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En este vídeo vamos a aprender cómo calcular probabilidades condicionadas usando diagramas de árbol. Cuando trabajamos con probabilidades condicionadas, es útil usar un diagrama de árbol para ilustrar las probabilidades de los diferentes resultados. Para entender a qué nos referimos, vamos a recordar la fórmula de la probabilidad condicional.
La probabilidad de que ocurra un suceso 𝐵 sabiendo que el suceso 𝐴 ya ha ocurrido se expresa de la siguiente manera: la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴 es igual a la probabilidad de la intersección de los sucesos 𝐴 y 𝐵 dividido por la probabilidad de 𝐴, donde la probabilidad de la intersección es la probabilidad de que tanto 𝐴 como 𝐵 ocurran. Multiplicando ambos lados por la probabilidad de 𝐴, obtenemos que la probabilidad de la intersección de 𝐴 y 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴 multiplicado por la probabilidad de 𝐴.
Veamos cómo podemos representar esto usando un diagrama de árbol. Podemos usar la fórmula para calcular la probabilidad de la intersección de dos sucesos. En un diagrama de árbol, las probabilidades se calculan multiplicando las ramas, donde la primera rama representa la probabilidad de 𝐴 y la segunda rama representa la probabilidad de 𝐵 sabiendo que 𝐴 ha ocurrido. Recordando que todas las probabilidades se encuentran en el intervalo de cero a uno, de modo que la probabilidad de 𝐴 es mayor o igual que cero y menor o igual que uno, y que la probabilidad del complementario de un suceso, escrito 𝐴 prima o 𝐴 barra, es igual a uno menos la probabilidad de 𝐴, podemos completar la mitad superior del diagrama de árbol.
Extendiendo esto a la mitad inferior, comenzando con la probabilidad de 𝐴 prima, el diagrama de árbol completo es el siguiente. Multiplicando a lo largo de nuestras ramas, podemos calcular las probabilidades de 𝐴 intersección con 𝐵, 𝐴 intersección con 𝐵 prima, 𝐴 prima intersección con 𝐵, y 𝐴 prima intersección con 𝐵 prima. Veamos cómo podemos usar un diagrama de árbol de este tipo en un contexto del mundo real.
Una bolsa contiene tres bolas azules y siete bolas rojas. David saca de la bolsa dos bolas sin reemplazo y dibuja el siguiente diagrama de árbol. Sabiendo que la primera bola es roja, halla el valor de 𝑥, que es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja.
El enunciado nos dice que las dos bolas son extraídas de la bolsa sin reemplazo. Esto significa que la probabilidad del color de la segunda bola depende del color de la primera bola. Así que tenemos que tener en cuenta el resultado del primer evento cuando calculamos la probabilidad del segundo evento. Este es un ejemplo de probabilidad condicional. Estamos tratando de hallar la probabilidad de que la segunda bola sea roja sabiendo que la primera es roja.
El enunciado nos dice que la bolsa contiene tres bolas azules y siete bolas rojas. Como hay 10 bolas en total, la probabilidad de que la primera bola seleccionada sea azul es tres entre 10 o tres décimos. La probabilidad de que la primera bola sea roja es siete décimos. En esta cuestión, se nos dice que la primera bola es roja. Esto significa que ahora quedan seis bolas rojas en la bolsa. Todavía hay tres bolas azules, lo que nos da un total de nueve bolas. Por lo tanto, la probabilidad de que la segunda bola sea roja sabiendo que la primera es roja es seis novenos. Dividimos el numerador y el denominador de esta fracción por tres, y obtenemos una respuesta simplificada de dos tercios. Así que el valor de 𝑥 en el diagrama de árbol es igual a dos tercios.
Podemos comprobar esta respuesta considerando pares de ramas, ya que sabemos que deben sumar uno. Como la probabilidad de que la segunda bola sea azul sabiendo que la primera es roja es un tercio, y un tercio más dos tercios es uno, nuestra respuesta es correcta. Hemos obtenido la fracción de un tercio del hecho de que tres de las nueve bolas restantes son azules. Y tres novenos equivale a un tercio.
