Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo calcular el área lateral y el área total de un cono. Vamos a comenzar recordando lo que es un cono y las fórmulas para su área lateral y su área total. Después vamos a analizar algunos ejemplos de las áreas de los conos.
Veamos entonces lo que es un cono. Los conos son sólidos geométricos que tienen una cara circular, la base, y una cara curva que termina en un vértice. Un cono recto es un cono cuyo vértice está en la perpendicular del centroide de la base. El centroide de un círculo es su centro. La altura de un cono es la distancia perpendicular desde el vértice hasta la base. Por ello a veces es referida como altura perpendicular.
La generatriz de un cono es el segmento que va desde el vértice hasta un punto en la circunferencia de la base. Esto significa que la altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo. Esto es muy útil ya que nos permite usar el teorema de Pitágoras para ayudarnos a resolver problemas relacionados con el área de un cono. Veamos ahora las fórmulas que podemos usar para calcular el área lateral y el área total de un cono.
El área lateral de un cono es el área de la cara curva. Esta área viene dada por la fórmula 𝜋𝑟𝑙. Se obtiene, pues, multiplicando 𝜋 por el radio por la generatriz. El área total de un cono es el área conjunta de todas las superficies, incluida la base. Como un cono solo tiene dos caras, el área total será igual al área de la cara curva más el área de la base. El área de la superficie curva, como mencionamos anteriormente, es igual a 𝜋𝑟𝑙. Como la base del cono es un círculo, su área será igual a 𝜋𝑟 al cuadrado. El área total de un cono es, por tanto, igual a 𝜋𝑟𝑙 más 𝜋𝑟 al cuadrado. Y el área lateral de un cono es simplemente 𝜋𝑟𝑙.
Veamos un ejemplo donde el radio de la base del cono mide cinco centímetros, la altura es 12 centímetros y la generatriz mide 13 centímetros. Podemos calcular el área lateral del cono multiplicando 𝜋 por cinco por 13. Cinco multiplicado por 13 es igual a 65. Por tanto, el área lateral es 65𝜋. Multiplicar 65 por 𝜋 nos da 204.2035 etcétera. Redondeado a una cifra decimal, es 204.2. El área lateral del cono es 204.2 centímetros cuadrados.
Nótese que nuestras unidades son cuadradas y no cúbicas, aunque tengamos una figura tridimensional. Las unidades para áreas de superficies son centímetros cuadrados, metros cuadrados, etcétera, mientras que las unidades de volumen son centímetros cúbicos y metros cúbicos. El área de este cono será igual a 65𝜋 más 𝜋 por cinco al cuadrado. Sumamos el área lateral, o de la cara curva, al área de la base. Cinco al cuadrado es igual a 25. Así que tenemos 65𝜋 más 25𝜋. Esto es igual a 90𝜋. Usamos la calculadora, obteniendo 282.7433 etcétera. Redondeamos a una cifra decimal, lo que nos da un área total de 282.7 centímetros cuadrados. Veamos algunos ejemplos que incluyen las áreas lateral y total de un cono.
Halla, en términos de 𝜋, el área lateral de un cono recto con una base de nueve centímetros de radio y una altura de 13 centímetros.
Comencemos dibujando un diagrama del cono. Nos dicen que el radio de la base mide nueve centímetros. La altura del cono, la cual va desde el vértice en la cúspide al centro de la base, mide 13 centímetros. Esto crea un triángulo rectángulo con una generatriz de longitud 𝑙. El área lateral de un cono es el área de su superficie curva. Esta es igual a 𝜋𝑟𝑙. Multiplicamos 𝜋 por el radio por la longitud de la generatriz. Sabemos que el radio del cono es nueve centímetros. Sin embargo, no sabemos la longitud de la generatriz en este momento. Pero, podemos calcularla usando el teorema de Pitágoras. Este dice que 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a 𝑐 al cuadrado, donde 𝑐 es la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
En esta pregunta, 𝑙 al cuadrado es igual a nueve al cuadrado más 13 al cuadrado. Nueve al cuadrado es igual a 81. 13 al cuadrado es igual a 169. 81 más 169 es igual a 250. Por lo tanto, 𝑙 al cuadrado es igual a 250. La raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación nos da 𝑙 igual a raíz de 250. Raíz de 250 es igual a raíz de 25 multiplicado por 10. Como raíz de 25 es igual a cinco, esto es igual a cinco raíz de 10. La generatriz del cono es cinco raíz de 10 centímetros.
