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Vídeo de la lección: Series de Maclaurin y series de Taylor de funciones básicas Matemáticas • Educación superior

En este video, vamos a aprender cómo hallar la representación como una serie de Taylor o de Maclaurin de funciónes básicas como las funciones exponenciales y trigonométricas, y vamos a demostrar también el teorema generalizado del binomio de Newton.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo hallar la representación como una serie de Maclaurin de funciones básicas como las funciones exponenciales y trigonométricas, y vamos a demostrar también el teorema generalizado del binomio de Newton. Después, vamos a ver algunas aplicaciones importantes del teorema del binomio, como la utilización de la serie de Maclaurin para estimar ciertos valores de funciones, para encontrar los desarrollos de Maclaurin de diferentes formas de las funciones básicas, así como para estimar integrales.

Sabemos que esta es la serie de Taylor de una función 𝑓 en 𝑎. Pero cuando centramos nuestra aproximación en 𝑎 igual a cero, estas series reciben un nombre especial. Las llamamos series de Maclaurin. Las usamos para aproximar funciones hallando la primera derivada, la segunda, la tercera, etcétera, de 𝑓, y luego evaluando estas funciones derivadas en 𝑥 igual a cero. Después sustituimos estos valores en la serie de Maclaurin y simplificamos. Una aplicación de las series de Maclaurin es que podemos usarlas para estimar nuestra función para diferentes valores de 𝑥. Veamos un ejemplo.

Considera 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥. Esta cuestión se divide en dos partes. La primera parte nos pide hallar la serie de Maclaurin de 𝑔 de 𝑥. Y la segunda parte nos dice que usemos los tres primeros términos de esta serie para hallar un valor aproximado de 𝑒 elevado a 0.4, con dos cifras decimales.

Comencemos escribiendo el desarrollo de la serie de Maclaurin para una función general 𝑓 de 𝑥. Seguidamente hallamos algunas de las derivadas de nuestra función 𝑔 de 𝑥. 𝑔 de 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a 𝑥, por lo tanto, 𝑔 de cero es igual a 𝑒 elevado a cero, que es uno. Derivamos 𝑒 elevado a 𝑥 para hallar la primera derivada. Recordamos que la derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥. Siendo 𝑔 prima de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥. Y así, deducimos que 𝑔 prima de cero es uno. Y, de hecho, vemos que todas las derivadas de 𝑔 de 𝑥 son 𝑒 elevado a 𝑥.

El siguiente paso es realizar las sustituciones. Ya que nuestra función está definida como 𝑔 de 𝑥, podemos reemplazar 𝑓 con 𝑔 y comenzar a hacer algunas sustituciones. Hemos hallado que 𝑔 de cero es uno. Y que 𝑔 prima de cero es uno. Asimismo, sabemos que 𝑔 doble prima de cero es uno. Y que 𝑔 triple prima de cero es uno. Y hacemos lo mismo para todos los otros términos. Podemos llevar 𝑥, 𝑥 al cuadrado y 𝑥 al cubo, etc. a la parte superior de la fracción. Y notamos que podemos escribir esto como las sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑥 a la 𝑛-ésima potencia sobre 𝑛 factorial. Este es, por lo tanto, el desarrollo en serie de Maclaurin de 𝑒 elevado a 𝑥.

La segunda parte de esta cuestión nos pide que usemos los primeros tres términos de esta serie para encontrar un valor aproximado de 𝑒 elevado a 0.4 con dos decimales. Aquí están los primeros tres términos de nuestra serie. Y queremos aproximar 𝑒 a la 𝑥 cuando 𝑥 es igual a 0.4. Reemplazamos 𝑥 con 0.4, y obtenemos uno más 0.4 sobre uno factorial. Pero sabemos que uno factorial es solo uno. Así que es 0.4. Y 0.4 al cuadrado es 0.16. Y eso es sobre dos factorial, lo que es dos multiplicado por uno, que es dos. Pero 0.16 sobre dos es 0.08. Y, sumando esto, obtenemos una aproximación de 1.48. Podemos usar ahora una calculadora para verificar nuestra aproximación. Con la calculadora obtenemos que 𝑒 elevado a 0.4 es 1.4918 con cuatro decimales. Podemos ver, por lo tanto, que aunque solo hemos usado los primeros tres términos de nuestra serie, nuestra aproximación es bastante buena.