Aunque no se nos ha pedido en este problema, conviene indicar que, cuando la primera bola seleccionada es azul, quedarán siete bolas rojas y dos azules en la bolsa. Esto da como resultado probabilidades de dos novenos y siete novenos de que la segunda bola sea azul y roja, respectivamente, sabiendo que la primera bola extraída es azul.
En el siguiente problema vamos a dibujar un diagrama de árbol para hallar la probabilidad condicional de un suceso.
Una bolsa contiene 22 bolas rojas y 15 bolas negras. Dos bolas son extraídas al azar. Halla la probabilidad de que la segunda bola sea negra sabiendo que la primera bola es roja. Redondea la respuesta a las milésimas.
El enunciado nos dice que dos bolas son extraídas al azar de una bolsa. Una forma de representar esto es usando un diagrama de árbol. Sabemos que la primera bola seleccionada puede ser roja o negra. Lo mismo ocurre con la segunda bola, lo que nos da cuatro combinaciones posibles: roja roja, roja negra, negra roja o negra negra. Como las dos bolas son extraídas a la vez, podemos suponer que esto se hace sin reemplazo. Esto significa que estamos tratando con sucesos dependientes y probabilidad condicionada.
La probabilidad condicional puede escribirse usando la siguiente notación: la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴. En este problema se nos ha pedido que calculemos la probabilidad de que la segunda bola sea negra
sabiendo que la primera bola es roja. Esta es la probabilidad de la rama de color rosa. Como los sucesos son dependientes, primero tenemos que calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja.
Hay 22 bolas rojas y 15 bolas negras en la bolsa. Esto significa que hay un total de 37 bolas. Y la probabilidad de que la primera bola seleccionada sea roja es 22 entre 37. Y, aunque no se nos ha pedido en este problema, también podemos añadir a nuestro diagrama de árbol la probabilidad de que la primera bola sea negra. Es 15 entre 37. Consideremos cuántas bolas quedan en la bolsa si la primera bola extraída es roja. Ahora quedan 21 bolas rojas y todavía hay 15 bolas negras. Esto es un total de 36, y la probabilidad de seleccionar una bola negra ahora es 15 entre 36. Esta es la probabilidad que estamos buscando. La probabilidad de que la segunda bola sea negra sabiendo que la primera bola es roja, es 15 entre 36.
Aunque a menudo expresamos nuestra respuesta como una fracción, en este caso el enunciado nos pide que expresemos nuestra respuesta con tres cifras decimales. 15 dividido por 36 o la fracción simplificada cinco dividido por 12 es igual a 0.4166 etcétera. Redondeamos este número decimal a las milésimas, y obtenemos una respuesta de 0.417. Vamos a completar el resto del diagrama de árbol. Si la primera bola seleccionada es roja, la probabilidad de que la segunda bola también sea roja es 21 de 36, pues 21 de las bolas restantes son rojas. Si ahora suponemos que la primera bola extraída fue negra, quedarían 22 bolas rojas y solo 14 bolas negras. Esto significa que la probabilidad de que la segunda bola sea roja sabiendo que la primera bola es negra es 22 entre 36. Y la probabilidad de que la segunda bola sea negra sabiendo que la primera bola también es negra es 14 de 36.
Vale la pena comprobar que cada uno de los pares de fracciones encerrados en las tres burbujas suman uno. Podemos hacerlo antes o después de simplificar las fracciones.
Veamos un último ejemplo.
La probabilidad de que llueva un día determinado es 0.6. Si llueve, la probabilidad de que un grupo de amigos juegue al fútbol es 0.2. Si no llueve, la probabilidad de que jueguen al fútbol asciende a 0.8. Calcula la probabilidad de que llueva un día determinado y los amigos jueguen al fútbol. Calcula la probabilidad de que no llueva un día determinado y los amigos jueguen al fútbol. ¿Cuál es la probabilidad de que los amigos jueguen al fútbol un día determinado?
Hay tres partes en este problema. Todas incluyen probabilidad condicional y los sucesos dependientes de si llueve y de si un grupo de amigos juega al fútbol. Una forma de representar la información que se nos ha dado es usando un diagrama de árbol. Vamos a hacer algo de espacio para dibujarlo.