Podemos usar este valor para calcular el área lateral. El área lateral es igual a 𝜋 multiplicado por nueve multiplicado por cinco raíz de 10. Nueve multiplicado por cinco raíz de 10 es 45 raíz de 10. Como nos piden expresar nuestra respuesta en términos de 𝜋, esto es igual a 45 raíz de 10𝜋. El área lateral de un cono recto con radio de base de nueve centímetros y altura de 13 centímetros es 45 raíz de 10𝜋 centímetros cuadrados. Recordemos que nuestras unidades para cualquier área son centímetros cuadrados, metros cuadrados, etcétera.
A continuación, vamos a ver otro ejemplo, pero ahora calcularemos el área total de un cono.
Halla, con dos cifras decimales, el área total de un cono recto.
Nos dicen en el diagrama que la altura del cono es 14.5 centímetros. Y la generatriz es 16.5 centímetros. Aún no sabemos el radio. Podemos calcular la longitud del radio usando el teorema de Pitágoras. El cual dice que 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a 𝑐 al cuadrado, donde 𝑐 es el lado más largo del triángulo rectángulo, conocido como hipotenusa. Reemplazando estos valores obtenemos 𝑟 al cuadrado más 14.5 al cuadrado es igual a 16.5 al cuadrado. Restando 14.5 al cuadrado de ambos lados hallamos que 𝑟 al cuadrado es igual a 16.5 al cuadrado menos 14.5 al cuadrado. Sacando la raíz cuadrada de ambos lados obtenemos que 𝑟 es igual a la raíz cuadrada de 16.5 al cuadrado menos 14.5 al cuadrado. Esto es igual a la raíz cuadrada de 62.
Para mayor precisión, vamos a dejar nuestra respuesta de esta forma en este momento. Nos pidieron hallar el área del cono. Un cono tiene dos superficies, la curva y la base. Por lo tanto, el área total es igual al área de la superficie curva más el área de la base. El área de la cara curva o lateral es igual a 𝜋𝑟𝑙. Multiplicamos 𝜋 por el radio por la generatriz. Como la base es un círculo, calculamos el área de la base multiplicando 𝜋 por el radio al cuadrado. Sustituyendo nuestros valores del radio y de la generatriz obtenemos 𝜋 multiplicado por la raíz cuadrada de 62 multiplicado por 16.5 más 𝜋 multiplicado por la raíz cuadrada de 62 al cuadrado.
La raíz cuadrada de 62 al cuadrado es igual a 62. Como queremos calcular esto con dos cifras decimales y no en términos de 𝜋, podemos hacerlo en la calculadora. Esto nos da una respuesta de 602.93801 etcétera. El ocho en la columna de las milésimas es el número decisivo. Como este número es mayor o igual que cinco, redondeamos hacia arriba. El área total del cono, con dos cifras decimales es 602.94 centímetros cuadrados. Cualquier área será medida en centímetros cuadrados.
Veamos ahora una pregunta sobre el área de un objeto cotidiano que tiene forma cónica.
Una pantalla de lámpara cónica mide 31 centímetros de altura y su base tiene una circunferencia de 145.2 centímetros. Halla, al centímetro cuadrado más cercano, el área de la pantalla de lámpara.
La pantalla de la lámpara tiene la forma de un cono de 31 centímetros de altura como se muestra. La circunferencia de la base es igual a 145.2 centímetros. Nos piden hallar el área de la superficie curva. El área de la cara curva o área lateral de un cono es igual a 𝜋𝑟𝑙. Multiplicamos 𝜋 por el radio de la generatriz 𝑙. De momento no conocemos ninguno de estos valores. Ni la generatriz ni el radio. La circunferencia de un círculo puede ser calculada usando la fórmula dos 𝜋𝑟. Podemos usarla para calcular el radio en esta pregunta.