Saber hallar el desarrollo en serie de Maclaurin de las funciones básicas es muy útil porque nos permite encontrar la serie de Maclaurin de funciones más complicadas. Por ejemplo, acabamos de ver que la serie de 𝑒 elevado a 𝑥 es la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑥 elevado a 𝑛 sobre 𝑛 factorial. Si queremos hallar el desarrollo de Maclaurin de 𝑒 elevado a dos 𝑥, en vez de comenzar desde cero para encontrar este desarrollo, podemos simplemente reemplazar 𝑥 en la serie con dos 𝑥. Debemos tener cuidado aquí porque, recuerda, tenemos que elevar los dos factores que están entre paréntesis. Y, por lo tanto, podemos escribir la serie como la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de dos a la 𝑛-ésima potencia multiplicada por 𝑥 a la 𝑛-ésima potencia sobre 𝑛 factorial. Veamos otro ejemplo.

Halla la serie de Maclaurin de seno hiperbólico de tres 𝑥 igual a 𝑒 elevado a tres 𝑥 menos 𝑒 elevado a menos tres 𝑥 sobre dos.

Comencemos escribiendo la fórmula general para la serie de Maclaurin de una función 𝑓 arbitraria. Y, para facilitarnos las cosas, vamos a continuar encontrando el desarrollo de la serie de Maclaurin para el seno hiperbólico de 𝑥. Y luego vamos a reemplazar 𝑥 con tres 𝑥 para obtener la serie Maclaurin del seno hiperbólico de tres 𝑥. Debemos hacer nuestra función, 𝑓 de 𝑥 igual a seno hiperbólico de 𝑥, y vamos a necesitar evaluarla cero y evaluar sus derivadas en cero. También necesitamos recordar que la derivada con respecto a 𝑥 de seno hiperbólico de 𝑥 es coseno hiperbólico de 𝑥. Y la derivada de coseno hiperbólico de 𝑥 con respecto a 𝑥 es seno hiperbólico de 𝑥.

Elaboremos una tabla para las derivadas de 𝑓 de 𝑥 igual a seno hiperbólico de 𝑥. Cuando 𝑛 es cero, solo tenemos 𝑓 de 𝑥, que es seno hiperbólico de 𝑥. Así que, para evaluar esto cuando 𝑥 es cero, usamos el hecho de que el seno hiperbólico de 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a 𝑥 menos 𝑒 elevado a menos 𝑥 sobre dos. Seno hiperbólico de cero es 𝑒 elevado a cero menos 𝑒 elevado a menos cero sobre dos. Pero como 𝑒 elevado a cero es simplemente uno, esto es uno menos uno sobre dos, que es cero. Cuando 𝑛 es igual a uno, tenemos la primera derivada de 𝑓, que ya hemos visto es el coseno hiperbólico de 𝑥.

Para evaluar esto en cero, recordamos que el coseno hiperbólico de 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a 𝑥 más 𝑒 elevado a menos 𝑥 sobre dos. Por tanto, el coseno hiperbólico de cero es igual a 𝑒 elevado a cero más 𝑒 elevado a menos cero sobre dos. Pero sabemos que 𝑒 elevado a cero es simplemente uno. Esto es uno más uno sobre dos, que es simplemente uno. Cuando 𝑛 es dos, buscamos la segunda derivada de 𝑓 de 𝑥. Podemos obtener esto a partir de la primera derivada, que era el coseno hiperbólico de 𝑥. Y como el coseno hiperbólico de 𝑥 se deriva para darnos el seno hiperbólico de 𝑥, esto es el seno hiperbólico de 𝑥. Sabemos lo que sale cuando lo evaluamos en cero, simplemente nos da cero.

Y cuando 𝑛 es tres, queremos hallar la tercera derivada de 𝑓, que es la derivada de la segunda derivada, que es seno hiperbólico. Esto es coseno hiperbólico de 𝑥, que sabemos que, cuando 𝑥 es cero, vale uno. Y comenzamos a detectar una regularidad aquí. Las derivadas de 𝑓 evaluadas en cero alternan entre cero y uno. Así que podemos usar esta tabla para escribir la serie de Maclaurin para el seno hiperbólico de 𝑥. Cuando sustituimos nuestros valores, vemos que todos los términos impares son cero. Solo nos quedan los términos con potencias pares de 𝑥. Queremos escribir esto como una serie, pero debemos asegurarnos de que nos quedarnos solo con los exponentes impares de 𝑥.

Por tanto, nuestra serie es la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑥 elevado a dos 𝑛 más uno sobre dos 𝑛 más uno factorial. Podemos usar esto para hallar la serie de Maclaurin para el seno hiperbólico de tres 𝑥. Hacemos esto reemplazando 𝑥 por tres 𝑥. Y obtenemos tres 𝑥 sobre uno factorial más tres 𝑥 al cubo sobre tres factorial más tres 𝑥 a la quinta sobre cinco factorial, y así sucesivamente. Y podemos escribir esto como la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de tres 𝑥 elevado a dos 𝑛 más uno sobre dos 𝑛 más uno factorial.

