Vídeo: La regla del cociente

En este video, vamos a aprender cómo hallar la derivada de una función usando la regla del cociente.

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Transcripción del vídeo

La regla del cociente

En este video, vamos a aprender cómo hallar la derivada de una función usando la regla del cociente. Vamos a ver varios ejemplos de cómo esta regla puede usarse.

Considera la función 𝑦 igual a menos tres 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 más 17, todo sobre la raíz cuadrada de 𝑥.

Para hallar la derivada de esta función, hay varios métodos que podemos utilizar. Podemos dividir el numerador por el denominador y simplemente derivar la función resultante. O podemos escribir la fracción como un producto y hallar su derivada usando la regla del producto. También hay un método alternativo que podemos usar para hallar esta derivada. Y que no requiere simplificar ni reescribir la ecuación. Lo llamamos la regla del cociente. La derivación de la regla del cociente es un poco larga. Así que no la vamos a ver en este video.

La regla del cociente dice que dadas dos funciones derivables, 𝑢 de 𝑥 y 𝑣 de 𝑥, la derivada de su cociente — o sea, 𝑑 sobre d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 sobre 𝑣 de 𝑥 es igual a 𝑣 de 𝑥 por 𝑑 sobre d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 menos 𝑢 de 𝑥 por 𝑑 sobre d𝑥 de 𝑣 de 𝑥, todo sobre 𝑣 de 𝑥 al cuadrado. Podemos escribir esto mucho más sucintamente con notación prima. Y esto es 𝑢 sobre 𝑣 prima es igual a 𝑣𝑢 prima menos 𝑢𝑣 prima, todo sobre 𝑣 al cuadrado.

Una manera fácil de recordar la regla del cociente es usando una regla nemotécnica. Esta regla nemotécnica dice «DE 𝑑 NU menos NU 𝑑 DE sobre el cuadrado de DE». Donde NU es el numerador del cociente que estamos derivando. Y DE es el denominador de esta función. Y las letras 𝑑 que están dentro de la oración indican dónde tenemos que derivar. Por tanto, 𝑑 NU será la derivada del numerador de nuestra función. Y 𝑑 DE es la derivada del denominador de nuestra función. Puede que te resulte más fácil recordarlo de otras maneras. Pero, si te sirve, puedes usar este método también.

Veamos algunos ejemplos.

Halla la primera derivada de 𝑦 igual a 8𝑥 más cinco sobre tres 𝑥 más 22.

Nos damos cuenta inmediatamente de que nuestra función 𝑦 es una función racional. Así que podemos hallar su derivada utilizando la regla del cociente. La regla del cociente nos dice que la derivada cociente de dos funciones, 𝑢 sobre 𝑣, con respecto a 𝑥. Es igual a 𝑣 multiplicado por la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥 menos 𝑢 multiplicado por la derivada de 𝑣 con respecto a 𝑥, todo partido por 𝑣 al cuadrado. Para hallar la primera derivada de 𝑦, comencemos identificando a 𝑢 y 𝑣 en nuestra ecuación. 𝑢 será igual al numerador de la función, ocho 𝑥 más cinco. Y 𝑣 será igual al denominador de la función, por lo que será tres 𝑥 más 22.

Seguidamente debemos hallar d sobre d𝑥 de 𝑢 y d sobre d𝑥 de 𝑣, o d𝑢 sobre d𝑥 y d𝑣 sobre d𝑥. 𝑢 y 𝑣 son polinomios. Así que podemos derivarlos término a término. Escribiendo 𝑢 en términos de potencias de 𝑥, podemos decir que es igual a ocho 𝑥 elevado a uno más cinco 𝑥 elevado a cero. Para derivar, simplemente multiplicamos por la potencia y la disminuimos en uno. Para el primer término, multiplicamos por la potencia, que es uno, y la disminuimos en uno, y nos queda cero. Lo que nos deja es uno por ocho 𝑥 elevado a cero. Para el segundo término, multiplicamos por la potencia, que es cero, y disminuimos la potencia en uno, a menos uno. Obtenemos cero multiplicado por cinco 𝑥 a la menos uno.

En el primer término, 𝑥 elevado a cero es uno. Y esto se convierte en ocho. En el segundo término, multiplicamos por cero. Y este término se convierte en cero. Por tanto, hallamos que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a ocho. Podemos utilizar un método similar para hallar d𝑣 sobre d𝑥. Y es igual a tres. Ahora que conocemos d𝑢 sobre d𝑥 y d𝑣 sobre d𝑥, estamos listos para usar la regla del cociente. Hallamos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 𝑣, que es tres 𝑥 más 22, multiplicado por d𝑢 sobre d𝑥, esto es ocho, menos 𝑢, que es ocho 𝑥 más cinco, multiplicado por d𝑣 sobre d𝑥, que es tres. Y todo esto sobre 𝑣 al cuadrado, tenemos entonces tres 𝑥 más 22 todo al cuadrado.