145.2 es igual a dos 𝜋𝑟. Dividiendo ambos lados de la ecuación por dos 𝜋 hallamos que 𝑟 es igual a 145.2 dividido por dos 𝜋. Esto significa que 𝑟 es igual a 23.1092 etcétera. Para mayor precisión, no vamos a redondear nuestra respuesta. Como ahora sabemos que el radio del cono mide 23.10 etcétera centímetros y que la altura es 31 centímetros, podemos calcular la generatriz. Hacemos esto usando el teorema de Pitágoras, que dice que 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a 𝑐 al cuadrado, donde 𝑐 es el lado más largo del triángulo rectángulo, o sea, la hipotenusa.
Reemplazando, obtenemos que 𝑙 al cuadrado es igual a 31 al cuadrado más 23.1092 etcétera al cuadrado. Resolvemos en la calculadora y nos da 𝑙 al cuadrado igual a 1495.0396 etcétera. Hallamos la raíz cuadrada de ambos lados y obtenemos que 𝑙 es igual a 38.6657 etcétera. Ahora podemos sustituir el valor del radio y de la generatriz en la fórmula para el área de la cara curva. Multiplicamos 𝜋 por el radio por la generatriz. Usando la calculadora, obtenemos un área de la curva de 2807.132. Necesitamos redondear esto al centímetro cuadrado más cercano, lo que significa que debemos redondear al número entero más cercano. La superficie curva de la pantalla de la lámpara es, por lo tanto, igual a 2807 centímetros cuadrados.
Vamos a ver un último ejemplo sobre áreas de conos.
Un cono recto tiene una generatriz de 35 centímetros y un área de 450𝜋 centímetros cuadrados. ¿Cuál es el radio de la base?
Recordamos aquí que el área de un cono es igual a 𝜋𝑟𝑙 más 𝜋𝑟 al cuadrado. 𝜋𝑟𝑙 es el área de la cara curva o cara lateral del cono. 𝜋𝑟 al cuadrado es el área de la base, ya que la base de un cono es un círculo. Nos piden calcular 𝑟, el radio de la base, y conocemos 𝑙, la longitud de la generatriz. Y sabemos también que la superficie total es de 450𝜋. La generatriz mide 35 centímetros. Por lo tanto, el área de la cara curva es de 35𝜋𝑟. El área de la base es 𝜋𝑟 al cuadrado. Como 𝜋 es común a los tres términos, podemos dividir ambos lados de la ecuación por 𝜋. Obtenemos que 450 es igual a 35𝑟 más 𝑟 al cuadrado.
Restar 450 de ambos lados de esta ecuación nos da una ecuación cuadrática. 𝑟 al cuadrado más 35𝑟 menos 450 igual a cero. Podemos resolver esto descomponiendo en factores. Necesitamos encontrar dos números que tengan un producto de menos 450 y una suma de 35. 45 multiplicado por menos 10 es menos 450. Y 45 más menos 10 es igual a 35. Esto significa que nuestros dos paréntesis serán 𝑟 más 45 y 𝑟 menos 10.
Para resolver esta ecuación igual a cero, uno de los paréntesis debe ser igual a cero. O 𝑟 más 45 es igual a cero o 𝑟 menos 10 es igual a cero. Resolviendo estas dos ecuaciones hallamos que, o bien, 𝑟 es igual a menos 45, o bien, 𝑟 es igual a 10. El radio es una longitud y, por lo tanto, no puede ser negativo. Así que podemos concluir que un cono recto con una generatriz de 35 centímetros y un área total de 450𝜋 centímetros cuadrados tiene un radio de la base de 10 centímetros.
Resumamos los puntos clave de este video. Un cono es un cuerpo geométrico con dos caras. Tiene una cara lateral o cara curva. Podemos calcular el área de esta cara usando la fórmula 𝜋𝑟𝑙. Multiplicamos 𝜋 por el radio por la generatriz. Un cono también tiene una cara circular, la base. Esta tiene un área de 𝜋𝑟 al cuadrado. Multiplicamos 𝜋 por el radio al cuadrado. El área total de un cono es, por lo tanto, igual a 𝜋𝑟𝑙 más 𝜋𝑟 al cuadrado. El área se mide en unidades cuadradas, como centímetros cuadrados o metros cuadrados.
