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Integrales indefinidas: la regla de la potencia
En este video, vamos a aprender cómo hallar las integrales indefinidas de polinomios y de funciones generales de potencia usando la regla de la potencia para la integración. Comencemos recordando qué es una antiderivada o primitiva de una función. Decimos que 𝐹 mayúscula es una primitiva o antiderivada de 𝑓 minúscula si 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 es igual a 𝑓 minúscula de 𝑥. Y si esto es así, la relación también se cumple para cualquier función 𝑔 de 𝑥 si 𝑔 de 𝑥 es igual a 𝐹 mayúscula de 𝑥 más 𝐶 para cualquier constante 𝐶. Esto es muy útil ya que lo usaremos para definir una integral indefinida.
Decimos que la integral indefinida de 𝑓 minúscula con respecto a 𝑥 es igual a 𝐹 mayúscula de 𝑥 más 𝐶 donde 𝐹 mayúscula es una primitiva cualquiera de 𝑓 minúscula. Es muy importante recordar nuestra constante de integración al realizar una integral indefinida. Veamos rápidamente por qué esta constante está aquí. Si realizamos la operación inversa en esta ecuación, es decir, si derivamos con respecto a 𝑥, en el lado izquierdo, ya que estamos realizando la operación inversa, la derivada con respecto a 𝑥 de la integral de 𝑓 minúscula con respecto a 𝑥 es simplemente 𝑓 minúscula de 𝑥.
En el lado derecho, cuando derivamos 𝐹 mayúscula de 𝑥 con respecto a 𝑥, obtenemos 𝐹 prima de 𝑥 y nuestra constante 𝐶 desaparece porque derivar una constante da cero. Y si ahora vamos hacia atrás y efectuamos la integral, la constante vuelve a aparecer. Sin embargo, no conocemos el valor de esta constante, por eso la llamamos simplemente 𝐶. Es una constante desconocida. Consideremos ahora lo que sucede cuando integramos una función determinada con respecto a 𝑥, por ejemplo, tres 𝑥.
Conocemos el procedimiento para hallar una integral indefinida. Sabemos que la integral de 𝑓 minúscula de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝐹 mayúscula de 𝑥 más 𝐶 donde 𝐹 mayúscula es una primitiva cualquiera de 𝑓 minúscula. En nuestro caso, 𝑓 minúscula de 𝑥 es igual a tres 𝑥. Así que simplemente necesitamos hallar una primitiva, también llamada antiderivada, de tres 𝑥. Vamos a hacer esto mediante ensayo y mejora. Estamos tratando de calcular lo que necesitamos derivar para obtener tres 𝑥. Comencemos por derivar 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥. Esto nos da dos 𝑥 que está muy cerca de tres 𝑥. Sin embargo, aún no tenemos la respuesta exacta.
Veamos qué pasa si multiplicamos nuestra derivada por un medio. Derivar 𝑥 al cuadrado partido por dos con respecto a 𝑥 nos da 𝑥, que es un tercio de lo que estamos tratando de obtener. Multipliquemos ahora nuestra derivada por tres. Y derivando tres 𝑥 al cuadrado sobre dos con respecto a 𝑥, obtenemos tres 𝑥. Por lo tanto, hemos hallado nuestra primitiva. Y es tres 𝑥 al cuadrado partido por dos. Así que todo esto es 𝐹 mayúscula de 𝑥. Podemos decir que nuestra integral es igual a tres 𝑥 al cuadrado sobre dos más 𝐶. Ahora bien, este método para hallar antiderivadas de funciones potenciales es demasiado largo y tedioso.
Así que vamos a echar un vistazo a la regla de la potencia para las derivadas. Sabemos que la derivada de 𝑥 a la 𝑛 más uno con respecto a 𝑥 es 𝑛 más uno multiplicado por 𝑥 a la 𝑛, ya que, según la regla de las derivadas, multiplicamos por el exponente y luego disminuimos el exponente en uno. Lo que esto nos dice es que 𝑥 elevado a 𝑛 más uno es una primitiva de 𝑛 más uno multiplicado por 𝑥 elevado a 𝑛. Por lo tanto, podemos denotar 𝑥 a la 𝑛 más uno como 𝐹 mayúscula de 𝑥 y 𝑛 más uno por 𝑥 a la 𝑛 como 𝑓 minúscula de 𝑥. Y podemos sustituir estas funciones en nuestra fórmula de la integral indefinida de una función. Y obtenemos de esta forma que la integral de 𝑛 más uno por 𝑥 elevado a 𝑛 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑥 elevado a 𝑛 más uno más 𝐶.
