Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aplicar el teorema pitagórico, o el teorema de Pitágoras —como seguramente lo conozcas— para calcular la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. Esto es de muchísima utilidad, pues los triángulos rectángulos pueden usarse para modelar una amplísima variedad de situaciones dentro del campo de la física. Y a menudo aparecen en problemas de área. El teorema de Pitágoras es una parte muy conocida de las matemáticas. Mucha gente recuerda el nombre de este teorema de sus días en la escuela, aunque puede que no recuerde muy bien lo que dice el teorema.
Entonces, ¿qué dice el teorema de Pitágoras? El teorema de Pitágoras trata de la relación especial que existe entre las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo, o sea, de un triángulo que tiene un ángulo recto. Recuerda que, al lado más largo de un triángulo rectángulo, que es siempre el lado directamente opuesto al ángulo recto, lo denominamos hipotenusa. El teorema de Pitágoras dice lo siguiente.
En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos, o sea, los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. Normalmente utilizamos las letras 𝑎 y 𝑏 para representar los dos catetos del triángulo rectángulo. Y la letra 𝑐 para representar la hipotenusa, en cuyo caso, el teorema de Pitágoras puede expresarse como 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado igual a 𝑐 al cuadrado. Pero es importante que entiendas lo que quiere decir el teorema, no solo que te aprendas esta ecuación.
En términos pictóricos, lo que el teorema de Pitágoras nos dice es que, si dibujamos un cuadrado en cada lado de un triángulo rectángulo, entonces la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños es igual al área del cuadrado más grande. Este es el cuadrado que está en la hipotenusa. Hay muchas formas distintas de demostrar el teorema de Pitágoras, pero una de las más sencillas sea tal vez un método llamado disección de Perigal. No vamos a entrar en detalles aquí. Tan solo mencionaremos que se basa en cortar los dos cuadrados más pequeños y reorganizar las piezas para que encajen exactamente dentro del cuadrado más grande, como puedes ver en el dibujo. Si quieres, puedes hacerlo por tu cuenta reproduciendo este dibujo en una hoja de papel.
Veamos ahora algunos ejemplos de cómo aplicar el teorema de Pitágoras. Empezaremos considerando un ejemplo de cómo usar el teorema para hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Halla 𝑥 en el triángulo rectángulo que aparece a continuación.
Si observamos los datos que tenemos, vemos, en primer lugar, que este triángulo es, efectivamente, un triángulo rectángulo. Tiene un ángulo recto. Y se nos han dado las longitudes de dos de sus lados. Son ocho unidades y 15 unidades, respectivamente. 𝑥 representa la longitud del tercer lado del triángulo rectángulo. Y, por su posición, directamente opuesta al ángulo recto, deducimos que 𝑥 es la hipotenusa del triángulo. Como tenemos las longitudes de dos lados del triángulo rectángulo y queremos calcular la del tercero, entonces estamos en el caso en el que podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
El teorema nos dice que, en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Empecemos, pues, escribiendo lo que el teorema de Pitágoras nos dice sobre este triángulo en concreto. Los dos lados más cortos, o catetos, miden ocho unidades y 15 unidades. Así que la suma de los cuadrados de los dos catetos es ocho al cuadrado más 15 al cuadrado. Y esto es igual al cuadrado de la hipotenusa. Y como la hipotenusa del triángulo es 𝑥, tenemos la ecuación ocho al cuadrado más 15 al cuadrado igual a 𝑥 al cuadrado.
De esta forma, aplicando lo que dice el teorema de Pitágoras a este triángulo, obtenemos una ecuación que podemos resolver para calcular 𝑥. Puede que prefieras intercambiar los dos lados de la ecuación para que 𝑥 esté en el lado izquierdo, aunque esto no es del todo necesario. Ahora que hemos planteado la ecuación, vamos a resolverla calculando primero ocho al cuadrado y 15 al cuadrado. Al hacerlo obtenemos que 𝑥 al cuadrado es igual a 64 más 225, que simplificado es 𝑥 al cuadrado igual a 289.
El siguiente paso para resolver esta ecuación es hacer la raíz cuadrada de ambos lados, pues la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado dará 𝑥. En general, cuando resolvemos una ecuación por medio de una raíz cuadrada, debemos acordarnos de hallar tanto la raíz cuadrada positiva como la negativa. Pero aquí 𝑥 tiene un significado físico; es la longitud del lado de un triángulo. Así que debe tomar un valor positivo. Por lo tanto, escribimos 𝑥 igual a la raíz cuadrada positiva de 289. 289 es de hecho un número cuadrado, y su raíz cuadrada es 17. Muy bien, ya hemos hallado el valor de 𝑥. 𝑥 es igual a 17.
