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Vídeo de la lección: Representación algebraica de sucesiones Matemáticas

En este vídeo vamos a aprender cómo representar una sucesión como una función de una variable entera positiva llamada índice (𝑛).

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo representar una sucesión como una función de una variable entera positiva llamada índice. Para ello, vamos a considerar una serie de cuestiones sobre progresiones aritméticas y progresiones geométricas, en las que se nos pide hallar el término 𝑛-ésimo de la progresión o escribir una progresión conocido el término 𝑛-ésimo. No obstante, antes de comenzar con las cuestiones, vamos a ver cuál es la terminología que usamos en las sucesiones y cuáles son los tipos de sucesiones que hay.

Una progresión es una lista ordenada de términos. Normalmente, los términos se denotan por 𝑎 sub 𝑖 o 𝑎 sub 𝑛, donde 𝑖 o 𝑛 son el índice. En este vídeo vamos a usar 𝑛 como el índice. De este modo, 𝑎 sub tres sería el tercer término. A veces el índice 𝑛 de las progresiones comienza con 𝑛 igual a uno, y a veces comienza con 𝑛 igual a cero. En este caso, la progresión comenzará con lo que denominamos el término cero. A continuación, tendremos el primer término y el segundo término, y así sucesivamente. Normalmente, en las cuestiones en las que esto ocurre se nos dan pistas tales como mencionar el término 𝑛-ésimo, y decir que 𝑛 es mayor o igual que cero. En este caso, sabemos que el índice debe comenzar con 𝑛 igual a cero. Los términos de una sucesión pueden venir dados como una lista o estar definidos mediante una regla que suele estar relacionada con el índice.

Recordemos cómo hallar el término 𝑛-ésimo de una progresión aritmética y de una progresión geométrica. Una progresión aritmética es una sucesión en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. Esta diferencia constante se llama diferencia. Un ejemplo de progresión aritmética sería la sucesión cinco, 10, 15, 20, etcétera, en la que podemos ver que la diferencia entre dos términos consecutivos es más cinco.

Para hallar el término 𝑛-ésimo o 𝑎 sub 𝑛 de una progresión aritmética, hacemos 𝑎, el primer término, más 𝑛 menos uno por d, donde d es la diferencia. Una progresión geométrica es una sucesión en la que el cociente entre dos términos consecutivos es constante. Y este cociente constante se denomina razón. Un ejemplo de progresión geométrica es la sucesión dos, cuatro, ocho, 16, etcétera. Podemos hallar la razón de una progresión geométrica tomando cualquier término y dividiéndolo por el término anterior. Por ejemplo, si dividimos el cuarto término, 16, por el tercer término, ocho, obtendremos que la razón vale dos. También obtendremos este valor de dos para la razón si dividimos ocho por cuatro.

Para hallar el término 𝑛-ésimo de una progresión geométrica 𝑎 sub 𝑛, hacemos 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno, donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón. Ahora que ya hemos visto las cuestiones básicas sobre sucesiones, echemos un vistazo a la primera cuestión, en la que se nos pide determinar qué tipo de sucesión tenemos y hallar su término 𝑛-ésimo.

En una secuencia, si la diferencia entre dos términos consecutivos es un número fijo 𝑑, entonces se trata de una progresión aritmética. Considera la secuencia uno, cuatro, siete, 10, etcétera, y responde a las siguientes preguntas. ¿Es una progresión aritmética? ¿Cuánto vale 𝑑? ¿Cuál es el término general de esta progresión con 𝑛 mayor o igual a cero?

En esta cuestión se nos da un pequeño recordatorio sobre la definición de progresión aritmética. Es una sucesión que tiene una diferencia constante entre dos términos sucesivos. El término «sucesivo» es un sinónimo del término «consecutivo». Se refiere a dos términos donde uno se encuentra inmediatamente después del otro. Se nos pide que consideremos la secuencia uno, cuatro, siete, 10, etcétera. En la primera pregunta se nos pide determinar si se trata de una progresión aritmética. Como ya sabemos, para que sea una progresión aritmética debe tener una diferencia constante entre dos términos consecutivos.

