𝜋 partido por tres, que una vez más está fuera del rango para el argumento principal. Cinco 𝜋 partido por tres menos dos 𝜋 es menos 𝜋 partido por tres. Y, por lo tanto, vemos que, en la forma exponencial, nuestra raíz final es 𝑒 elevado a menos 𝜋 partido por tres 𝑖.

Y tenemos las raíces sextas de la unidad. En la forma exponencial, son uno, 𝑒 elevado a 𝜋 partido por tres 𝑖, 𝑒 elevado a dos 𝜋 partido por tres 𝑖, menos uno, 𝑒 elevado a menos dos 𝜋 partido por tres 𝑖, y 𝑒 elevado a menos 𝜋 partido por tres 𝑖. Podemos representar las raíces sextas de la unidad en un diagrama de Argand. Y vemos que los puntos que representan estas raíces están situados en los vértices de un hexágono regular inscrito en una circunferencia unitaria, según se muestra.

En este punto, vale la pena hacer una definición adicional. Decimos que una raíz es una raíz primitiva de la unidad si no es también una raíz 𝑘-ésima de la unidad, para algún 𝑘 menor que 𝑛. En este ejemplo, las raíces primitivas se dan para 𝑘 igual a uno y 𝑘 igual a cinco, ya que las raíces para 𝑘 igual a dos y 𝑘 igual a cuatro son también raíces cúbicas de la unidad. Y para 𝑘 es igual a cero y 𝑘 igual a tres, estas son también raíces cuadradas de la unidad. En otras palabras, son raíces cuadradas de uno.

Vamos a ver más detalladamente la relación entre las diferentes raíces de la unidad más adelante en este video. Es importante saber que a menudo utilizamos el símbolo 𝜔 para representar aquella raíz primitiva de la unidad cuyo argumento es el menor de los argumentos estrictamentes positivos. En el caso de las raíces sextas de la unidad, esta raíz primitiva es, por lo tanto, 𝑒 elevado a 𝜋 partido por tres 𝑖. Interesantemente, las otras raíces son potencias de 𝜔. Pero explorar esta propiedad está fuera del alcance de este video. Sin embargo, es algo interesante que deberías investigar por tu cuenta. Ahora que tenemos unas cuantas definiciones y el proceso que necesitamos seguir para hallar las raíces 𝑛-ésimas de la unidad, podemos pasar a ver las propiedades de la suma de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad.

Halla la suma de las raíces sextas de la unidad.

Ya hemos calculado las raíces sextas de la unidad. En forma trigonométrica, son como se muestra. Vamos a cambiarlas a la forma binómica. La segunda raíz es un medio más la raíz de tres sobre dos 𝑖. La tercera raíz es menos un medio más la raíz de tres sobre dos 𝑖. La quinta raíz es menos un medio menos raíz de tres sobre dos 𝑖. Y la raíz final es un medio menos la raíz de tres sobre dos 𝑖. Y su suma es como se muestra.

Y podemos calcular la suma de los números complejos en la forma algebraica sumando sus partes reales y sumando separadamente sus partes imaginarias. Vamos a comenzar con las partes reales. Uno más menos uno es cero. Un medio más menos un medio es cero. Y menos un medio más un medio es también cero. ¿Qué sucede con las partes imaginarias? Bien, raíz de tres sobre dos menos raíz de tres sobre dos es cero. Y, de nuevo, raíz de tres sobre dos menos raíz de tres sobre dos es cero. Y, por lo tanto, la suma de las raíces sextas de la unidad es cero.

Este no es realmente un cálculo que tengamos que hacer cada vez. Es más bien un medio para un fin, ya que este resultado se puede generalizar. Pues se puede demostrar que la suma de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad, cuando 𝑛 es mayor que uno, siempre es cero. Y este es otro resultado que es conveniente conocer para poder aplicarlo cuando sea necesario.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo se halla el recíproco de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad.

Sea 𝑧 una raíz 𝑛-ésima de la unidad y 𝑘 un entero positivo. ¿Cuál de las relaciones entre el recíproco de 𝑧 y 𝑧 es la correcta? a) el recíproco de 𝑧 es igual a 𝑧. b) el recíproco de 𝑧 es igual a menos 𝑧. c) el recíproco de 𝑧 es igual a menos el conjugado de 𝑧. d) el recíproco de 𝑧 es igual al conjugado de 𝑧.

Para hallar cuál de ellas es la relación correcta, primero vamos a evaluar 𝑧 elevado a menos uno o el recíproco de 𝑧. Como 𝑧 es una raíz 𝑛-ésima de la unidad, podemos decir que 𝑧 puede ser escrito como 𝑒 elevado a 𝑖𝜃, en donde 𝜃 es dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 y 𝑘 toma valores enteros de cero a 𝑛 menos uno. Esto significa que 𝑧 elevado a menos uno es lo mismo que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 elevado a menos uno, que es lo mismo que 𝑒 elevado a menos uno 𝑖𝜃.

A continuación, recordamos la propiedad del conjugado de un número complejo escrito en la forma exponencial. Sabemos que el conjugado de 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃 es 𝑟𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. Y esto quiere decir que 𝑧 elevado a menos uno es igual al conjugado de 𝑧 ya que hemos definido 𝑧 como 𝑒 elevado a 𝑖𝜃. Y podemos ver por lo tanto que el recíproco de 𝑧, o sea, 𝑧 elevado a menos uno, es igual al conjugado de 𝑧. La respuesta correcta es d).

