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Vídeo de la lección: Posición relativa de puntos, rectas y circunferencias con respecto a una circunferencia Matemáticas

En este vídeo vamos a aprender cómo determinar la posición relativa de puntos, rectas y circunferencias con respecto a una circunferencia.

17:40

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo determinar la posición relativa de puntos, rectas y circunferencias con respecto a un círculo o a una circunferencia. Nuestro objetivo es calcular longitudes de segmentos o amplitudes de ángulos usando lo que sabemos sobre circunferencias, y los teoremas de ángulos en circunferencias. Antes de comenzar, conviene repasar algunas de las propiedades principales de las circunferencias

Si nos fijamos en la circunferencia que se muestra en la figura, vemos que tiene cuatro segmentos trazados. El primer segmento es un radio. Un radio es un segmento que une el centro de una circunferencia con cualquier punto de la circunferencia. El segundo segmento es una cuerda. Es un segmento cuyos extremos están en la circunferencia. El tercer segmento es un diámetro de la circunferencia. Es un tipo especial de cuerda, pues pasa por el centro de la circunferencia. La longitud del diámetro siempre será el doble de la longitud del radio. Por último, tenemos el segmento o recta número cuatro, la tangente. Una tangente es un segmento o recta que interseca el círculo o circunferencia en un punto. Una tangente toca la circunferencia de un círculo. Veamos ahora algunas de las propiedades de los ángulos y los teoremas de ángulos en circunferencias.

Toda tangente a un círculo o circunferencia forma un ángulo recto con el radio. Esto significa que la tangente y el radio forman un ángulo de 90 grados. Dos tangentes cualesquiera trazadas desde el mismo punto tienen la misma longitud. En nuestro diagrama, el segmento 𝑥𝑦 es igual al segmento 𝑥𝑧. Dos radios cualesquiera de un círculo tienen la misma longitud. Así que también decimos radio para referirnos a la distancia desde el centro del círculo hasta la circunferencia del círculo. Si dibujamos una cuerda, como se muestra en este diagrama, podemos entonces hacer un triángulo. Como dos lados de este triángulo tienen la misma longitud, se trata de un triángulo isósceles. Esto significa que las medidas de los dos ángulos coloreados en rosa son iguales.

Recordemos que los ángulos de un triángulo cualquiera suman 180 grados. Esto significa que, si conocemos un ángulo en un triángulo isósceles, podemos calcular los otros dos. Recordemos, además, que dos ángulos que forman una recta suman 180 grados. Por último, en este vídeo vamos a hacer uso del teorema del ángulo entre cuerda y tangente. Este teorema dice que, en cualquier circunferencia, el ángulo formado por una cuerda y una tangente en uno de los extremos de la cuerda es igual al ángulo que está subtendido por la cuerda y que se halla inscrito en el otro lado de la cuerda. Esto se puede ver en este diagrama, en el que tenemos una tangente y un triángulo inscrito en una circunferencia, de modo que los vértices del triángulo se hallan en la circunferencia.

Los dos ángulos de color rosa que se muestran son iguales. Lo mismo ocurre con los dos ángulos coloreados en azul. El ángulo formado entre la cuerda y la tangente es igual al ángulo en el otro lado de la cuerda. Si nos fijamos en el tercer ángulo del triángulo, el que está coloreado en verde, podemos ver que la suma del ángulo azul más el ángulo rosa más el ángulo verde es igual a 180 grados, pues tanto los ángulos en un triángulo como los ángulos que forman una recta suman 180 grados. Pasemos ahora a ver una serie de cuestiones que resolveremos usando las propiedades que acabamos de ver.

Los radios de las dos circunferencias de centro común 𝑀 son tres centímetros y cuatro centímetros. ¿Cuál es la longitud del segmento 𝐴𝐵?