Una de las aplicaciones de las series de Maclaurin es integrar de manera mucho más fácil aquellas funciones que normalmente serían difíciles de integrar, haciendo uso para ello del desarrollo de la serie de Maclaurin para la función. Podemos calcular tanto integrales definidas como indefinidas. Si tenemos límites de integración, podemos usar el desarrollo de la serie Maclaurin para estimar el valor de la integral. Veamos un ejemplo.

Aproxima la integral entre cero y uno de seno de 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 utilizando los dos primeros términos de una serie apropiada.

Comencemos escribiendo el desarrollo de la serie de Maclaurin para una función 𝑓. La cuestión nos pide usar una serie apropiada. Pero ¿cuál sería una serie apropiada? Si podemos hallar el desarrollo de la serie de Maclaurin para seno de 𝑥 al cuadrado, podremos integrar utilizando este desarrollo. Para encontrar dicho desarrollo de una función, necesitamos hallar valores de 𝑓 y de algunas derivadas de 𝑓. El seno de 𝑥 al cuadrado podría ser un poco complicado al tratar de hallar esas derivadas. Comencemos, por lo tanto, encontrando el desarrollo de la serie de Maclaurin de seno de 𝑥. Igualamos 𝑓 de 𝑥 a sen de 𝑥. Encontremos las primeras cinco derivadas de 𝑓 de 𝑥. Para hacer esto, recordemos que la derivada con respecto a 𝑥 de seno de 𝑥 es coseno de 𝑥. Y la derivada con respecto a 𝑥 de coseno de 𝑥 es menos seno de 𝑥.

Derivamos seno de 𝑥 para obtener la primera derivada, que es coseno de 𝑥. Derivamos la primera derivada para obtener la segunda derivada, que es menos seno de 𝑥. Y derivamos nuevamente para obtener la tercera derivada, etcétera. Pero lo que realmente necesitamos hacer es evaluar cada una de estas en cero. Bien, seno de cero es cero, y coseno de cero es uno. Así que, menos coseno de cero es menos uno. Y ahora podemos escribir los primeros términos del desarrollo de la serie de Maclaurin de seno de 𝑥. Usamos la forma general de la serie de Maclaurin y reemplazamos 𝑓 y sus derivadas con los valores que hemos encontrado. Y obtenemos que todos los términos pares son cero. De hecho, todos los términos con exponente de 𝑥 par desaparecen. Solo nos quedan los exponentes impares de 𝑥. Nótese además cómo los términos alternan entre positivos y negativos.

Este es el desarrollo de Maclaurin para seno de 𝑥. Lo dejaremos así por ahora y lo usaremos para hallar la serie de Maclaurin para seno de 𝑥 al cuadrado. Hagamos algo de espacio para hacer esto. Utilizamos el desarrollo de la serie que hemos encontrado para seno de 𝑥 para obtener el desarrollo de la serie de Maclaurin para seno de 𝑥 al cuadrado. Todo lo que necesitamos hacer es reemplazar 𝑥 con 𝑥 al cuadrado. Recordemos la propiedad de los exponentes que nos dice que 𝑥 elevado a 𝑛 elevado a 𝑚 es igual a 𝑥 elevado a 𝑛 multiplicado por 𝑚. Por lo tanto, 𝑥 al cuadrado y luego elevado a tres es 𝑥 a la sexta. 𝑥 al cuadrado y luego elevado a la quinta es simplemente 𝑥 a la décima potencia.

Podemos reescribir la integral entre cero y uno de seno de 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 como la integral entre cero y uno de 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 a la sexta sobre tres factorial más 𝑥 a la décima sobre cinco factorial, etcétera con respecto a 𝑥. Te habrás dado cuenta en este punto de que hemos reescrito 𝑥 al cuadrado sobre uno factorial como 𝑥 al cuadrado porque uno factorial es simplemente uno y dividir por uno da el mismo número. Además, está bien que solo hayamos escrito tres términos aquí. Porque la cuestión nos pide aproximar esta integral utilizando solo los dos primeros términos. De modo que, de hecho, solo vamos a necesitar los dos primeros términos aquí.

A partir de aquí, tenemos simplemente que realizar una sencilla integración utilizando reglas de integración que conocemos bien. Usamos la regla de la potencia para la integración, que nos dice que sumamos uno al exponente y luego dividimos por el nuevo exponente. 𝑥 cuadrado integra a 𝑥 al cubo sobre tres. 𝑥 a la sexta sobre tres factorial simplemente integra a 𝑥 a la séptima sobre siete multiplicado por tres factorial. Y 𝑥 a la décima sobre cinco factorial integra a 𝑥 a la undécima sobre 11 multiplicado por cinco factorial, etcétera. Y necesitamos evaluar esto en nuestros límites de integración. Primero evaluamos en nuestro límite superior, que es uno. Y luego, restamos nuestra función con cero sustituido en ella.

