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En este video, vamos a aprender cómo usar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Lo que queremos hacer es usar determinantes para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales, usar determinantes para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales y comprender y usar la regla de Cramer.
La regla de Cramer es una forma de resolver ecuaciones simultáneas. Y una de sus ventajas es que nos permite hallar directamente el valor de una cualquiera de las variables. ¿Cómo surgió? La regla de Cramer lleva el nombre de Gabriel Cramer. Que era un matemático ginebrino. Y lo que ideó fue una forma de resolver ecuaciones simultáneas usando matrices y, concretamente, determinantes de estas matrices. Antes de ver algunos ejemplos de cómo usar la regla de Cramer, vamos a ver un poco la regla en sí, cómo funciona y qué representa.
También vale la pena señalar en este punto que se usa diferente notación. En esta página puedes ver que tenemos la regla de Cramer en esta burbuja, con la notación que usa Δ para nuestra matriz, y dice determinante de la matriz Δ sub 𝑥, pero también puedes ver esto escrito como D sub 𝑥. Esto significa determinante de la matriz.
Si miramos la regla, lo que la regla de Cramer nos dice es que si tenemos un sistema de ecuaciones lineales simultáneas —en este caso tenemos tres variables, 𝑥, 𝑦 y 𝑧, pero vamos a ver casos de dos y tres variables en esta lección— expresado en forma matricial, entonces 𝑥 es igual al determinante de la matriz Δ sub 𝑥 dividido por el determinante de la matriz Δ. 𝑦 es igual al determinante de la matriz Δ sub 𝑦 dividido por el determinante de la matriz Δ. Y 𝑧 es igual al determinante de la matriz Δ sub 𝑧 dividido por el determinante de la matriz Δ. Todo esto tiene una pinta excelente. Pero ¿qué significa? Bueno, vamos a verlo ahora mismo.
Imaginemos que tenemos un sistema de dos ecuaciones y las variables son 𝑥 y 𝑦. Supongamos que tenemos tres 𝑥 más dos 𝑦 igual a 23 y dos 𝑥 menos cuatro 𝑦 igual a menos 22. Bien, entonces, lo que podemos hacer es representar esto como una ecuación matricial. Así que tenemos la matriz tres, dos, dos y menos cuatro. Y esta es la matriz de nuestros coeficientes, con nuestros coeficientes de 𝑥 como la primera columna y nuestros coeficientes de 𝑦 como la segunda columna. Están multiplicadas por la matriz columna 𝑥, 𝑦, que son nuestras variables. Y esto es igual a una matriz de términos independientes 23, menos 22. Obtenemos esta matriz de términos independientes porque estos son nuestros valores constantes o nuestras respuestas a nuestras ecuaciones. Muy bien. Ahora estamos en esta etapa, todavía no estamos en nuestra regla. ¿Qué necesitamos?
Lo que podemos imaginar es que la matriz es la matriz Δ. Así que aquí tenemos una matriz de coeficientes. Por lo tanto, sabemos que, para el denominador, si queremos hallar nuestra variable 𝑥, tenemos el determinante de la matriz tres, dos, dos, menos cuatro. Bien, esto tiene sentido. Pero ¿cuál será nuestro numerador? ¿Qué es esta matriz Δ sub 𝑥? La matriz Δ sub 𝑥 es la matriz que obtenemos si sustituimos la columna que de los coeficientes de 𝑥 por la columna de la matriz de los términos independientes, y esta será la matriz 23, dos, menos 22, menos cuatro porque podemos ver que los coeficientes 𝑦 permanecerán iguales. Por lo tanto, podemos decir que 𝑥 es igual al determinante de la matriz 23, dos, menos 22, menos cuatro partido por el determinante de la matriz tres, dos, dos, menos cuatro.
Y, por supuesto, podemos aplicar también la regla de Cramer para hallar la solución para 𝑦. Y haremos esto en algunos de los ejemplos que vamos a ver. De momento solo queremos mostrar cómo funciona todo. Antes de pasar directamente a algunos ejemplos, obviamente aquí estamos hablando mucho de determinantes. Lo que queremos hacer es analizar rápidamente cómo hallar el determinante de matrices dos por dos y matrices tres por tres. Esto es algo con lo que ya debes estar familiarizado, así que será una revisión muy rápida.
Para comenzar, si pensamos en una matriz de dos por dos, si tenemos la matriz dos por dos 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, el determinante de esto es igual a 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐. Así que lo que hacemos es multiplicar y restar de forma cruzada. Y luego, para una matriz de tres por tres, si queremos hallar el determinante, por ejemplo, de la matriz 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, esto es igual a 𝑎 multiplicado por el determinante de la submatriz 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 menos 𝑏 multiplicado por el determinante de la submatriz 𝑑, 𝑓, 𝑔, 𝑖 más 𝑐 multiplicado por el determinante de la submatriz 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ.