En el enunciado se nos dice que el radio del círculo más pequeño es tres centímetros. Por lo tanto, la longitud 𝐴𝑀 es tres centímetros. El radio es la distancia desde el centro de un círculo hasta su circunferencia. Esto significa que los segmentos 𝐵𝑀 y 𝐶𝑀 también miden tres centímetros. Se nos dice, además, que el círculo más grande tiene un radio de cuatro centímetros. Esto significa que el segmento 𝐷𝑀 es igual a cuatro centímetros. En este problema nos preguntan cuál es la longitud del segmento 𝐴𝐵.

Y esto es el diámetro del círculo, pues la recta 𝐴𝐵 pasa por el centro 𝑀. Como el diámetro es el doble de la longitud del radio, el segmento 𝐴𝐵 debe ser el doble del segmento 𝐴𝑀. Así que vamos a multiplicar tres centímetros por dos. Que es igual a seis centímetros. El segmento 𝐴𝐵 tiene una longitud de seis centímetros. Aunque 𝐴𝐵 no fuera el diámetro del círculo, es decir, no fuera una recta, podríamos calcular su longitud sumando la distancia 𝐴𝑀 a la distancia 𝑀𝐵. Como ambos son radios del círculo más pequeño, tenemos que sumar tres centímetros y tres centímetros. Esto, una vez más, nos da una respuesta de seis centímetros.

Para resolver la siguiente cuestión, vamos a aplicar las propiedades de las tangentes y de los triángulos isósceles.

Sabiendo que la amplitud del ángulo 𝑍𝑌𝐿 es 122 grados, calcula la amplitud del ángulo 𝑋.

En este diagrama, tenemos dos tangentes trazadas desde el punto 𝑋. La tangente superior toca la circunferencia en el punto 𝑍 y la tangente inferior toca la circunferencia en el punto 𝑌. Hay, además, una cuerda en el círculo trazada desde el punto 𝑍 hasta el punto 𝑌. Se nos dice que la medida del ángulo 𝑍𝑌𝐿 es 122 grados. Recordemos que dos tangentes trazadas desde el mismo punto tienen la misma longitud. Esto significa que el segmento 𝑋𝑍 es igual al segmento 𝑋𝑌. El triángulo 𝑋𝑌𝑍 es, por lo tanto, isósceles, ya que tiene dos lados de igual longitud. En cualquier triángulo isósceles, las medidas de dos ángulos son iguales. En este caso, el ángulo 𝑋𝑌𝑍 es igual al ángulo 𝑋𝑍𝑌.

Los ángulos en una recta suman 180 grados. Esto significa que podemos calcular la medida del ángulo 𝑋𝑌𝑍 restando 122 a 180. Esto equivale a 58 grados. Los ángulos 𝑋𝑌𝑍 y 𝑋𝑍𝑌 son ambos iguales a 58 grados. En este problema se nos pide hallar la medida del ángulo 𝑋, y sabemos que los ángulos en un triángulo suman también180 grados. Por lo tanto, el ángulo 𝑋 es igual a 180 menos el total de 58 más 58. 58 más 58 es 116, y si restamos esto a 180, obtenemos 64. Por lo tanto, la medida del ángulo 𝑋 es igual a 64 grados.

Para resolver el siguiente problema vamos a hacer uso del teorema del ángulo entre cuerda y tangente.

Sabiendo que 𝐵𝐶 es una tangente a la circunferencia de centro 𝑀, y que la medida del ángulo 𝐴𝑀𝐷 es 97 grados, calcula el ángulo 𝐶𝐵𝐷.

Sabemos que, en un círculo, una tangente y un radio o una tangente y un diámetro forman un ángulo de 90 grados. El enunciado del problema nos dice que la amplitud del ángulo 𝐴𝑀𝐷 es de 97 grados. Y se nos pide hallar la medida del ángulo 𝐶𝐵𝐷. El teorema del ángulo entre cuerda y tangente dice que, en cualquier círculo, el ángulo formado por una cuerda y una tangente que pasa por uno de los extremos de la cuerda es igual al ángulo inscrito al otro lado de la cuerda. En esta cuestión, la medida del ángulo 𝐶𝐵𝐷 es igual a la medida del ángulo 𝐵𝐴𝐷.

