Vídeo: Comparar la tasa de crecimiento de dos funciones

En este video, vamos a aprender cómo usar límites para comparar la magnitud relativa de dos funciones y su razón de cambio.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo comparar las tasas de crecimiento de las funciones. Por ejemplo, las funciones 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado y 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥. Podemos ver sus gráficas para 𝑥 mayor que cero. Y nos damos cuenta de que, inicialmente, cuando 𝑥 aumenta desde cero, 𝑔 de 𝑥 es mayor que 𝑓 de 𝑥. Pero, en cierto punto, 𝑓 de 𝑥 comienza a crecer más rápidamente que 𝑔 de 𝑥 y se adelanta a 𝑔 de 𝑥 en 𝑥 igual a uno. Intuitivamente, sentimos que 𝑓 de 𝑥 crece más rápido que 𝑔 de 𝑥. Pero nos gustaría convertir esta intuición en una afirmación matemática precisa.

¿Cómo hacemos esto? Bien, la idea es que, para valores grandes de 𝑥, 𝑓 de 𝑥 es mucho más grande que 𝑔 de 𝑥. Así que 𝑓 de 𝑁 es mucho más grande que 𝑔 de 𝑁 para números 𝑁 realmente grandes. Podemos decir que 𝑓 de 𝑁 es grande comparado con 𝑔 de 𝑁, cuando el cociente 𝑓 de 𝑁 sobre 𝑔 de 𝑁 es grande. Pero tenemos un problema. Tenemos que escoger un valor grande de 𝑁. ¿Y cómo sabemos si hemos elegido un valor de 𝑁 que es lo suficientemente grande para nuestro objetivo? Eludimos este problema usando límites. En lugar de elegir un valor de 𝑥, el que llamamos 𝑁, consideramos el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞.

Pero ¿cómo determinamos si el límite es grande? Bien, decimos que es grande si su valor es ∞. Seguramente todos estamos de acuerdo en que, si este es el caso, el límite es grande y que, por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 crece más rápido que 𝑔 de 𝑥. Consideramos que esta es una definición matemáticamente precisa que captura la intuición de que 𝑓 de 𝑥 crece más rápido que 𝑔 de 𝑥. Decimos que 𝑓 de 𝑥 crece más rápido que 𝑔 de 𝑥 si el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ es ∞. A veces, también se utiliza el término «domina». 𝑓 de 𝑥 domina 𝑔 de 𝑥, si el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ es ∞.

¿Qué significa esto para nuestras funciones 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado y 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥? Bien, el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ es el límite de 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. Esto es solo usando las definiciones de 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥. Y podemos simplificar la fracción 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥, que es simplemente 𝑥. Así que tenemos el límite de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞, que es ∞. ¿Qué deducimos? A pesar de que tanto 𝑓 de 𝑥 como 𝑔 de 𝑥 tienden a ∞ cuando 𝑥 tiende a ∞, 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado de alguna manera crece más rápido, o domina 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥. Esto es lo que dice nuestra definición. Resumamos esta definición haciendo uso de una pregunta.

¿Si el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ es ∞, qué podemos decir sobre la tasa de crecimiento de 𝑓 de 𝑥 en comparación con 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞?

Este límite nos dice que el cociente 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 crece sin cota cuando 𝑥 tiende a ∞. Y para que el cociente 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 crezca sin cota, la función 𝑓 de 𝑥 debe crecer más rápido que 𝑔 de 𝑥. Nuestra conclusión es, por lo tanto, que la tasa de crecimiento de 𝑓 de 𝑥 es mayor que la de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. Otra forma de decir esto es que la función 𝑓 de 𝑥 domina la función 𝑔 de 𝑥.

Veamos ahora una pregunta relacionada pero en la que el valor del límite ya no es ∞, sino cero.

Si el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ es cero, ¿qué podemos decir sobre la tasa de crecimiento de 𝑓 de 𝑥 en comparación con 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞?