Así que un punto clave importante, recuerda, es que tenemos positivo, negativo, positivo cuando miramos los coeficientes antes de multiplicar los determinantes de nuestras submatrices. Y también vamos a recordar rápidamente cómo hallamos la submatriz de dos por dos. Si tomamos el elemento 𝑎, eliminamos la columna y la fila en la que está. Entonces lo que nos queda es la submatriz dos por dos 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖. Así que ya hemos repasado esto y también hemos visto cómo usar la regla de Cramer. Pasemos ahora a algunos ejemplos. Y en nuestro primer ejemplo, vamos a ver una de las condiciones de la regla de Cramer.
¿Es la regla de Cramer útil para hallar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales en los que hay infinitas soluciones?
Podríamos responder esta pregunta muy rápidamente porque podríamos decir que no, porque la regla de Cramer no es útil cuando hay un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones. Y eso es porque si estamos haciendo una ecuación matricial, entonces no es viable cuando la matriz es singular. Y una matriz es singular cuando hay un conjunto infinito de soluciones. Pero esa es una respuesta un poco corta. Echemos un vistazo a por qué es este el caso. Como ya hemos dicho, si un sistema de ecuaciones tiene una matriz singular, entonces hay infinitas soluciones. Pero ¿cómo lo sabemos, o cuáles son las propiedades de una matriz singular?
Bien, lo que sabemos sobre una matriz singular es que tiene un determinante igual a cero. Así que, si miramos la regla de Cramer y queremos definir una de las tres variables 𝑥, 𝑦 o 𝑧, lo que podemos ver es que en la regla tenemos el determinante de la matriz como denominador. Y, si fuera una matriz singular, el determinante sería cero. Y si tenemos algo dividido por cero, eso significa que nuestras soluciones no están definidas. Por eso podemos decir que no, la regla de Cramer no es útil para hallar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales en los que hay un conjunto infinito de soluciones.
Muy bien. Hemos visto las condiciones a las que se puede aplicar la regla de Cramer. Veamos ahora algunos ejemplos de cómo usamos la regla de Cramer.
Usa determinantes para resolver el sistema menos ocho 𝑥 menos cuatro 𝑦 igual a menos ocho y nueve 𝑥 menos seis 𝑦 igual a menos nueve.
Así que lo primero que queremos hacer con este problema es formular una ecuación matricial de nuestro sistema de ecuaciones. Y cuando hacemos esto, lo que vamos a tener es la matriz menos ocho, menos cuatro, nueve, menos seis multiplicada por la matriz 𝑥, 𝑦 es igual a la matriz de términos independientes y esta es menos ocho, menos nueve. Así que ahora lo que vamos a hacer, porque queremos usar determinantes para resolver el sistema, es usar la regla de Cramer. Y la regla de Cramer nos dice que 𝑥 es igual al determinante de la matriz Δ sub 𝑥 sobre el determinante de la matriz Δ. Y luego, para hallar 𝑦, es igual al determinante de la matriz Δ sub 𝑦 sobre el determinante de la matriz Δ.
Pero podemos mirar esto y pensar, «¿cuál es la matriz Δ sub 𝑥?»; Bueno, de hecho, esta es la matriz que se obtiene cuando sustituimos la columna de coeficientes de 𝑥 por la columna de la matriz de términos independientes en nuestra matriz original. Por ejemplo, en nuestro problema, intercambiamos la primera columna de nuestra matriz por la matriz de términos independientes. Y, en lugar de tener menos ocho y luego nueve, tenemos menos ocho y luego menos nueve. Sigamos adelante y encontremos nuestros determinantes. Primero que nada, queremos hallar el determinante de la matriz menos ocho, menos cuatro, nueve, menos seis. Así que cuando hacemos esto, obtenemos menos ocho multiplicado por menos seis menos menos cuatro multiplicado por nueve, lo que nos da 48 más 36. Que es igual a 84.
Y lo bueno de esto es que también nos ayuda a comprobar que podemos resolver nuestro sistema de ecuaciones porque si nuestra matriz fuera singular, el determinante sería igual a cero. Así que podemos ver que no es el caso en este problema. A continuación, vamos a hallar el determinante de la matriz Δ sub 𝑥. Hemos dicho que Δ sub 𝑥 es la matriz que obtenemos cuando sustituimos nuestros coeficientes de 𝑥 por menos ocho y menos nueve, o sea, por nuestra matriz de términos independientes. Así que vamos a obtener la matriz menos ocho, menos cuatro, menos nueve, menos seis. Para este determinante, lo que obtenemos es menos ocho multiplicado por menos seis menos menos cuatro multiplicado por menos nueve, que es igual a 12. Muy bien. Tenemos otro determinante más por hallar.