Luego desarrollamos los paréntesis. Simplificamos y hallamos que nuestra solución para la primera derivada de 𝑦 es igual a 161 partido por tres 𝑥 más 22, todo al cuadrado.

Veamos ahora un ejemplo un poco más complicado.

Halla la primera derivada de la función 𝑦 igual a cuatro 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 más cinco, todo sobre cuatro 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 más tres.

Podemos ver que nuestra función es una función racional. Por tanto, podemos usar la regla del cociente para hallar la derivada. La regla del cociente nos dice que 𝑢 sobre 𝑣 prima es igual a 𝑣𝑢 prima menos 𝑢𝑣 prima todo sobre 𝑣 al cuadrado. Donde 𝑢 es el numerador de nuestra función y 𝑣 es el denominador. En nuestro caso, 𝑢 es igual a cuatro 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 más cinco. Y 𝑣 es igual a cuatro 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 más tres. El siguiente paso es hallar 𝑢 prima y 𝑣 prima. Hacemos esto derivando 𝑢 y 𝑣 con respecto a 𝑥.

Como 𝑢 y 𝑣 son funciones polinómicas, podemos hallar sus derivadas tomando cada término y multiplicándolo por la potencia de 𝑥. Y después, disminuimos el exponente de 𝑥 en uno. Haciendo esto, hallamos que 𝑢 prima es igual a ocho 𝑥 más cinco. Y 𝑣 prima es igual a ocho 𝑥 menos dos. Reemplazando estos valores en nuestra fórmula, hallamos que la primera derivada de 𝑦, o sea 𝑦 prima, es igual a 𝑣 multiplicado por 𝑢 prima menos 𝑢 multiplicado por 𝑣 prima todo sobre 𝑣 al cuadrado. El resultado aquí parece bastante desalentador. Sin embargo, aún debemos desarrollar los paréntesis y después simplificar. Esto es lo que obtenemos al desarrollar los paréntesis en el numerador.

Nuestro último paso es simplificar el numerador. Y hemos hallado nuestra solución. La cual es que la primera derivada de 𝑦, o sea 𝑦 prima, es igual a menos 28𝑥 al cuadrado menos 16𝑥 más 25, todo sobre cuatro 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 más tres todo al cuadrado.

Veamos ahora una cuestión un poco diferente.

Supón que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado más 𝑎𝑥 más 𝑏, todo sobre 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más cuatro. Sabiendo que 𝑓 de cero es igual a uno y 𝑓 prima de cero es igual a cuatro, halla 𝑎 y 𝑏.

Nuestro primer paso en esta pregunta puede ser sustituir 𝑥 igual a cero en 𝑓 de 𝑥. Puesto que nos dicen que 𝑓 de cero es igual a uno. Obtenemos que 𝑓 de cero es igual a cero al cuadrado más 𝑎 por cero más 𝑏 todo sobre cero al cuadrado menos siete por cero más cuatro. Todos estos términos valen cero, aparte de 𝑏 y cuatro. Nos queda 𝑓 de cero igual a 𝑏 sobre cuatro. Usamos el hecho de que la pregunta nos dice que 𝑓 de cero es igual a uno. Y así, podemos igualar esto a uno. Partiendo de esto, hallamos que 𝑏 es igual a cuatro. Luego, podemos usar el hecho de que 𝑓 prima de cero es igual a cuatro. Pero, antes que nada, debemos hallar 𝑓 prima de 𝑥. Para hacer esto, necesitamos derivar 𝑓. Como 𝑓 es una función racional, podemos usar la regla del cociente para hallar su derivada.

La regla del cociente nos dice que 𝑢 sobre 𝑣 prima es igual a 𝑣 por 𝑢 prima menos 𝑢 por 𝑣 prima todo sobre 𝑣 al cuadrado. Haciendo nuestra función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑢 sobre 𝑣, obtenemos que 𝑢 es igual a 𝑥 al cuadrado más 𝑎𝑥 más 𝑏. Y 𝑣 es igual a 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más cuatro. Podemos hallar 𝑢 prima y 𝑣 prima derivando estas dos funciones. Obteniendo que 𝑢 prima es igual a dos 𝑥 más 𝑎 y 𝑣 prima es igual a dos 𝑥 menos siete. Y podemos sustituir ahora en la regla del cociente. Obtenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más cuatro multiplicado por dos 𝑥 más 𝑎 menos 𝑥 al cuadrado más 𝑎𝑥 más 𝑏 multiplicado por dos 𝑥 menos siete, todo sobre 𝑥 al cuadrado menos siete 𝑥 más cuatro, todo al cuadrado.