No obstante, es importante realizar siempre una rápida comprobación de la respuesta comparando el valor que hemos hallado con los otros dos lados del triángulo. Como ya sabes, 𝑥 representa la hipotenusa, que es el lado más largo de este triángulo rectángulo. Así que el valor de 𝑥 que hemos hallado debe ser mayor que las longitudes de los otros dos lados. Nuestro valor es 17 y los otros dos lados son 15 y ocho. Así que nuestra respuesta tiene sentido.
Además, este triángulo es un ejemplo de un tipo especial de triángulo rectángulo, conocido como triángulo pitagórico. Este es un triángulo rectángulo en el que las tres longitudes de los lados son números enteros. El triángulo pitagórico más conocido es el triángulo del tipo tres-cuatro-cinco, pues tres al cuadrado más cuatro al cuadrado es igual a cinco al cuadrado. Es muy común hallar triángulos pitagóricos cuando operamos sin calculadora. Así que es conveniente estar familiarizado con algunos de los más comunes. En suma, aplicando el teorema de Pitágoras hemos hallado que el valor de 𝑥 en el triángulo rectángulo mostrado es 17.
En el próximo ejemplo vamos a aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de uno de los catetos en un triángulo rectángulo.
Halla el valor de 𝑥 en el triángulo rectángulo del dibujo.
Muy bien, tenemos un triángulo rectángulo. Y se nos pide que hallemos el valor de 𝑥, que representa la longitud de uno de los lados del triángulo. Se nos ha dado la longitud de los otros dos lados. Así que tenemos todos los ingredientes necesarios para aplicar el teorema de Pitágoras. Este nos dice que, en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Ahora bien, antes de aplicar el teorema de Pitágoras, debemos tener mucho cuidado y asegurarnos de que identificamos correctamente qué lado del triángulo es la hipotenusa. Recuerda que es el lado directamente opuesto al ángulo recto. Así que en este caso, la hipotenusa del triángulo mide 13 unidades.
El lado cuya longitud se nos ha pedido que hallemos, la longitud 𝑥, es uno de los lados cortos —o sea, uno de los catetos— del triángulo rectángulo. Para calcular esta longitud vamos a comenzar escribiendo lo que nos dice el teorema de Pitágoras sobre este triángulo. Los dos catetos son 𝑥 y 12. Así que la suma de sus cuadrados es 𝑥 al cuadrado más 12 al cuadrado. La hipotenusa del triángulo es 13 unidades. Por lo tanto, si la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, la ecuación que obtenemos es 𝑥 al cuadrado más 12 al cuadrado igual a 13 al cuadrado.
Ahora que ya tenemos nuestra ecuación, vamos a resolverla para determinar el valor de 𝑥. En primer lugar, calculamos 12 al cuadrado y 13 al cuadrado, y obtenemos que 𝑥 al cuadrado más 144 es igual a 169. Queremos aislar 𝑥 o 𝑥 al cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación. Así que el siguiente paso es restar 144 de ambos lados. En el lado izquierdo, 𝑥 al cuadrado más 144 menos 144 es 𝑥 al cuadrado. Y en el lado derecho, 169 menos 144 es 25.
El último paso es hacer la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación, y debemos acordarnos de que tan solo tenemos que tomar la raíz cuadrada positiva en este caso, pues 𝑥 representa una longitud. Así que debe tener un valor positivo. Por lo tanto, 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de 25. Y como 25 es un número cuadrado, su raíz cuadrada es un número entero; es cinco. Así que ya hemos calculado 𝑥. 𝑥 es igual a cinco. Este triángulo es otro ejemplo de triángulo pitagórico. Es un triángulo rectángulo en el que las longitudes de los tres lados son números enteros.
Como ya hemos dicho antes, conviene que hagamos una rápida comprobación de nuestra respuesta. Lo que buscábamos era hallar la longitud de uno de los catetos de este triángulo. Así que nuestro valor para 𝑥 debe ser menor que la longitud que nos dieron para la hipotenusa. Cinco es obviamente menor que 13. Así que nuestra respuesta tiene sentido. Parece que, aplicando el teorema de Pitágoras, hemos resuelto el problema. El valor de 𝑥 es cinco. Debemos asegurarnos de tener mucho cuidado al plantear la ecuación. Y saber con certeza antes de comenzar qué longitud se nos ha pedido que hallemos, si la de uno de los catetos o la de la hipotenusa.