Lo que queremos hallar ahora es el determinante de la matriz Δ sub 𝑦. Que es igual al determinante de la matriz menos ocho, menos ocho, nueve, menos nueve. Y como antes, hemos obtenido esto sustituyendo nuestra matriz de coeficientes de 𝑦 por la matriz de los términos independientes. Así que esto será igual a menos ocho multiplicado por menos nueve menos menos ocho multiplicado por nueve, que es igual a 144. Muy bien. Ya tenemos todo lo que necesitamos para usar la regla de Cramer para resolver nuestro sistema de ecuaciones. Usando la regla de Cramer, lo que obtenemos es 𝑥 igual a 12 sobre 84. Pero lo que podemos hacer es dividir el numerador y el denominador por 12. Y cuando hacemos eso, obtenemos que 𝑥 es igual a uno sobre siete.
Muy bien. Hemos encontrado la solución para 𝑥. Pasemos ahora a 𝑦. Una vez más, usando la regla de Cramer, obtenemos 𝑦 es igual al determinante de la matriz Δ sub 𝑦 sobre el determinante de la matriz Δ, por lo que esto nos da 144 sobre 84. Nuevamente, lo que podemos hacer es simplificar nuestra fracción. Podemos hacer esto dividiendo el numerador y el denominador por 12. Y al hacer esto, obtenemos que 𝑦 es igual a 12 sobre siete o doce séptimos. Por lo tanto, podemos decir que las soluciones a nuestra ecuación son 𝑥 igual a un séptimo y 𝑦 igual a doce séptimos.
Muy bien. Hemos visto un ejemplo de cómo resolver un sistema de dos ecuaciones. Así que ahora, lo que vamos a hacer es ver un sistema de tres ecuaciones con tres variables 𝑥, 𝑦 y 𝑧.
Usa determinantes para resolver el sistema cinco 𝑥 igual a menos dos 𝑦 menos cinco más tres 𝑧, menos tres 𝑥 menos 𝑦 más uno igual a dos 𝑧, y dos 𝑦 menos 𝑧 igual a menos cinco 𝑥 más tres.
En un problema como este, lo primero que debemos hacer es reorganizar nuestras ecuaciones para que tengamos nuestras variables en el lado izquierdo. Y luego tenemos nuestros términos independientes en el lado derecho, que son valores numéricos o constantes. Así que nuestra primera ecuación reorganizada es cinco 𝑥 más dos 𝑦 menos tres 𝑧 igual a menos cinco. Luego, para la segunda ecuación, tenemos menos tres 𝑥 menos 𝑦 menos dos 𝑧 igual a menos uno. Y finalmente, cinco 𝑥 más dos 𝑦 menos 𝑧 igual a tres.
Muy bien. Lo tenemos así, pero ¿por qué lo queremos en esta forma? Lo queremos en esta forma para poder formular una ecuación matricial. Y cuando hacemos esto, lo que obtenemos es la matriz cinco, dos, menos tres, menos tres, menos uno, menos dos, cinco, dos, menos uno multiplicada por la matriz de nuestras variables, que es 𝑥, 𝑦, 𝑧. Esto es igual a nuestra matriz de términos independientes, o sea, menos cinco, menos uno, tres. Muy bien. Pero ¿cómo nos ayuda esto a alcanzar nuestro objetivo, que es resolver el sistema de ecuaciones usando determinantes? Bien, lo que vamos a hacer es usar la regla de Cramer. Y lo que la regla de Cramer nos dice es que podemos hallar el valor de las variables o soluciones de nuestro sistema de ecuaciones usando, por ejemplo, 𝑥 igual a determinante de la matriz Δ sub 𝑥 sobre el determinante de la matriz Δ. Y luego hay reglas similares para 𝑦 y 𝑧.
Bien, para usar esto, lo que tenemos que hacer es resolver nuestros determinantes. El primer determinante que vamos a resolver es el determinante de Δ, que es nuestra matriz de coeficientes. Así que lo que vamos a hacer es hallar el determinante de la matriz cinco, dos, menos tres, menos tres, menos uno, menos dos, cinco, dos, menos uno. Y esto es igual a cinco multiplicado por el determinante de la submatriz menos uno, menos dos, dos, menos uno menos dos multiplicado por la submatriz menos tres, menos dos, cinco, menos uno menos tres multiplicado por la submatriz menos tres, menos uno, cinco, dos, recordando que cuando hallamos los determinantes, los coeficientes llevan signo positivo, negativo, positivo... Y para hallar nuestras submatrices, eliminamos la columna y la fila en la que está nuestro coeficiente.