Podríamos simplificar 𝑓 prima de 𝑥 en este punto. Pero en lugar de eso, vamos a sustituir 𝑥 igual a cero. Así que muchos de estos términos van a desaparecer. Sustituyamos 𝑥 igual a cero aquí. Obtenemos esto. Y muchos de los términos desaparecen, valen cero, y nos queda simplemente cuatro 𝑎 más siete 𝑏 todo sobre 16. Anteriormente hallamos que 𝑏 es igual a cuatro. Así que, podemos sustituir esto, obteniendo cuatro 𝑎 más 28 todo sobre 16.

Como la pregunta nos dice que 𝑓 prima de cero es igual a cuatro, podemos igualar esto a cuatro. Y después lo reordenamos para despejar 𝑎. Hallamos que 𝑎 es igual a nueve. Así, pues, hemos hallado los valores de 𝑎 y de 𝑏, y hemos completado la respuesta a nuestra pregunta.

En el siguiente ejemplo vamos a considerar una pregunta de un tipo un poco diferente.

Sea 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑥 sobre menos cuatro ℎ de 𝑥 menos cinco. Sabiendo que 𝑓 de menos dos es igual a menos uno, 𝑓 prima de menos dos es igual a menos ocho, ℎ de menos dos es igual a menos dos, y ℎ prima de menos dos es igual a cinco, halla 𝑔 prima de menos dos.

En esta pregunta nos piden hallar 𝑔 prima de menos dos. Así que comenzaremos por derivar 𝑔 de 𝑥. 𝑔 de 𝑥 es una función racional, por tanto necesitamos usar la regla del cociente. La regla del cociente nos dice que 𝑢 sobre 𝑣 prima es igual a 𝑣𝑢 prima menos 𝑢𝑣 prima, todo sobre 𝑣 al cuadrado. Haciendo 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑢 sobre 𝑣, podemos ver que 𝑢 es igual a 𝑓 de 𝑥. Y 𝑣 es igual a menos cuatro ℎ de 𝑥 menos cinco. 𝑢 prima será igual a 𝑓 de 𝑥 prima. Prima representa la derivada con respecto a 𝑥. Por tanto, 𝑓 de 𝑥 prima es lo mismo que 𝑓 prima de 𝑥. También necesitamos hallar 𝑣 prima. Eso es menos cuatro ℎ de 𝑥 menos cinco prima.

Y como prima representa la derivada con respecto a 𝑥, podemos aplicar las reglas normales de la derivación. Y así, derivar el término constante menos cinco, dará como resultado cero. T podemos decir que esto es igual a menos cuatro ℎ de 𝑥 prima. Dado que nuestra función ℎ de 𝑥 está multiplicada por una constante, menos cuatro. Podemos usar nuestras reglas de la derivada y obtenemos menos cuatro veces la derivada. O sea, menos cuatro multiplicado por ℎ de 𝑥 prima.

Podemos usar el mismo criterio que usamos con 𝑓 de 𝑥 prima. Y podemos decir que 𝑣 prima es igual a menos cuatro ℎ prima de 𝑥. Podemos sustituir esto en la regla del cociente para hallar 𝑔 prima de 𝑥. Y una vez que hemos hallado 𝑔 prima de 𝑥, podemos reemplazar 𝑥 igual a menos dos. Y ahora hemos formulado una igualdad en términos de 𝑓 de menos dos, 𝑓 prima de menos dos, ℎ de menos dos, y ℎ prima de menos dos. Todos estos valores los podemos hallar en la pregunta. Así que podemos sustituir estos valores aquí.

Nuestro último paso para hallar 𝑔 prima de menos dos es simplificar esto. Desarrollando los paréntesis, obtenemos menos 24 menos 20 todo sobre nueve. Esto nos da la solución de que 𝑔 prima de dos es igual a menos 44 sobre nueve.

A continuación, veremos cómo podemos derivar una función que es la suma de dos expresiones racionales.

Sabiendo que 𝑦 es igual a 𝑥 más cinco sobre 𝑥 menos cinco menos 𝑥 menos cinco sobre 𝑥 más cinco, halla d𝑦 sobre d𝑥.