Tenemos una constante dentro de nuestra integral. Así que podemos sacar fuera de la integral este factor constante. Veamos rápidamente por qué podemos hacer esto. Sabemos que, si derivamos una constante multiplicada por cualquier función 𝑔 de 𝑥, esta derivada es igual a la constante multiplicada por la derivada de 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Esto nos dice que la integral de 𝑎 por 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑎 por la integral de 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Por lo tanto, podemos sacar de la integral nuestra constante 𝑛 más uno. Y luego podemos simplemente dividir por esta constante. Y obtenemos así que la integral de 𝑥 a la 𝑛 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝐶 sobre 𝑛 más uno.
Ahora bien, dado que tanto 𝐶 como 𝑛 más uno son constantes, 𝐶 sobre 𝑛 más uno también será una constante. Y podemos llamar a esa constante 𝐷. Y de esta forma hemos obtenido la regla de la potencia para la integración. La cual dice que la integral de 𝑥 a la 𝑛 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝐶. Aquí hemos denotado nuestra constante de integración como 𝐶 para ser así coherentes con nuestra fórmula de la integral indefinida. Sin embargo, no importa en realidad como se llame a esta constante. Una forma fácil de recordar esta regla es que cuando integramos una función potencial, aumentamos el exponente en uno y luego dividimos por el nuevo exponente. Y, por supuesto, no debemos olvidar añadir nuestra constante de integración.
Es importante mencionar que esta regla de la potencia para la integración funciona para todo valor real de 𝑛, excepto para un valor específico. Y el valor para el que la fórmula no funciona es 𝑛 igual a menos uno. Si intentamos usar 𝑛 igual a menos uno, obtenemos que la integral indefinida de 𝑥 a la menos uno con respecto a 𝑥 es igual a 𝑥 a la menos uno más uno sobre menos uno más uno más 𝐶. Como menos uno más uno es cero, esto significa que tenemos un cero en el denominador de nuestra fracción. Por lo tanto, esta fracción no está definida y tampoco lo está la integral. Así que podemos decir que nuestra regla de la potencia funciona para todos los valores reales de 𝑛 excepto menos uno. Ahora bien, es posible integrar 𝑥 elevado a menos uno con respecto a 𝑥. Sin embargo, este interesantísimo tema no lo vamos a ver en este video. En lugar de eso, vamos a pasar a un ejemplo de cómo podemos usar la regla de la potencia.
Determina la integral indefinida de menos 𝑥 elevado a nueve con respecto a 𝑥.
Para hallar esta integral, necesitamos usar la regla de la potencia para la integración. Tenemos que la integral de 𝑥 a la 𝑛 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝐶. Y estamos tratando de hallar la integral de menos 𝑥 elevado a nueve con respecto a 𝑥. Comencemos por sacar el menos uno de la integral. Tenemos que nuestra integral es ahora igual a menos la integral de 𝑥 elevado a nueve con respecto a 𝑥. Si nos fijamos en nuestra integral y la comparamos con la integral en la fórmula, podemos ver que en nuestro caso 𝑛 es igual a nueve. Así que sustituimos sin más 𝑛 igual a nueve en la fórmula. Obtenemos menos 𝑥 elevado a nueve más uno, todo sobre nueve más uno más 𝐶. Esto nos da menos 𝑥 elevado a 10 sobre 10 menos 𝐶.
Menos 𝐶 es solo otra constante. Así que podemos llamarla 𝐷. Y ahora hemos llegado a nuestra solución. Y es que la integral indefinida de menos 𝑥 a la nueve con respecto a 𝑥 es igual a menos 𝑥 a la 10 sobre 10 más 𝐷.
A continuación, vamos a ver cómo integrar un polinomio. Sabemos que la derivada de una suma de funciones, o sea, de 𝑓 de 𝑥 más 𝑔 de 𝑥, con respecto a 𝑥, es igual a la suma de la derivada de las funciones. Es decir, 𝑑 sobre d𝑥 de 𝑓 de 𝑥 más 𝑑 sobre d𝑥 de 𝑔 de 𝑥. De esto obtenemos que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones.
Usando esta regla, podemos descomponer integrales de polinomios en integrales de funciones potenciales. Por ejemplo, la integral de 𝑥 al cuadrado más 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a la integral de 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 más la integral de 𝑥 con respecto a 𝑥. Y ya sabemos cómo integrar estas funciones potenciales a la derecha. Usando esta propiedad, podemos integrar cualquier polinomio fácilmente. Veamos un ejemplo.
Determina la integral indefinida de 25𝑥 al cuadrado menos 65𝑥 más 36 con respecto a 𝑥.
Comencemos por dividir esta integral usando el hecho de que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones. Obtenemos que nuestra integral es igual a la integral de 25𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 más la integral de menos 65𝑥 con respecto a 𝑥 más la integral de 36 con respecto a 𝑥. Podemos sacar fuera la constante en cada integral. Ahora podemos usar la regla de la potencia, la cual dice que la integral de 𝑥 a la 𝑛 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝐶.