Por lo tanto, para hallar la diferencia entre el primer término y el segundo, calcularemos cuatro menos uno, que es tres. Para hallar la siguiente diferencia, que es entre el tercer término y el segundo término, calculamos siete menos cuatro, que también es tres. Del mismo modo, la diferencia entre 10 y siete también es tres. Como tenemos una diferencia constante, entonces se trata de una progresión aritmética. Así que respondemos afirmativamente a la primera pregunta del problema. La segunda pregunta es ¿cuánto vale 𝑑? En el enunciado se nos dijo que 𝑑 es la diferencia. Que es muy fácil de calcular: es tres. Así que ya hemos respondido a la segunda parte de la cuestión.

En la parte final de esta cuestión, se nos pide que hallemos el término general de esta sucesión con 𝑛 mayor o igual que cero. Recuerda que el término general también se denomina término 𝑛-ésimo. El hecho de que 𝑛 sea mayor o igual que cero significa que el índice de esta secuencia debe comenzar con 𝑛 igual a cero. Así que esta progresión comienza con un término cero. A continuación, tendremos el primer término, luego el segundo término y el tercer término y así sucesivamente. Recuerda que hay una fórmula general que nos ayuda a hallar el término 𝑛-ésimo de una progresión aritmética. El término 𝑛-ésimo 𝑎 sub 𝑛 es igual a 𝑎 más 𝑛 menos uno multiplicado por 𝑑, donde 𝑎 es el primer término y 𝑑 es la diferencia.

Si nos fijamos en la sucesión uno, cuatro, siete, 10, etcétera, vemos que primer término es lo mismo que 𝑎 sub uno. Así que el valor de 𝑎, que sustituimos, será cuatro. Y como el valor de 𝑑, que ya calculamos antes, es tres, sumamos 𝑛 menos uno multiplicado por tres. Cuando multiplicamos por tres la expresión entre paréntesis, obtenemos tres multiplicado por 𝑛, que es tres 𝑛, y tres multiplicado por menos uno, que es menos tres. Seguidamente simplificamos, y obtenemos cuatro menos tres, que es uno, más tres 𝑛, o sea, tres 𝑛 más uno. Así que ya tenemos la respuesta a la tercera pregunta del problema: el término general o término 𝑛-ésimo de esta sucesión es tres 𝑛 más uno.

Pero es importante tener en cuenta que esto se debe a que el índice 𝑛 es mayor o igual a cero. Si el índice hubiera comenzado con uno, es decir, 𝑛 mayor o igual que uno, entonces habríamos hallado que el 𝑛-ésimo término es tres 𝑛 menos dos. Así que es muy importante leer bien el enunciado para ver si hay alguna indicación de que el índice comienza con cero. No obstante, en este caso tenemos que el término general es tres 𝑛 más uno.

Veamos ahora otra cuestión.

En una progresión geométrica, el cociente entre dos términos sucesivos es una constante 𝑟, llamada razón Considera la sucesión un medio, un cuarto, un octavo, un dieciseisavo, etcétera. ¿Es una progresión geométrica? Considera la sucesión un medio, un cuarto, un octavo, un dieciseisavo, etcétera. ¿Cuánto vale 𝑟? Considera la sucesión un medio, un cuarto, un octavo, un dieciseisavo, etcétera. ¿Cuál es el término general de esta progresión?

En esta cuestión se nos da un recordatorio de lo que es una progresión geométrica. Es una progresión que tiene una razón fija o constante entre dos términos sucesivos. En cada una de las tres partes de esta cuestión, estamos considerando la misma progresión. En la primera parte de este problema se nos pide determinar si esta secuencia es una progresión es geométrica. Vamos a escribir la progresión. Si es geométrica, entonces habrá un cociente constante 𝑟 entre dos términos consecutivos o sucesivos. Veamos, pues, si podemos hallar una razón entre los dos primeros términos, un medio y un cuarto. Para hallar la razón, tomamos el segundo término, un cuarto, y lo dividimos por un medio.