Como el límite de este cociente es cero cuando 𝑥 tiende a ∞, podemos decir que el valor de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es muy pequeño para valores grandes de 𝑥. De hecho, para ver que el numerador 𝑓 de 𝑥 no ha de ser idénticamente igual a cero, debemos imaginar que el cociente 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 se hace más y más pequeño, que se acerca más y más a cero en magnitud a medida que 𝑥 aumenta. Podríamos pensar que para que esto suceda, la función 𝑓 de 𝑥 debe estar cada vez más cerca de cero. Pero este no es el caso.

Consideremos, de nuevo, 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥. Esta es una función que aumenta sin límite cuando 𝑥 es creciente. Si 𝑔 de 𝑥 es 𝑥 al cuadrado, el cociente 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es 𝑥 sobre 𝑥 al cuadrado o uno sobre 𝑥. Y esto se hace cada vez más pequeño a medida que aumenta 𝑥. De lo que se trata no es de si 𝑓 de 𝑥 es pequeña o es cada vez más pequeña, se trata de que si es pequeña en comparación con 𝑔 de 𝑥. Y cuando usamos el límite cuando 𝑥 tiende a ∞, lo que estamos haciendo es comparar tasas de crecimiento. La tasa de crecimiento de 𝑓 de 𝑥 es menor que la de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. Aunque la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 es creciente a medida que 𝑥 aumenta, no está creciendo tan rápidamente como 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado. Así que el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es cero. Esta es nuestra respuesta.

También podemos invertir esto. Otra forma de decir que la tasa de crecimiento de 𝑓 de 𝑥 es menor que la de 𝑔 de 𝑥 es decir que la tasa de crecimiento de 𝑔 de 𝑥 es mayor que la de 𝑓 de 𝑥. Podemos demostrar esto hallando el límite de 𝑔 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. Este es el límite de uno sobre 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a ∞, que, trabajando de manera algo informal, es uno partido por el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. Y sabemos que este límite en el denominador vale cero pues lo dice la cuestión. Y aunque normalmente no podemos dividir entre cero, en esta ocasión particular, puede justificarse. Y, además, no estamos completamente equivocados al decir que uno sobre cero debe ser más o menos ∞.

Vale la pena insistir en que esto no es exactamente 100 por ciento riguroso, pero indica que la tasa de crecimiento de 𝑔 de 𝑥 es mayor que la de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. Y esa es solo otra forma de decir que la tasa de crecimiento de 𝑓 de 𝑥 es menor que la de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞, que fue nuestra respuesta.

Hemos visto que si el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ es ∞, 𝑓 de 𝑥 crece más rápidamente que 𝑔 de 𝑥, o que 𝑓 de 𝑥 domina 𝑔 de 𝑥. Sin embargo, si el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ es cero, 𝑓 de 𝑥 crece más despacio que 𝑔 de 𝑥. Y en este caso es 𝑔 de 𝑥 la que en cambio domina 𝑓 de 𝑥. Pero ∞ y cero no son los únicos valores posibles de un límite. ¿Qué sucede si el valor de este límite es un número real 𝑎 distinto de cero? Bien, Esto no es una manera particularmente formal de expresarlo, pero, en ese caso, 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 crecen aproximadamente al mismo ritmo. Puedes pensar que la función 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 crece mucho más rápido que 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥. Pero, en realidad, no es así en este contexto.

Este factor de dos es insignificante en comparación con la diferencia infinita — mejor dicho, el cociente infinito — entre las tasas de crecimiento de la función cuadrática 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado y la función lineal 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥. Quizás es mejor pensar en esto en términos de dominación. No es suficiente que 𝑓 de 𝑥 sea mayor que 𝑔 de 𝑥. Tiene que dominar completamente 𝑔 de 𝑥. Este es un requisito más exigente. Cuando hablamos de dominio, un múltiplo constante no es suficiente para cambiar el balance. Podemos hacer esta afirmación precisa. Si 𝑓 de 𝑥 domina 𝑔 de 𝑥, entonces, para cualquier número real positivo 𝑎 y 𝑏, 𝑎 por 𝑓 de 𝑥 domina 𝑏 por 𝑔 de 𝑥. Esto no es difícil de demostrar.