En el caso de nuestra primera integral, 𝑛 es dos. Por lo tanto, es igual a 25 multiplicado por 𝑥 al cubo sobre tres más una constante que llamaremos 𝐶 uno. Para nuestra segunda integral, estamos integrando 𝑥. 𝑥 es igual a 𝑥 elevado a uno. Por consiguiente, 𝑛 es igual a uno. Por lo tanto, es igual a menos 65 multiplicado por 𝑥 al cuadrado sobre dos más una constante que llamaremos 𝐶 dos. Para nuestra tercera integral, estamos integrando uno. Uno también es igual a 𝑥 elevado a cero. Por lo tanto, nuestro valor de 𝑛 es cero. Así que obtenemos 36 por 𝑥 elevado a uno sobre uno más una constante que llamaremos 𝐶 tres.
Desarrollando y simplificando, obtenemos que nuestra integral es igual a 25𝑥 al cubo sobre tres menos 65𝑥 al cuadrado sobre dos más 36𝑥 más 25𝐶 uno menos 65𝐶 dos más 36𝐶 tres. Como 𝐶 uno, 𝐶 dos y 𝐶 tres son todas constantes, 25𝐶 uno menos 65𝐶 dos más 36𝐶 tres también es una constante. Y podemos volver a denotar esto como 𝐶. Y así llegamos a nuestra solución. Y es que la integral indefinida de 25𝑥 al cuadrado menos 65𝑥 más 36 con respecto a 𝑥 es igual a 25𝑥 al cubo sobre tres menos 65𝑥 al cuadrado sobre dos más 36𝑥 más 𝐶.
En el siguiente ejemplo, vamos a ver cómo podemos integrar un polinomio sin tener que descomponerlo en integrales separadas.
Determina la integral indefinida de 𝑥 menos seis multiplicado por 𝑥 menos cinco multiplicado por 𝑥 menos tres.
Comencemos desarrollando los paréntesis. Desarrollando los dos primeros paréntesis, obtenemos 𝑥 al cuadrado menos 11𝑥 más 30. Y luego multiplicamos esto por 𝑥 menos tres. Obtenemos la integral indefinida de 𝑥 al cubo menos 14𝑥 al cuadrado más 63𝑥 menos 90, que es, por supuesto, un polinomio. Y podemos usar la regla de la potencia para integrar esto término a término. La regla de la potencia dice que la integral de 𝑥 a la 𝑛 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝐶. Si en cambio estuviéramos integrando 𝑥 a la 𝑛 multiplicado por alguna constante 𝑎, ya que podemos factorizar una constante fuera de nuestra integral, esto sería simplemente igual a 𝑎 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝐶.
Quizás te preguntes por qué no hemos multiplicado 𝐶 por 𝑎. Y eso es porque 𝑎 también es una constante. Por lo tanto, 𝑎 multiplicado por 𝐶 es una constante. Y podemos simplemente cambiar el nombre de esta nueva constante a 𝐶. Así que ahora vamos a aplicar esta regla a nuestra integral término a término. El primer término es 𝑥 al cubo. Por lo tanto, 𝑛 es igual a tres. Aumentamos el exponente en uno y dividimos por la nueva potencia para obtener 𝑥 elevado a cuatro sobre cuatro. El siguiente término es menos 14𝑥 al cuadrado. Menos 14 es simplemente una constante. Así que este factor permanecerá. Nuestro exponente es dos. Así que 𝑛 es dos. Aumentamos el exponente en uno y obtenemos 𝑥 al cubo, y dividimos por la nueva potencia.
En el siguiente término, tenemos 63𝑥. Así que podemos comenzar escribiendo nuestra constante de 63. Luego notamos que 𝑥 es igual a 𝑥 elevado a uno. 𝑛 es igual a uno. Y cuando integramos esto, obtenemos 𝑥 al cuadrado sobre dos. Para nuestro último término, tenemos menos 90. Y sabemos que esto también se puede escribir como menos 90 multiplicado por 𝑥 elevado a cero ya que 𝑥 elevado a cero es simplemente uno. Y ahora podemos integrarlo. Comenzamos escribiendo nuestra constante de menos 90. Nuestro exponente de 𝑥 es cero, así que aumentamos el exponente en uno, lo que nos da 𝑥 a la uno y dividimos por la nueva potencia. Eso es dividir por uno. Así que no lo ponemos, y luego sumamos nuestra constante de integración 𝐶.
Podemos escribir esto un poco más claramente como nuestra solución, la cual es 𝑥 elevado a cuatro sobre cuatro menos 14𝑥 al cubo sobre tres más 63𝑥 al cuadrado sobre dos menos 90𝑥 más 𝐶.