Para dividir fracciones, escribimos la primera fracción y la multiplicamos por el recíproco de la segunda fracción. Podemos sacar un factor común dos del numerador y del denominador. Multiplicamos los numeradores y obtenemos uno, multiplicamos los denominadores y obtenemos dos. Eso significa que la razón entre el primer término y el segundo es un medio. A continuación, vamos a hallar la razón entre el segundo y el tercer término, un cuarto y un octavo, respectivamente, y para ello dividimos un octavo por un cuarto. Multiplicamos por el recíproco de la fracción, un cuarto, así que multiplicamos un octavo por cuatro partido entre uno. Y, como ves, hemos obtenido, de nuevo, un cociente de un medio.

Parece que tenemos un cociente constante, pero conviene comprobar todos los términos para asegurarnos de que hay un cociente constante en todos ellos. Y cuando calculamos un dieciseisavo dividido por un octavo, también obtenemos un medio. Así que podemos decir que esta progresión tiene una razón fija o constante, por lo que debe ser geométrica. Por lo tanto, respondemos afirmativamente a la primera pregunta del problema. En la segunda pregunta del problema se nos pide hallar el valor de 𝑟 para la misma progresión. Recuerda que 𝑟 es la razón fija. Acabamos de calcular que es un medio, por lo que ya hemos respondido también a la segunda pregunta.

En la última parte del problema se nos pide hallar el término general de esta sucesión. Recordemos que el término general también se conoce como término 𝑛-ésimo. Si escribimos el primer término como 𝑎 sub uno igual a un medio, entonces el segundo término será 𝑎 sub dos, y será un cuarto. Los términos tercero y cuarto pueden escribirse como 𝑎 sub tres y 𝑎 sub cuatro, respectivamente. Por lo tanto, cuando hallamos el término general, en realidad estamos buscando la regla que nos permite hallar el término 𝑛-ésimo o 𝑎 sub 𝑛.

Recordemos que hay una fórmula general que nos permite calcular el 𝑛 -ésimo término de cualquier progresión geométrica. 𝑎 sub 𝑛 es igual a 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno, donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón. Los valores que tenemos que sustituir en la fórmula son 𝑎 igual a un medio, ya que ese es el primer término, y 𝑟, que hemos hallado que es un medio también. Por lo tanto, el término 𝑛-ésimo de esta sucesión puede expresarse como un medio multiplicado por un medio elevado a 𝑛 menos uno. Cuando damos nuestra respuesta, es importante que indiquemos los valores de 𝑛. Cuando hallamos el 𝑛-ésimo término o término general, empezamos con 𝑛 igual a uno. Así que la respuesta a la tercera pregunta es que el término general de la progresión es un medio multiplicado por un medio elevado a 𝑛 menos uno para valores de 𝑛 mayores o iguales que uno.

Podemos simplificar aún más este término general usando una de las propiedades de las potencias. Si consideramos que el primer valor de un medio es equivalente a un medio elevado a uno, y sumamos los exponentes uno y 𝑛 menos uno, obtendremos un exponente 𝑛. Si a continuación sustituimos los valores de 𝑛 igual a uno, dos, tres o cuatro en cualquiera de estas fórmulas, obtendremos los primeros cuatro términos que se nos dieron de la sucesión, y así verificamos que tenemos la respuesta correcta para el término general.

Veamos ahora una cuestión en la que se nos pide hallar los tres primeros términos de una sucesión conocido el término general.

Halla los tres primeros términos de la secuencia cuyo término general 𝑎 sub 𝑛 es igual a 𝑛 partido por 𝑛 más uno.

En este problema se nos dice que el término general o término 𝑛-ésimo de la progresión es 𝑛 partido por 𝑛 más uno. Este valor de 𝑛 es un índice de la secuencia. Por lo tanto, cuando queremos calcular el primer término, debemos calcular el valor de 𝑎 sub uno, lo que significa que hemos de sustituir 𝑛 por uno en la fórmula del término general. Por lo tanto, tendremos que 𝑎 sub uno es igual a uno partido por uno más uno. Simplificamos y obtenemos el valor de un medio.