Para probar que 𝑎 por 𝑓 de 𝑥 domina 𝑏 por 𝑔 de 𝑥, solo necesitamos demostrar que el límite de su cociente cuando 𝑥 tiende a ∞ es ∞. Una de las propiedades de los límites nos permite sacar el factor constante 𝑎 sobre 𝑏 de dentro del límite. Y sabemos cuánto vale el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. Puesto que 𝑓 de 𝑥 domina 𝑔 de 𝑥, este debe ser ∞. El factor constante 𝑎 sobre 𝑏 no puede hacer nada para que ∞ sea más pequeño. Así que nuestro límite es también ∞. Y, por tanto, 𝑎 por 𝑓 de 𝑥 domina 𝑏 por 𝑔 de 𝑥. Esto significa que no solo 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado domina 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥, sino que incluso 𝑓 de 𝑥 igual a 0.001𝑥 al cuadrado domina 𝑔 de 𝑥 igual a 99𝑥, y así con dos números cualesquiera.

Hasta este punto en el video, hemos visto principalmente ejemplos que incluyen funciones lineales y cuadráticas. Si sabes cómo hallar el límite en ∞ de una función racional — o sea, una función que es el cociente de dos polinomios — podrás demostrar si un polinomio domina a otro. Sin embargo, nos gustaría considerar también funciones no polinómicas. Y, para eso, es útil estar familiarizado con la regla de L’Hôpital. Veamos un ejemplo.

Evalúa el límite de 𝑥 al cuadrado sobre 𝑒 elevado a 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ usando la regla de L’Hôpital.

Podemos intentar evaluar este límite utilizando el hecho de que el límite de un cociente de funciones es el cociente de sus límites. Obtenemos el límite de 𝑥 al cuadrado cuando 𝑥 tiende a ∞ sobre el límite de 𝑒 elevado a 𝑥 de 𝑥 y 𝑥 tiende a ∞. El problema es que el límite de 𝑥 al cuadrado cuando 𝑥 tiende a ∞ es ∞, y también lo es el límite de 𝑒 elevado a 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. Y así obtenemos la forma indeterminada ∞ sobre ∞. Es por eso que necesitamos usar la regla de L’Hôpital. La regla de L’Hôpital dice que si el cociente de límites, el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende 𝑎 sobre el límite de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a 𝑎, da una forma indeterminada. Eso es cero sobre cero o más o menos ∞ sobre más o menos infinito ∞. El límite del cociente de las funciones 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es igual al límite del cociente de sus derivadas 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑔 prima de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎.

Obviamente, esto solo funciona si 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables. Pero en nuestro caso, estas funciones son 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado, que es derivable, como también lo es 𝑔 de 𝑥, que es 𝑒 elevado a 𝑥. Con esta elección de 𝑓 de 𝑥 y de 𝑔 de 𝑥 ya hemos visto que el cociente de sus límites nos da la forma indeterminada ∞ sobre ∞. De modo que la regla de L’Hôpital sí aplica. Por consiguiente, podemos decir que el límite del cociente de funciones que estamos buscando es igual al límite del cociente de sus derivadas. 𝑓 de 𝑥 es 𝑥 al cuadrado, y 𝑓 prima de f 𝑥 es dos 𝑥, su derivada. 𝑔 de 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥, y su derivada es también 𝑒 elevado a 𝑥. La función exponencial 𝑒 elevado a 𝑥 tiene la propiedad de que su derivada es ella misma.

Podemos intentar usar otra vez el hecho de que el límite de un cociente de funciones es el cociente de sus límites. ¿Cuál es el límite de dos 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞? Cuando 𝑥 tiende a ∞, dos 𝑥 también tiende a infinito. Y lo mismo sucede con el denominador. El límite de 𝑒 elevado a 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞, como ya hemos visto, es también ∞. Tenemos, pues, otra vez la forma indeterminada ∞ sobre ∞. Podría parecer que no hemos hecho ningún progreso aplicando la regla de L’Hôpital. Pero en realidad sí lo hemos hecho. Y podemos comprobarlo aplicando la regla de L’Hôpital una vez más. Esta vez vamos a aplicarla al límite de dos 𝑥 sobre 𝑒 elevado a 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. Y por tanto, tomamos 𝑓 de 𝑥 como dos 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 como 𝑒 elevado a 𝑥.