Tengamos en cuenta que si sustituimos cero, todos estos términos serán cero. Es decir, solo estaríamos restando cero. A partir de aquí, simplifiquemos lo que tenemos. Uno elevado a cualquier exponente nos dará uno. Y todos estos numeradores serán uno. También podemos calcular nuestros denominadores recordando que el factorial de un número es el producto de ese número y todos los enteros debajo de él hasta uno. Recordemos que se nos ha pedido aproximar esta integral utilizando solo los dos primeros términos. Por tanto nuestra aproximación para esta integral es uno sobre tres menos uno sobre 42, que se simplifica a 13 sobre 42.

Hay otro resultado realmente importante que podemos obtener del desarrollo de la serie de Maclaurin, y se trata del teorema generalizado del binomio de Newton. Sabemos que el teorema del binomio de Newton nos da una forma de desarrollar 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑘, donde 𝑎 y 𝑏 son números reales y 𝑘 es un número entero positivo, y estos números se llaman coeficientes binomiales. Por ejemplo, 𝑎 más 𝑏 elevado a dos es 𝑎 al cuadrado más dos 𝑎𝑏 más 𝑏 cuadrado. Y también 𝑎 más 𝑏 elevado a tres es 𝑎 al cubo más tres 𝑎 al cuadrado 𝑏 más tres 𝑎𝑏 al cuadrado más 𝑏 al cubo. Cuando 𝑘 es un entero positivo, este desarrollo es una suma finita, es decir, un polinomio.

Pero existe un caso más general del teorema del binomio de Newton que a menudo se expresa usando 𝑎 igual a uno y 𝑏 igual a 𝑥. Tenemos, pues, uno más 𝑥 elevado a 𝑘. En 1665, Isaac Newton generalizó este teorema a exponentes que son números fraccionarios, tanto positivos como negativos. Sin embargo, cuando 𝑘 no es un entero positivo, uno más 𝑥 elevado a 𝑘 ya no es un polinomio, o sea, no podemos encontrar una suma finita de términos que sea igual a 𝑓 de 𝑥. Es decir, que, cuando 𝑘 es fraccional o negativo, el desarrollo ya no es una suma finita. Es una serie infinita. Y esa serie es simplemente la serie de Maclaurin de uno más 𝑥 elevado a 𝑘. Para hacer esto, necesitamos hallar 𝑓 y las derivadas de 𝑓 evaluadas en cero. 𝑓 de 𝑥 es uno más 𝑥 elevado a 𝑘. Derivamos esto para obtener la primera derivada.

Usando la regla de la cadena, esto es 𝑘 multiplicado por uno más 𝑥 elevado a 𝑘 menos uno. Y continuamos de esta manera para encontrar la segunda, la tercera, y todas las demás derivadas. Pero necesitamos evaluar cada una de las derivadas en cero, lo que hacemos sustituyendo 𝑥 por cero en todas partes. Y luego, reemplazamos estos valores en nuestra fórmula general para el desarrollo de la serie de Maclaurin, lo que nos da el desarrollo de la serie de Maclaurin de uno más 𝑥 elevado a 𝑘. Esto nos da una serie importante conocida como serie binomial. Se puede demostrar que esta serie converge si el valor absoluto de 𝑥 es menor que uno y diverge si el valor absoluto de 𝑥 es mayor que uno. Por lo tanto, el teorema del binomio de Newton es válido solo cuando el valor absoluto de 𝑥 es menor que uno.

Resumamos los puntos principales de este video. Empezamos con la fórmula general del desarrollo de la serie de Maclaurin para una función 𝑓 de 𝑥 arbitraria. Hemos demostrado cómo podemos usar la serie de Maclaurin de las funciones básicas, como la función exponencial o las funciones trigonométricas, para aproximar estas funciones para diferentes valores de 𝑥. Podemos utilizarlo para encontrar la expansión de la serie de Maclaurin de diferentes formas de la función haciendo uso de una simple sustitución y de un poco de manipulación. El desarrollo de las series de Maclaurin nos permite aproximar integrales que normalmente serían difíciles de calcular. Y finalmente, el desarrollo de la serie de Maclaurin nos da la serie binomial del teorema del binomio de Newton con 𝑎 igual a uno y 𝑏 igual a 𝑥 la cual es también válida cuando 𝑘 es negativo o fraccional o ambas cosas.

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