Y cómo ya dijimos antes, la regla de la potencia para la integración funciona para todo número real 𝑛 excepto menos uno. Y eso, por supuesto, incluye exponentes negativos y no enteros de 𝑥.
Veamos cómo funciona esto en los siguientes ejemplos.
Halla la integral indefinida de menos dos sobre siete multiplicado por 𝑥 elevado a menos nueve con respecto a 𝑥.
Nuestro integrando es simplemente una función de potencia. Así que podemos usar la regla de la potencia para la integración a fin de hallar esta integral. Esta regla dice que la integral indefinida de 𝑥 a la 𝑛 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝐶. En nuestro caso, estamos integrando menos dos séptimos 𝑥 a la menos nueve con respecto a 𝑥. Así que nuestro exponente de 𝑥 es menos nueve. Podemos comenzar escribiendo nuestro coeficiente, que es menos dos séptimos.
Después, puesto que nuestro valor de 𝑛 es menos nueve, necesitamos escribir 𝑥 elevado a más uno sobre 𝑛 más uno. Eso es 𝑥 elevado a menos nueve más uno, que es 𝑥 elevado a menos ocho sobre menos nueve más uno. Eso es menos ocho. No debemos olvidar sumar nuestra constante de integración 𝐶. Para nuestro paso final aquí, solo necesitamos simplificar. Y obtenemos nuestra solución, que es que la integral indefinida de menos dos séptimos por 𝑥 a la menos nueve con respecto a 𝑥 es igual a 𝑥 a la menos ocho sobre 28 más 𝐶.
En nuestro último ejemplo, vamos a ver cómo integrar una función con exponentes no enteros de 𝑥.
Determina la integral indefinida de menos cuatro multiplicado por la raíz quinta de 𝑥 elevado a nueve más ocho, todo multiplicado por la raíz quinta de 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥.
Comencemos escribiendo estas raíces usando exponentes. Sabemos que la raíz 𝑛 de 𝑥 es igual a 𝑥 elevado a uno sobre 𝑛. Una vez que hemos escrito nuestras raíces como exponentes, podemos combinarlas con los exponentes ya existentes, usando para ello el hecho de que 𝑥 elevado a 𝑛 elevado a 𝑚 es igual a 𝑥 elevado a 𝑛 multiplicado por 𝑚. Por lo tanto, 𝑥 elevado a nueve elevado a un quinto se convierte en 𝑥 elevado a nueve quintos. Y 𝑥 al cuadrado elevado a un quinto se convierte en 𝑥 elevado a dos quintos. Ahora podemos desarrollar los paréntesis, usando el hecho de que 𝑥 elevado a 𝑛 por 𝑥 elevado a 𝑚 es igual a 𝑥 elevado a 𝑛 más 𝑚. Así que nuestra integral se convierte en la integral de menos cuatro 𝑥 elevado a once quintos más ocho 𝑥 elevado a dos quintos con respecto a 𝑥.
Y ahora podemos ya usar la regla de la potencia para la integración que nos dice que la integral indefinida de 𝑥 a la 𝑛 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝐶. Podemos aplicar esta regla a nuestra integral término por término. Para el primer término, tenemos menos cuatro 𝑥 elevado a once quintos. Por lo tanto, 𝑛 es igual a once quintos. Cuando integramos este término, obtenemos menos cuatro multiplicado por 𝑥 a la 𝑛 más uno. Y 𝑛 más uno es simplemente dieciséis quintos. Es 𝑥 elevado a dieciséis quintos. Y después necesitamos dividir por 𝑛 más uno. Eso es dividir por dieciséis quintos.
En el segundo término tenemos ocho elevado a dos quintos. Así que 𝑛 es dos quintos. Sumamos, pues, ocho multiplicado por 𝑥 a la 𝑛 más uno, que es 𝑥 elevado a siete quintos. Y luego dividimos por siete quintos. Y no podemos olvidar sumar nuestra constante de integración 𝐶. Todo lo que queda por hacer es simplificar. Y así obtenemos como solución que la integral indefinida de menos cuatro raíz quinta de 𝑥 a la nueve más ocho todo multiplicado por raíz quinta de 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 es igual a menos cinco 𝑥 elevado a dieciséis quintos sobre cuatro más 40 𝑥 elevado a siete quintos sobre siete más 𝐶.
Hemos visto una variedad de ejemplos de integrales indefinidas de funciones potenciales. Recapitulemos algunos puntos principales del video. Puntos principales. La integral indefinida de 𝑓 minúscula de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝐹 mayúscula de 𝑥 más 𝐶 donde 𝐹 mayúscula de 𝑥 es cualquier primitiva o antiderivada de 𝑓 minúscula de 𝑥 y 𝐶 es una constante. La regla de la potencia para la integración. La integral indefinida de 𝑥 a la 𝑛 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝐶 para todo número real 𝑛 excepto menos uno.