Hasta aquí hemos visto un ejemplo de cómo calcular la longitud de la hipotenusa y otro de cómo calcular la longitud de un cateto. El teorema de Pitágoras es muy útil, pues nos ayuda a resolver una amplia variedad de problemas prácticos. Veamos ahora un par de ejemplos centrándonos en la resolución de problemas.
Calcula la longitud de la diagonal de un rectángulo de 48 centímetros de largo y 20 centímetros de ancho.
Como ves, en este problema no tenemos ningún diagrama. Pero siempre podemos dibujar el nuestro. Tenemos un rectángulo de 48 centímetros de largo y 20 centímetros de ancho. La longitud que se nos ha pedido que calculemos es la diagonal de este rectángulo. Es la recta que une las esquinas opuestas. Podemos usar la letra 𝑑 para denotar esta longitud desconocida. Sabemos que todos los ángulos interiores de un rectángulo miden 90 grados. Así que, como ves, este problema no trata solo de rectángulos. Sino de triángulos rectángulos, es decir, del triángulo formado por la longitud del rectángulo, su anchura y esta diagonal.
Si nos fijamos en el triángulo interior del rectángulo, podemos ver que tenemos la longitud de dos de sus lados —son 20 centímetros y 48 centímetros— y que se nos ha pedido que calculemos la longitud de su tercer lado. Y como este es un triángulo rectángulo, vamos a hacerlo aplicando el teorema de Pitágoras. Este nos dice que, en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Ahora bien, antes de intentar aplicar el teorema de Pitágoras, vamos a identificar primero cuál de los tres lados se nos ha pedido que calculemos. Recuerda que la hipotenusa es siempre el lado directamente opuesto al ángulo recto. Así que, en este caso, el lado que buscamos es la hipotenusa del triángulo.
Ahora nos preguntamos, «¿Qué nos dice el teorema de Pitágoras, no en términos generales, sino sobre este triángulo en particular?» Bueno, como los dos catetos miden 48 y 20 centímetros, la suma de sus cuadrados es 48 al cuadrado más 20 al cuadrado. Y el cuadrado de la hipotenusa es 𝑑 al cuadrado. Así que tenemos la ecuación 48 al cuadrado más 20 al cuadrado es igual a 𝑑 al cuadrado. Podemos, si lo deseamos, intercambiar los dos lados de la ecuación para tener 𝑑 al cuadrado en el lado izquierdo. De esta forma, aplicando el teorema de Pitágoras, hemos planteado una ecuación, que ahora podemos resolver para obtener 𝑑.
En primer lugar, si calculamos 48 al cuadrado y 20 al cuadrado, y seguidamente sumamos estos valores, obtenemos que 𝑑 al cuadrado es igual a 2704. El último paso para resolver esta ecuación es hallar la raíz cuadrada en ambos lados, y obtenemos que 𝑑 es igual a la raíz cuadrada de 2704. Y 2704 es de hecho un número cuadrado, aunque no es uno con el que estemos muy familiarizados. Su raíz cuadrada es 52. Así que tenemos 𝑑 igual a 52. La longitud de la diagonal de este rectángulo es, por lo tanto, 52 centímetros.
Vamos a comprobar rápidamente nuestra respuesta. Recuerda que 𝑑 es la hipotenusa de este triángulo. Es el lado más largo. Así que tenemos que comprobar que nuestro valor tiene sentido. 52 es, de hecho, mayor que cada uno de los otros lados. Así que es un valor razonable para la hipotenusa de este triángulo. Por lo que parece que ya hemos resuelto el problema. La clave en esta cuestión fue dibujar primero nuestro propio diagrama. Y una vez que lo hicimos, vimos que este problema no trataba solo de rectángulos. Sino que trataba de triángulos rectángulos. Y por lo tanto, pudimos resolverlo aplicando el teorema de Pitágoras.
Veamos ahora un último ejemplo en el que hay puntos en un plano de coordenadas.
Los vértices de un triángulo están en los puntos 𝐴 cuatro, uno; 𝐵 seis, dos; y 𝐶 dos, cinco. Calcula las longitudes de los lados del triángulo. Expresa las respuestas como radicales en su forma irreducible. Y responde a la pregunta, ¿es este un triángulo rectángulo?
