Vídeo: Hallar la factorización prima de un número

Haciendo uso de una serie de ejemplos en los que se usan árboles de factores y el método de división por números primos, vamos a ser guiados a lo largo del proceso de hallar la descomposición en factores primos de un número compuesto y dejaremos algunos consejos para el final.

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Transcripción del vídeo

Comencemos por hallar la descomposición en factores primos de un número. Antes de empezar, hay dos palabras que necesitamos saber aquí. Estas son «factor» y «número primo».

Usamos la palabra «factores» para referirnos a los divisores de un número cuando su producto es ese número. Aquí tenemos un ejemplo. Dos por tres es seis. Por lo tanto, decimos que dos y tres son factores de seis. Y un número primo es un número mayor que uno que tiene exactamente dos divisores: uno y él mismo. Por ejemplo, el número siete, los únicos números que al multiplicarse dan siete son uno y siete. Por tanto, siete es un número primo. Después tenemos la factorización prima, que consiste en escribir un número compuesto como el producto de únicamente números primos. Recordemos que un número compuesto es un número entero mayor que uno y que tiene más de dos divisores. Por ejemplo, 10, pues podemos obtener 10 multiplicando uno por 10 o dos por cinco. 10 tiene más de dos divisores.

Volviendo a la factorización prima. Vamos a tomar estos números compuestos y a escribirlos como el producto de números primos. Recordemos que producto significa números que son multiplicados entre sí. Vamos a ver dos métodos para hallar la factorización prima: el primero es usando un árbol de factores y el segundo es dividiendo por números primos.

Halla la factorización prima de 60.

Comencemos usando un árbol de factores para factorizar 60. Aquí debemos pensar en dos números que sepamos que al multiplicarse dan como resultado 60. Vamos a escoger seis y 10. Seis por 10 es igual a 60. Ahora, veamos los números seis y 10 y qué números se multiplican para obtenerlos. Con respecto a seis, sabemos que dos por tres es igual a seis. Y con respecto a 10, dos por cinco es igual a 10.

El método del árbol de factores termina cuando cada una de las ramas es un número primo. Aquí, los únicos números que podemos multiplicar para obtener dos son dos y uno. Dos es un número primo. Tres es un número primo por la misma razón: uno por tres es tres. Estos son los únicos factores. Cuando todas las ramas tienen números primos, podemos detenernos y escribir la factorización prima. Dos por dos por tres por cinco es la factorización prima de 60. 60 es igual a dos por dos por tres por cinco. A menudo es útil escribirlo con exponentes. Por lo tanto, para que sea más claro, decimos que es dos al cuadrado por tres por cinco. Y llamamos a esto el método del árbol de factores. Resolvamos el mismo problema de nuevo pero ahora usando el método de dividir por números primos.

Para este método, necesitamos hallar un número primo que sea un divisor de 60. Vamos a empezar con el dos. Sabemos que 60 es divisible por dos. Y sabemos que dos es un número primo. 60 dividido por dos es 30. Ahora, necesitamos un número primo que sea un divisor de 30. Escogemos el tres. 30 dividido por tres es 10. Ahora necesitamos un número primo que sea un divisor de 10. Escogemos dos. 10 dividido por dos es cinco. Este método se termina cuando el número en la caja es un número primo. Como cinco es un número primo, hemos terminado este paso. Ahora tomamos todos los números que hemos usado para dividir, y también el número al final. Y esta es la factorización prima.

Podemos decir que 60 es igual a dos por tres por dos por cinco. O, simplemente, dos al cuadrado por tres por cinco. Ambos métodos nos llevan a la factorización prima de 60. A pesar de que los métodos son diferentes, solo hay una descomposición en factores primos de 60. Solo un conjunto de números primos que, multiplicados, den 60.

Nuestro siguiente ejemplo dice: «halla los factores primos de 28».

Esta vez vamos a tratar de dividir por factores primos para resolver este problema. Nos hemos dado cuenta de que 28 es un número par. Así que vamos a comenzar dividiéndolo por dos. 28 dividido por dos es igual a 14. ¡Otro número par! Vamos a dividir por dos otra vez. 14 dividido por dos es siete. Identificamos siete como un número primo. Y así es como termina este paso. 28 es igual a dos por dos por siete. Y preferimos escribirlo con exponentes, lo que nos deja con 28 es igual a dos al cuadrado por siete.

Nuestro siguiente ejemplo: halla la factorización prima de 468.

Seguramente piensas que 468 es un número muy grande. ¿Va a ser muy difícil hallar la factorización prima de 468? La respuesta es no. Vamos a seguir el mismo procedimiento. No será muy diferente de hallar la factorización prima de otros números, otros números más pequeños. De acuerdo! Entonces usemos el método del árbol de factores para hallar la factorización prima aquí. De nuevo vemos que tenemos un número par. Así que podemos empezar directamente por el dos. Dos por 234 es igual a 468. Dos es un número primo. Por lo tanto la rama termina aquí.

234 es un número par. Dividamos 234 por dos. Dos por 117 es igual a 234. Dos es un número primo. Esta rama está terminada. Ahora necesitamos algunos factores de 117. Si no encontramos inmediatamente los factores de 117, lo mejor que podemos hacer es probar con los números primos más pequeños. Por ejemplo, sabemos que este es un número impar y no es divisible por dos. La suma de los dígitos uno, uno, siete es nueve, lo que lo hace divisible por tres.

Nuestro próximo paso será dividir 117 por tres. Tres por 39 es igual a 117. Tres es un número primo. Esta rama está terminada. Vamos a mover 39 aquí para tener un poco más de espacio. ¿Qué factores al ser multiplicados nos dan como resultado 39? Es muy fácil reconocer que 39 es divisible por tres. 39 dividido por 13 es tres. Aquí tenemos un número primo. Esta rama está terminada. 13 es también primo, lo que significa que finalmente tenemos solo factores primos.

El final de cada rama es un número primo. Vamos a ponerlos todos juntos para hacer una factorización prima. Sabemos, pues, que 468 es igual a dos por dos por tres por tres por 13, y nuestra respuesta final con exponentes es dos al cuadrado por tres al cuadrado por 13 es igual a 468. Y esto no es tan complicado después de todo.

Y finalmente, aquí tenemos unos consejos para hallar la factorización prima. Número uno: usa el método que funcione mejor para ti. Si prefieres dividir por números primos, ¡perfecto! Puedes hallar la respuesta dividiendo por números primos. Si prefieres usar un árbol de factores, este es el método que debes utilizar. Segundo, si te quedas estancado y no estás seguro de qué factores buscas, revisa los números primos un poco más grandes. Puedes intentar dividir el número que estás factorizando por 13, 17, 19 u otros números primos. Y tercero, debes practicar. Identificar los factores en cada número, requiere de mucha práctica. Y solo practicando te volverás más rápido y más exacto.

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