Nuestra función 𝑦 es la suma de dos expresiones racionales, 𝑥 más cinco sobre 𝑥 menos cinco y 𝑥 menos cinco sobre 𝑥 más cinco. Y podríamos hallar d𝑦 sobre d𝑥 usando la regla del cociente en estas dos expresiones racionales. Sin embargo, esto requiere usar la regla del cociente dos veces. Podemos hacer nuestra tarea un poco más fácil combinando las dos expresiones racionales en una sola. Hallamos que 𝑦 es igual a 𝑥 más cinco al cuadrado menos 𝑥 menos cinco al cuadrado todo sobre 𝑥 menos cinco por 𝑥 más cinco. Podemos desarrollar los paréntesis y luego simplificar para obtener que 𝑦 es igual a 20𝑥 sobre 𝑥 al cuadrado menos 25.

Así que ahora nuestra función consiste en una sola expresión racional. Estamos listos para usar la regla del cociente para derivar esta función. La regla del cociente nos dice que 𝑢 sobre 𝑣 prima es igual a 𝑣𝑢 prima menos 𝑢𝑣 prima sobre 𝑣 al cuadrado. Al hacer 𝑦 igual a 𝑢 sobre 𝑣, obtenemos que 𝑢 es igual a 20𝑥 y que 𝑣 es igual a 𝑥 al cuadrado menos 25. A continuación, debemos hallar 𝑢 prima y 𝑣 prima, obteniendo 𝑢 prima igual a 20 y 𝑣 prima igual a dos 𝑥.

Ahora podemos reemplazar esto en la regla del cociente para hallar que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado menos 25 por 20 menos 20𝑥 por dos 𝑥 todo sobre 𝑥 al cuadrado menos 25 al cuadrado. Simplificamos para obtener d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos 20𝑥 menos 500 todo sobre 𝑥 al cuadrado menos 25 al cuadrado.

En nuestro ejemplo final, vamos a ver cómo evaluar la derivada de una función racional en un punto.

Evalúa 𝑓 prima de tres, donde 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 sobre 𝑥 más dos menos 𝑥 menos tres sobre 𝑥 menos dos.

Nuestra función es la diferencia de dos expresiones racionales. Podemos comenzar combinando las dos expresiones racionales en una sola. Hallamos que 𝑓 de 𝑥 es igual a menos 𝑥 más seis, todo sobre 𝑥 al cuadrado menos cuatro. Y hemos escrito 𝑓 como una función racional. Y estamos listos para usar la regla del cociente, la cual nos dice que 𝑢 sobre 𝑣 prima es igual a 𝑣𝑢 prima menos 𝑢𝑣 prima, todo sobre 𝑣 al cuadrado. Haciendo 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑢 sobre 𝑣, obtenemos que 𝑢 es igual a menos 𝑥 más seis, y 𝑣 es igual a 𝑥 al cuadrado menos cuatro. Hallamos que 𝑢 prima es igual a menos uno, y 𝑣 prima es igual a dos 𝑥.

Reemplazamos 𝑢, 𝑣, 𝑢 prima, y 𝑣 prima en la regla del cociente. Hallamos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado menos cuatro multiplicado por menos uno, menos menos 𝑥 más seis multiplicado por dos 𝑥, todo sobre 𝑥 al cuadrado menos cuatro al cuadrado. Para hallar 𝑓 prima de tres, simplemente hacemos 𝑥 igual a tres en 𝑓 prima de 𝑥. Obtenemos que 𝑓 prima de tres es igual a tres al cuadrado menos cuatro multiplicado por menos uno menos menos tres más seis multiplicado por dos por tres todo sobre tres al cuadrado menos cuatro al cuadrado. Lo que se simplifica a menos cinco menos 18 sobre 25. Esto nos da la solución de que 𝑓 prima de tres es igual a menos 23 sobre 25.

En este video hemos visto una variedad de ejemplos de la regla del cociente. Repasemos sus puntos clave. Para hallar la derivada del cociente de dos funciones derivables, 𝑢 de 𝑥 y 𝑣 de 𝑥, podemos usar la regla del cociente la cual dice que d sobre d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 sobre 𝑣 de 𝑥 es igual a 𝑣 de 𝑥 por d sobre d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 menos 𝑢 de 𝑥 por d sobre d𝑥 de 𝑣 de 𝑥 todo sobre 𝑣 de 𝑥 al cuadrado. A menudo, esto se escribe de manera más simple usando la notación prima. 𝑢 sobre 𝑣 prima es igual a 𝑣𝑢 prima menos 𝑢𝑣 prima, todo partido por 𝑣 al cuadrado. Antes de aplicar la regla del cociente, vale la pena verificar si es posible simplificar la expresión de la función. Esto es particularmente relevante cuando la función se expresa como una suma o diferencia de expresiones racionales.

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