Veamos ahora cómo podemos calcular el ángulo 𝐵𝐴𝐷 usando la información que tenemos en el diagrama. El triángulo 𝑀𝐴𝐷 es isósceles, pues el segmento 𝑀𝐴 es igual al segmento 𝑀𝐷. Ambos son radios del círculo. Esto significa que dos ángulos del triángulo, el ángulo 𝑀𝐴𝐷 y el ángulo 𝑀𝐷𝐴, también son iguales. Y se pueden calcular restando 97 de 180 y luego dividiendo por dos. 180 menos 97 es igual a 83. Al dividir esto por dos obtenemos 41.5. Por lo tanto, los ángulos 𝑀𝐴𝐷 y 𝑀𝐷𝐴 son ambos iguales a 41.5 grados. Como el ángulo 𝑀𝐴𝐷 es el mismo que el ángulo 𝐵𝐴𝐷, podemos ver, aplicando el teorema del ángulo entre cuerda y tangente, que la medida del ángulo 𝐶𝐵𝐷 también es de 41.5 grados.

En las dos cuestiones siguientes tendremos que usar álgebra para calcular los valores que faltan.

Sabiendo que 𝐴𝐷 es una tangente a la circunferencia que se muestra, y que la medida del ángulo 𝐷𝐴𝐶 es 90 grados, calcula la medida del ángulo 𝐴𝐶𝐵.

El enunciado nos dice que 𝐴𝐷 es una tangente y que la medida del ángulo 𝐷𝐴𝐶 es 90 grados. Sabemos que la tangente a cualquier circunferencia es perpendicular al radio o al diámetro. Esto significa que, en esta cuestión, 𝐴𝐶 es un diámetro del círculo. Podemos usar dos propiedades de los ángulos o teoremas de ángulos en circunferencias para resolver este problema. En primer lugar, podemos usar el hecho de que un ángulo inscrito en un semicírculo vale 90 grados. Esto significa que la medida del ángulo 𝐴𝐵𝐶 es 90 grados. También podríamos haber calculado este ángulo usando el teorema del ángulo entre cuerda y tangente, según el cual la medida del ángulo 𝐷𝐴𝐶 es igual a la medida del ángulo 𝐴𝐵𝐶. De cualquier manera, sabemos que 𝐴𝐵𝐶 es igual a 90 grados.

Ahora tenemos que resolver la ecuación nueve 𝑥 igual a 90. Dividimos ambos lados de la ecuación por nueve, y obtenemos que 𝑥 es igual a 10. Nuestro valor de 𝑥 es 10 grados. Y vemos, en el diagrama, que la medida del ángulo 𝐴𝐶𝐵 es cinco 𝑥. Como 𝑥 es igual a 10 grados, tenemos que multiplicar esto por cinco. Cinco multiplicado por 10 es 50. Por lo tanto, el ángulo 𝐴𝐶𝐵 es igual a 50 grados.

Para resolver la última cuestión vamos a hacer uso de un nuevo teorema denominado teorema de las longitudes de la tangente y las secantes

En la figura, dos circunferencias con centros 𝑀 y 𝑁 se tocan externamente en 𝐴, que es un punto en la tangente común 𝐿, donde el segmento 𝐴𝐵 es una tangente común. Nos dicen que 𝐴𝐵 es igual a 𝑀𝑁, que es igual a 45.5 centímetros y que 𝐵𝐶 es igual a 30.5 centímetros. Halla, con una cifra decimal, el valor de 𝐴𝑁.

El enunciado del problema nos dice que las longitudes de 𝐴𝐵 y 𝑀𝑁 son ambas iguales a 45.5 centímetros. 𝑀𝑁 es la suma de los radios de las dos circunferencias. Es 𝑟 uno más 𝑟 dos, donde 𝑟 uno es la longitud de 𝐴𝑁 y 𝑟 dos es la longitud de 𝐴𝑀. Es el valor de 𝐴𝑁 o 𝑟 uno el que se nos pide hallar en esta cuestión. También se nos dice que la longitud de 𝐵𝐶 es 30.5 centímetros. Si consideramos el triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐷, podríamos usar el teorema de Pitágoras para calcular una longitud faltante. Según este teorema, 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a 𝑐 al cuadrado, siendo 𝑐 la longitud del lado más largo o hipotenusa.