Decimos que 𝑅 es el evento de que llueva. Se nos dice que la probabilidad de que llueva un día cualquiera es 0.6. Sabemos que el suceso complementario de un evento cualquiera 𝐴, que se escribe 𝐴 prima o 𝐴 barra, tiene una probabilidad igual a uno menos la probabilidad de 𝐴. Esto significa que la probabilidad de que no llueva en este caso es uno menos 0.6. Esto es igual a 0.4, y lo añadimos al diagrama de árbol.
Si decimos que el suceso de que el grupo de amigos juegue al fútbol es 𝐹, hay cuatro escenarios posibles: en primer lugar, que llueva y los amigos jueguen al fútbol; en segundo lugar, que llueva y los amigos no jueguen al fútbol; en tercer lugar, que no llueva y los amigos jueguen al fútbol; y, por último, que no llueva y los amigos no jueguen al fútbol. El enunciado nos dice que, si llueve, la probabilidad de que los amigos jueguen al fútbol es 0.2. Este es un ejemplo de probabilidad condicional, la probabilidad de que los amigos jueguen al fútbol sabiendo que llueve. Así que añadimos 0.2 a nuestro diagrama de árbol.
Una vez más, como las probabilidades en cada par de ramas suman uno, la probabilidad del complementario de este suceso es 0.8. La probabilidad de que los amigos no jueguen al fútbol si llueve es 0.8. Vamos a repetir el mismo proceso para la mitad inferior de nuestro diagrama de árbol. El enunciado nos dice que, si no llueve, la probabilidad de que los amigos jueguen al fútbol es 0.8. La probabilidad condicionada de que los amigos jueguen al fútbol si no llueve es 0.8.
Consideremos las tres preguntas que se nos hicieron en el problema. En primer lugar, se nos pidió que calculáramos la probabilidad de que llueva un día determinado y los amigos jueguen al fútbol. Como queremos que ocurran ambos eventos, esta es la intersección de los dos sucesos. Recordemos que dados dos sucesos 𝐴 y 𝐵, la probabilidad de la intersección de 𝐴 y 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴 multiplicado por la probabilidad de 𝐴. En esta pregunta, la probabilidad de que llueva y los amigos jueguen al fútbol es igual a la probabilidad de que los amigos jueguen al fútbol sabiendo que llueve multiplicado por la probabilidad de que llueva. Así que tenemos que multiplicar las probabilidades 0.2 y 0.6. Y esto es 0.12.
Consideremos ahora la segunda parte de nuestra pregunta. Se nos pide que calculemos la probabilidad de que no llueva un día determinado y los amigos jueguen al fútbol. Esto se corresponde con el tramo rosa en nuestro diagrama de árbol. La probabilidad de que no llueva y los amigos jueguen al fútbol es igual a la probabilidad de que jueguen al fútbol sabiendo que no llueve multiplicado por la probabilidad de que no llueva. Hemos de multiplicar 0.8 y 0.4. Y esto es 0.32. La probabilidad de que no llueva un día determinado y los amigos jueguen al fútbol es 0.32.
La última pregunta nos pide calcular la probabilidad de que los amigos jueguen al fútbol en un día determinado. En este caso tenemos dos escenarios posibles: llueve y juegan al fútbol o no llueve y juegan al fútbol. Necesitamos hallar la unión de estos dos sucesos. Para ello vamos a hallar la suma de las probabilidades usando el diagrama de árbol. Tenemos que sumar 0.12 y 0.32. Que es igual a 0.44. Por lo tanto, hemos calculado que la probabilidad de que los amigos jueguen al fútbol en un día determinado es 0.44.
Conviene saber que la suma de las probabilidades para todos los resultados posibles es igual a uno. En este caso, las cuatro probabilidades 0.12, 0.48, 0.32 y 0.08 suman uno.
Antes de finalizar el vídeo vamos a resumir los puntos clave que hemos visto. Hemos visto que, cuando hay un número relativamente pequeño de resultados, un diagrama de árbol es una forma útil de ilustrar la probabilidad de sucesos compuestos. Y que la suma de las probabilidades para cada grupo de ramas es igual a uno. Asimismo, hemos aprendido que la suma de las probabilidades de todos los resultados finales es igual a uno. Y que, cuando operamos con probabilidad condicionada, la probabilidad de la intersección de los sucesos 𝐴 y 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐵 dado 𝐴 multiplicado por la probabilidad de 𝐴.