Para hallar el segundo término o el valor de 𝑎 sub dos, sustituimos 𝑛 igual a dos. Esto nos da dos partido por dos más uno, que, al simplificarse, nos da el valor de dos tercios para el segundo término. Por último, para el tercer término, vamos a calcular el valor de 𝑎 sub tres. Así que sustituimos 𝑛 igual a tres en el término general. Y obtenemos tres partido por tres más uno, que se simplifica a tres cuartos. De esta forma, nuestra respuesta a cuáles son los tres primeros términos de esta progresión, es un medio, dos tercios y tres cuartos.

Veamos un último ejemplo.

Considera la progresión uno, uno, tres cuartos, cuatro octavos, etcétera. ¿Cuál de los siguientes es el término general de esta sucesión para 𝑛 mayor o igual que cero? Opción (A) 𝑛 partido por dos elevado a 𝑛. Opción (B) 𝑛 menos uno partido por dos elevado a 𝑛. Opción (C) 𝑛 más uno partido por dos elevado a 𝑛. Opción (D) dos 𝑛 partido por dos elevado a 𝑛. O la opción (E) 𝑛 más dos partido por dos elevado a 𝑛.

En esta cuestión se nos da una secuencia y se nos pide que hallemos su término general. Cuando hallamos un término general, en realidad estamos hallando una regla que relaciona la posición del término con el valor del término. Cuando se nos dice que el índice 𝑛 es mayor o igual que cero, eso significa que la progresión comienza con el término cero. Seguidamente tenemos el primer término 𝑎 sub uno, el segundo término 𝑎 sub dos, etcétera. El 𝑛-ésimo término es 𝑎 sub 𝑛. Entonces, para un valor arbitrario de 𝑛, ¿cuál será el valor del término de la secuencia? Si nos fijamos bien en esta secuencia, vemos que no hay una diferencia constante entre dos términos consecutivos, por lo que no es una progresión aritmética. Tampoco hay una razón constante entre dos términos consecutivos, por lo que tampoco es una progresión geométrica.

Para hallar el término general de la progresión vamos a tener que aplicar algo de pensamiento lateral. Consideremos este término, 𝑎 sub uno con el valor de uno. ¿Qué pasa si en vez de este valor de uno 𝑎 sub uno fuera en realidad una fracción que se simplifica a uno? Para que una fracción se simplifique a uno, el numerador y el denominador deben tener el mismo valor. Si suponemos que esta fracción es en realidad dos partido por un número, entonces, para simplificarse a uno, tendría que ser dos partido por dos. Si consideramos el término cero 𝑎 sub cero como una fracción de uno partido por uno en lugar de uno, podremos ver que los numeradores siguen una regla. Van de uno a dos a tres a cuatro. Los denominadores también tienen un patrón diferente. Van de uno a dos a cuatro a ocho.

Consideremos el término general de los numeradores y denominadores por separado para cada valor de 𝑛, que comienza con 𝑛 igual a cero. Recuerda que empezamos por cero porque es lo que se nos dio en el enunciado. Entonces, para un valor arbitrario del índice 𝑛, ¿cuál será el numerador? Bueno, el valor en el numerador es siempre uno más que el valor del índice. Así que el 𝑛-ésimo término del numerador será 𝑛 más uno. En cuanto a los denominadores, estos tienen una regla que parece ser multiplicar por dos. De hecho, cada denominador es una potencia de dos. Sería dos elevado a 𝑛. Por ejemplo, para el término cero, dos elevado a cero nos da uno. Para el primer término, dos elevado a uno nos da dos, y así sucesivamente. Ahora podemos juntar los términos general del numerador y del denominador. Así que el término general de esta sucesión es 𝑛 más uno partido por dos elevado a 𝑛, que es la expresión que se nos ha dado en la opción (C).

Repasemos ahora los puntos clave que hemos aprendido en este vídeo. En primer lugar, vimos que las sucesiones están formadas por términos. Luego vimos que los términos pueden denotarse como 𝑎 sub 𝑛, donde 𝑛 es el índice. También hemos visto que a veces el índice 𝑛 empieza por cero y a veces empieza por uno. También vimos cuestiones de progresiones aritméticas y progresiones geométricas y exploramos diferentes formas de hallar su término 𝑛-ésimo.

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