De acuerdo. Lo que tenemos que hacer ahora es calcular todo esto. Y luego, recordando que para calcular los determinantes de las matrices dos por dos, lo que hacemos es multiplicar en forma cruzada y luego restar, obtenemos cinco multiplicado por uno más cuatro menos dos multiplicado por tres más 10 menos tres multiplicado por menos seis más cinco que es igual a dos. Y esto es muy útil porque también nos dice que la matriz no es singular. Por lo tanto, sabemos que no habrá un número infinito de soluciones. Ya que, si lo hubiera, el determinante sería igual a cero. Así que ahora, lo que vamos a hacer es borrar para hacer sitio y resolver los otros determinantes que necesitamos hallar.
A continuación, lo que queremos hacer es hallar el determinante de Δ sub 𝑥. Y la forma en que lo hacemos es sustituyendo la columna de coeficientes de 𝑥, o sea, la primera columna en nuestra matriz, por la matriz de términos independientes. A continuación, lo que vamos a querer es hallar el determinante de esta matriz. Y para hacer eso, lo que vamos a hacer es usar los mismos métodos que usamos para el determinante anterior, lo que nos da un valor del determinante de menos 42. Y puedes ver el funcionamiento allí. Muy bien. Una vez más, vamos a hacer un poco de sitio y vamos a ver nuestro siguiente determinante.
Lo que vamos a hallar ahora es el determinante de la matriz Δ sub 𝑦. Y para eso tenemos que sustituir en la matriz la columna de coeficientes de 𝑦 por la columna de los términos independientes. Nuevamente, usando el mismo método para hallar el determinante, obtenemos un determinante de 112. El cálculo se muestra aquí. Hagamos un poco de espacio para el último determinante. El último, es el determinante de la matriz Δ sub 𝑧. Usamos el mismo método para hallar el determinante de nuestra matriz de tres por tres. Y lo que nos da es un valor de ocho.
Ahora tenemos todos los determinantes que necesitamos para usar la regla de Cramer para hallar nuestras variables 𝑥, 𝑦 y 𝑧. Primero que nada, vamos a comenzar con 𝑥, que es igual a menos 42 sobre dos. Y obtenemos esto porque es el determinante de Δ sub 𝑥 partido por el determinante de Δ. Esto nos da un valor de 𝑥 igual a menos 21. Y luego, para 𝑦, tenemos 112 partido por dos, lo que nos da un valor de 𝑦 de 56. Y finalmente, obtenemos 𝑧 igual a ocho partido por dos, y esto nos da 𝑧 igual a cuatro. Por lo tanto, podemos decir que las soluciones de nuestros sistemas de ecuaciones son 𝑥 igual a menos 21, 𝑦 igual a 56 y 𝑧 igual a cuatro.
Bien, hemos visto tres ejemplos diferentes, de forma que cada uno nos ayudó a identificar una de las propiedades de la regla de Cramer. Luego vimos cómo resolver un sistema de ecuaciones con dos ecuaciones. Y acabamos de ver cómo resolver un sistema de tres ecuaciones. Para concluir, repasemos los puntos principales de la lección.
Y el primer punto clave es que, si tenemos un sistema de ecuaciones, lo que queremos hacer primero es tener los términos independientes aislados en el lado derecho. Y esto es para que podamos escribirlo como una ecuación matricial con la matriz de términos independientes en el lado derecho del signo igual. También vimos que para poder usar la regla de Cramer, la matriz no debe ser singular. O sea, la matriz de coeficientes. Esto significa que el determinante no es igual a cero.
Y luego tenemos la regla de Cramer y esta nos dice cómo hallar nuestras incógnitas usando determinantes. Por ejemplo, si queremos hallar 𝑥, esto es igual al determinante de Δ sub 𝑥 sobre el determinante de Δ, recordando también que podemos ver una notación diferente aquí porque en lugar del determinante de Δ sub 𝑥, podemos simplemente ver D sub 𝑥. Y de manera similar, tenemos D sub 𝑦 y D. Finalmente, lo que obtenemos es el determinante de Δ sub 𝑥. Y lo hallamos sustituyendo la columna de los coeficientes de 𝑥 por la columna de los términos independientes, por lo que tenemos el determinante de menos ocho, menos ocho, siete y seis, en nuestro ejemplo.