Y este resultado puede extenderse un poco. Podemos decir que el recíproco de una raíz 𝑛-ésima de la unidad es el complejo conjugado de esa raíz. Y que ese número es también una raíz 𝑛-ésima de la unidad.

Vamos a ver una definición más. Y después, veremos un ejemplo de cómo esta definición se relaciona con las propiedades geométricas de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad. Vamos a comenzar explorando la relación entre las raíces 𝑛-ésimas de la unidad para diferentes valores de 𝑛.

¿Cuál es la relación entre las raíces cúbicas de la unidad y las raíces sextas de la unidad?

Hemos considerado brevemente esta idea. Ya hemos visto que las raíces cúbicas son uno, 𝑒 elevado a dos 𝜋 sobre tres 𝑖, y 𝑒 elevado a menos dos 𝜋 sobre tres 𝑖. Y también hemos visto que las raíces sextas de la unidad son uno, 𝑒 elevado a 𝜋 sobre tres 𝑖, 𝑒 elevado a dos 𝜋 sobre tres 𝑖, menos uno, 𝑒 elevado a menos dos 𝜋 sobre tres 𝑖, y 𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre tres 𝑖. Podemos ver que todas las raíces cúbicas de la unidad son también raíces sextas de la unidad. Y hemos visto esto cuando estábamos discutiendo el concepto de las raíces primitivas de la unidad.

Convirtamos esta idea en una definición. Podemos decir que, si el entero 𝑛 es igual al producto de los enteros positivos 𝑚 y 𝑝, entonces toda raíz 𝑚-ésima de la unidad es también una raíz 𝑛-ésima de la unidad. Y de igual modo, las raíces 𝑝-ésimas de la unidad son también raíces 𝑛-ésimas de la unidad. Podemos decir, además, que las raíces comunes de 𝑧 elevado a 𝑛 menos uno igual a cero y 𝑧 elevado a 𝑚 menos uno igual a cero son las raíces de 𝑧 elevado a 𝑑 menos uno igual a cero, en donde 𝑑 es el máximo común divisor de 𝑚 y de 𝑛.

Consideremos ahora un ejemplo en el que se aplican las propiedades de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad.

Dos polígonos regulares están inscritos en la misma circunferencia. El primero tiene 1731 lados. Y el segundo tiene 4039 lados. Si los polígonos tienen al menos un vértice en común, ¿cuántos vértices coinciden en total?

Recuerda que la interpretación geométrica de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad en un diagrama de Argand muestra que están situadas en los vértices de un polígono regular de 𝑛 lados que está inscrito en una circunferencia unitaria centrada en el origen. Esto significa que podemos decir que, para resolver este problema, necesitamos hallar el número de raíces comunes de 𝑧 elevado a 1731 menos uno igual a cero y 𝑧 elevado a 4039 menos uno igual a cero. Recuerda, las raíces comunes de 𝑧 a la 𝑚 menos uno igual a cero y 𝑧 a la 𝑛 menos uno igual a cero son las raíces de 𝑧 a la 𝑑 menos uno igual a cero, en donde 𝑑 es el máximo común divisor de 𝑚 y 𝑛.

Sabemos que las raíces comunes de nuestras dos ecuaciones son las raíces de 𝑧 elevado a 𝑑 menos uno igual a cero, en donde 𝑑 es el máximo común divisor de 1731 y 4039. Y esto significa que solo tenemos que hallar el valor de 𝑑, el máximo común divisor de 1731 y 4039, y esto nos dirá cuántas raíces comunes existen en realidad. Como producto de sus factores primos, se pueden escribir como tres por 577 y siete veces 577, respectivamente. Su máximo divisor común, o sea, el valor de 𝑑 es, pues, 577. Y esto significa que los polígonos no solo tienen un vértice en común, en realidad tienen un total de 577 vértices que coinciden.

En este video hemos visto cómo hallar las raíces 𝑛-ésimas de la unidad en la forma trigonométrica o polar, y en la forma exponencial. En la forma exponencial son 𝑒 elevado a dos 𝜋𝑘 sobre 𝑛 𝑖, en donde 𝑘 toma valores enteros de cero a 𝑛 menos uno. Hemos visto que si representamos estas raíces en un diagrama de Argand, los puntos que los representan están situados en los vértices de un polígono regular de 𝑛 lados que está inscrito en la circunferencia unitaria cuyo centro es el origen de coordenadas.

También hemos visto que la suma de las raíces 𝑛-ésimas de la unidad es cero para valores de 𝑛 mayores que uno. Y que el recíproco de una raíz 𝑛-ésima de la unidad es igual al complejo conjugado de esa raíz. Y que este número es también una raíz 𝑛-ésima de la unidad. Finalmente, hemos visto que podemos hallar las raíces comunes de 𝑧 elevado a 𝑚 menos uno igual a cero y 𝑧 elevado a 𝑛 menos uno igual a cero hallando las raíces de 𝑧 elevado a 𝑑 menos uno igual a cero, en donde 𝑑 es el máximo común divisor de 𝑚 y 𝑛. Y hemos considerado brevemente la aplicación geométrica de este hecho.