La derivada de dos 𝑥 es dos y la derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥. Y aplicando la regla de L’Hôpital por segunda vez, hallamos el límite de dos partido por 𝑒 elevado a 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. Podemos usar el hecho de que el límite de un cociente es igual al cociente de los límites. El límite de dos cuando 𝑥 tiende a ∞ es dos, y el límite de 𝑒 elevado a 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ es ∞. Dos sobre ∞ no es una forma indeterminada, a pesar de que contiene ∞, que no es en sí un número real. En el contexto de límites, es fácil ver que cualquier número real sobre ∞ es cero. Y ese es el valor también de nuestro límite inicial, el límite de 𝑥 al cuadrado sobre 𝑒 elevado a 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞.

Si te preocupa decir que dos dividido por ∞ es cero, hay otra forma de llegar a esto. En lugar de hallar un cociente de límites, podemos pensar en la función dos sobre 𝑒 elevado a 𝑥, o sea, dos 𝑒 elevado a menos 𝑥. Puedes reconocer esto como decrecimiento exponencial, 𝑒 elevado a menos 𝑥. Y, por lo tanto, dos por 𝑒 elevado a menos 𝑥 tiende a cero cuando 𝑥 tiende a ∞. De cualquier forma, la respuesta es cero.

Una forma de interpretar el hecho de que el límite de 𝑥 al cuadrado sobre 𝑒 elevado a 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ es cero es decir que la función 𝑥 al cuadrado crece más lentamente que 𝑒 elevado a 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. O, en otras palabras, que la función 𝑒 elevado a 𝑥 domina la función 𝑥 al cuadrado. De hecho, aplicando la regla de L’Hôpital repetidamente, podemos mostrar que la función exponencial 𝑒 elevado a 𝑥 domina cualquier función polinómica.

Con un polinomio de grado 𝑛 en el numerador, al aplicar la regla de L’Hôpital una vez, derivamos este numerador y obtenemos un polinomio de grado 𝑛 menos uno. Aplicando repetidamente la regla de L’Hôpital, podemos reducir el grado del polinomio en el numerador hasta que es solo una constante, un polinomio de grado cero. Y sabemos que el límite de una constante sobre 𝑒 elevado a 𝑥, o lo que es lo mismo, el límite de una constante por 𝑒 elevado a menos 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞, es cero. 𝑒 elevado a 𝑥, por lo tanto, domina cualquier polinomio.

Este hecho es una de las bases de la complejidad computacional en informática. Si el tiempo que tarda un algoritmo en ejecutarse es una función polinómica de la longitud de sus datos de entrada, ese algoritmo se considera bastante rápido. Sin embargo, si el tiempo empleado es una función exponencial de la longitud de los datos de entrada del algoritmo, ese algoritmo se considera lento. El concepto de complejidad informática está fuera del alcance de este video, pero te recomiendo que lo explores por tu cuenta, ya que es un concepto muy importante y está directamente relacionado con el tema de comparar el crecimiento de las funciones.

Terminemos resumiendo lo que hemos aprendido. Decimos que la función 𝑓 de 𝑥 domina la función 𝑔 de 𝑥. Si el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ es ∞. En este caso, también podemos decir que la tasa de crecimiento de 𝑓 de 𝑥 es mayor que la de 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞. Si el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a ∞ es cero, entonces es 𝑔 de 𝑥 la que domina 𝑓 de 𝑥. La otra posibilidad es que el límite de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 sea algún número real 𝑎 distinto de cero, y en este caso, ninguna función domina la otra. Hemos visto que la función exponencial 𝑒 elevado a 𝑥 domina todas las funciones polinómicas. Este hecho y, en general, la comparación del crecimiento de funciones, son aspectos fundamentales de la complejidad computacional, que es un tema muy importante en informática.

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