En esta cuestión, 𝐵𝐴 al cuadrado más 𝐴𝐷 al cuadrado es igual a 𝐵𝐷 al cuadrado. Sabemos que la longitud de 𝐵𝐴 o 𝐴𝐵 es 45.5 centímetros. Pero aún no conocemos la longitud de los otros dos lados. Pero vamos a poder calcular la longitud de 𝐵𝐷 usando el teorema de las longitudes de la tangente y las secantes. Según este teorema, el producto de las longitudes del segmento secante y su segmento externo es igual al cuadrado de la longitud del segmento tangente. El segmento externo es de longitud 𝐵𝐶, el segmento secante es 𝐵𝐷 y el segmento tangente es 𝐵𝐴. Por lo tanto, 𝐵𝐶 multiplicado por 𝐵𝐷 es igual a 𝐵𝐴 al cuadrado. Sustituyendo los valores que se nos han dado, obtenemos 30.5 multiplicado por 𝐵𝐷 igual a 45.5 al cuadrado. Dividimos ambos lados de esta ecuación por 30.5, y obtenemos un valor de 𝐵𝐷 igual a 67.877 periódico. Ahora podemos sustituir este valor en el teorema de Pitágoras. 45.5 al cuadrado más 𝐴𝐷 al cuadrado es igual a 67.877 al cuadrado.

Hagamos algo de espacio para poder continuar nuestros cálculos. Restamos 45.5 al cuadrado de ambos lados de la ecuación, y obtenemos que 𝐴𝐷 al cuadrado es igual a 67.877 al cuadrado menos 45.5 al cuadrado. Al escribir el lado derecho en nuestra calculadora obtenemos 2537.043 periódico. Seguidamente hacemos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, y obtenemos 𝐴𝐷 igual a 50.369 periódico. 𝐴𝐷 es el diámetro de la circunferencia más grande. Por lo tanto, podemos calcular el radio 𝐴𝑀 dividiendo este valor por dos. Obtenemos 25.184 periódico. Si redondeamos este valor a la décima más cercana obtenemos 25.2 centímetros. El radio 𝐴𝑀 es 25.2 centímetros.

Ahora usamos el hecho de que 𝑀𝑁 es igual a 45.5 centímetros para calcular la longitud de 𝐴𝑁. 𝐴𝑁 es igual a 𝑀𝑁 menos 𝐴𝑀. Tenemos que restar 25.2 a 45.5. Al hacerlo obtenemos 20.3 centímetros. La longitud de 𝐴𝑁 a la décima más cercana es 20.3 centímetros.

Resumamos los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Hemos visto que podemos usar el radio y el diámetro, así como las cuerdas y las tangentes, para resolver problemas de longitudes y ángulos desconocidos en una circunferencia. Como vimos en nuestra última cuestión, el teorema de Pitágoras y el teorema de las longitudes de tangente y secantes se pueden usar para calcular longitudes desconocidas. Vimos, además, que las propiedades de los ángulos y los teoremas de los ángulos en circunferencias pueden utilizarse también para calcular ángulos. Estos teoremas incluyen el hecho de que los ángulos en un triángulo suman 180 grados, dos ángulos en un triángulo isósceles son iguales, una tangente forma un ángulo de 90 grados con el radio, el ángulo en un semicírculo es 90 grados y el teorema del ángulo entre cuerda y tangente, que dice que el ángulo formado por una cuerda y una tangente que pasa por uno de los extremos de la cuerda es igual al ángulo inscrito en el otro lado de la cuerda. Hay bastantes más teoremas de ángulos en circunferencias que no hemos visto en este vídeo.

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