Vídeo: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado

Resuelve la ecuación −𝑥² + 7𝑥 + 1 = 0.

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Transcripción del vídeo

Resuelve la ecuación menos 𝑥 al cuadrado más siete 𝑥 más uno igual a cero.

Podemos comenzar copiando la ecuación tal y como aparece en el problema. Y luego pensamos qué hacer con este coeficiente principal negativo.

Puesto que vamos a tener que factorizar o completar el cuadrado, queremos asegurarnos de que el coeficiente principal es positivo, y podemos hacerlo pasando el término al otro lado de la ecuación. Sumamos 𝑥 al cuadrado a ambos lados.

Sin embargo, no queremos mover solo el término principal, queremos tener toda la expresión en el mismo lado. Esto significa que vamos a restar siete a ambos lados de la ecuación también. También vamos a restar uno a ambos lados de la ecuación. Básicamente, le hemos dado la vuelta a la ecuación. Ahora tenemos cero igual a 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 menos uno.

Comenzamos a pensar en cómo factorizar y resolver esta ecuación, y nos fijamos en el tercer término. Si queremos factorizar la expresión así, tendríamos que hallar dos divisores del tercer término, algo así como 𝑥 menos uno 𝑥 más uno. El problema es que el segundo término es menos siete, por lo que este tipo de factorización no va a servir para resolver este problema. Para resolver este problema, tendremos que utilizar un método denominado completar el cuadrado.

El primer paso es mover el número uno al otro lado de la ecuación. Nos quedamos con uno igual a 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥. Para completar el cuadrado debemos tomar el coeficiente del término medio, la b de aquí. Luego utilizamos el valor que tenga b, y lo dividimos por dos y luego lo elevamos al cuadrado.

Tras hacerlo, sumamos ese valor a ambos lados de la ecuación. En nuestro caso, la b es igual a menos siete, por lo que tendremos que sumar menos siete sobre dos al cuadrado a ambos lados de la ecuación. Eso sería menos siete al cuadrado sobre dos al cuadrado, que se simplifica a 49 sobre cuatro. Tenemos que sumar 49 sobre cuatro a ambos lados de la ecuación.

Nos damos cuenta de que, en vez de decir 49 sobre cuatro más uno, podemos decir 49 sobre cuatro más cuatro sobre cuatro. Cuatro sobre cuatro es uno, podemos continuar y sumar esos términos si les ponemos un denominador común. Copiamos el resto. 49 cuartos más cuatro cuartos es igual a 53 cuartos.

Ahora tenemos que factorizar 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más 49 sobre cuatro. Si no hemos reconocido el patrón inmediatamente, no pasa nada, pues al completar el cuadrado sabemos que la descomposición en factores de esta expresión será igual a 𝑥 más b sobre dos al cuadrado. Escribimos 𝑥 más (recordemos que la b era menos siete sobre dos) al cuadrado, pero aún no hemos resuelto la ecuación.

Resolver la ecuación quiere decir hallar a lo que equivale 𝑥. Ahora tenemos que despejar la 𝑥. Para deshacernos del cuadrado, tenemos que tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Ahora nos quedamos con la raíz cuadrada de 53 sobre la raíz cuadrada de cuatro igual a 𝑥 más menos siete sobre dos.

Siguiendo adelante, podemos tomar la raíz cuadrada de cuatro, que es dos. Tomaremos la raíz cuadrada de 53 y diremos que necesitamos la raíz cuadrada positiva de 53 y la raíz cuadrada negativa de 53.

Para despejar la 𝑥, tendremos que sumar siete medios a ambos lados de la ecuación. En el lado de la derecha, menos siete medios y más siete medios se cancelan. En el lado de la izquierda, tenemos siete medios más o menos la raíz cuadrada de 53 sobre dos. Ese más o menos nos dice que habrá dos soluciones aquí.

La primera solución será siete más la raíz cuadrada de 53 sobre dos y la segunda solución será siete menos la raíz cuadrada de 53 sobre dos. Estas son las dos soluciones de la ecuación menos 𝑥 al cuadrado más siete 𝑥 más uno igual a cero.

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