Comencemos dibujando este triángulo en el plano de coordenadas. No es necesario que dibujemos el triángulo con precisión. No vamos a medir la longitud de nada. Solo queremos dibujarlo para ver la posición aproximada de estos tres puntos entre sí.
El triángulo tiene esta pinta. Según nuestro dibujo, podría tratarse de un triángulo con un ángulo recto en 𝐴. Pero para confirmar esto no basta solo con nuestro dibujo. Veamos pues la primera parte del problema. Tenemos que calcular las longitudes de los tres lados del triángulo. Vamos a comenzar hallando la longitud del lado 𝐴𝐵.
Podemos dibujar un triángulo rectángulo debajo de este segmento usando 𝐴𝐵 como su hipotenusa. Y ahora podemos calcular las longitudes de los catetos de este triángulo. El lado horizontal es la diferencia entre los valores de 𝑥 en sus extremos. Esa es la diferencia entre seis y cuatro, que es dos. Y el lado vertical es la diferencia entre los valores de 𝑦 en sus extremos. Esa es la diferencia entre dos y uno, que es uno.
Como ahora tenemos las longitudes de dos de los lados de un triángulo rectángulo y queremos calcular la longitud del tercer lado, podemos aplicar el teorema de Pitágoras, que dice que, en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Y como sabes, 𝐴𝐵 es la hipotenusa. Así que tenemos que 𝐴𝐵 al cuadrado es igual a uno al cuadrado más dos al cuadrado. Uno al cuadrado es uno y dos al cuadrado es cuatro. Y si sumamos estos valores obtenemos que 𝐴𝐵 al cuadrado es igual a cinco.
Para calcular la longitud de 𝐴𝐵, tenemos que calcular la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Y recuerda que, en este punto, debemos expresar la respuesta como un radical. Así que tenemos que 𝐴𝐵 es igual a la raíz de cinco. Y podemos hallar las longitudes de los otros dos lados del triángulo de la misma manera. Dibujamos un triángulo rectángulo debajo del segmento 𝐵𝐶. Y vemos que tiene un lado horizontal de cuatro unidades y un lado vertical de tres unidades.
𝐵𝐶 es la hipotenusa de este triángulo. Así que, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que 𝐵𝐶 al cuadrado es tres al cuadrado más cuatro al cuadrado. Eso es nueve más 16, que es 25. 𝐵𝐶 es, por lo tanto, igual a la raíz cuadrada de 25, que es el entero cinco. Análogamente, 𝐴𝐶 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de dos y cuatro unidades. Por lo tanto, 𝐴𝐶 es igual a la raíz cuadrada de 20, que se simplifica a dos raíz de cinco.
Ya hemos resuelto la primera parte del problema. Y ahora debemos determinar si este triángulo es un triángulo rectángulo. De ser así, el teorema de Pitágoras se cumplirá para sus tres lados. Creemos que el ángulo recto está en 𝐴, por lo que 𝐵𝐶 será la hipotenusa del triángulo si este es un triángulo rectángulo.
Queremos saber si 𝐵𝐶 al cuadrado es igual a 𝐴𝐵 al cuadrado más 𝐴𝐶 al cuadrado. Para hallarlo, podemos usar los lados al cuadrado. Sabemos que 𝐵𝐶 al cuadrado es 25. Sabemos que 𝐴𝐵 al cuadrado es cinco. Y sabemos que 𝐴𝐶 al cuadrado es 20. Entonces, ¿es cierto que 25 es igual a cinco más 20? Sí, es cierto, lo que significa que el teorema de Pitágoras se cumple en este triángulo. Y, por lo tanto, es un triángulo rectángulo. Así que hemos resuelto el problema. Hemos hallado las tres longitudes de los lados. 𝐴𝐵 es igual a la raíz de cinco, 𝐵𝐶 es igual a cinco y 𝐴𝐶 es igual a dos raíz de cinco. Y hemos determinado que este triángulo es un triángulo rectángulo.
Resumamos ahora lo que hemos aprendido en este vídeo. El teorema de Pitágoras nos dice que, en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos, o catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa, lo que a menudo vemos escrito como 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado igual a 𝑐 al cuadrado. El primer paso en cualquier problema debe ser escribir lo que el teorema de Pitágoras nos dice sobre el triángulo del problema en cuestión. Es decir, planteamos una ecuación. Seguidamente resolvemos la ecuación, por lo que tendremos que hallar la raíz cuadrada. Por último, siempre debemos comprobar nuestra respuesta en relación con las longitudes de los otros dos lados para asegurarnos de que el valor que hemos calculado tiene sentido.
