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Vídeo de la lección: Gráficas de las funciones cuadráticas Matemáticas • Noveno grado

En este video, vamos a aprender cómo representar gráficamente una función cuadrática expresada en su forma polinómica o desarrollada, o en su forma de vértice o canónica, analizando y usando sus transformaciones.

17:27

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo graficar funciones cuadráticas. Vamos a considerar las funciones en forma polinómica (desarrollada) y en forma de vértice (canónica). Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen muchas aplicaciones. Pueden representar las trayectorias de objetos en movimiento, como una pelota pateada, o incluso el vuelo de las abejas. En los negocios, pueden pronosticar ingresos. También podemos usarlas para minimizar el tamaño de envases y reducir así el desperdicio. Cuando trabajamos con gráficas de funciones cuadráticas, a menudo nos ocupamos de variables como la velocidad, el costo y el área, entre otras cosas.

Antes de ver una gráfica específica, recordemos la forma general de una función cuadrática. Cuando hablamos de funciones cuadráticas, la forma polinómica o forma desarrollada es 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son constantes y 𝑎 no puede ser igual a cero. También podemos ver funciones cuadráticas en la siguiente forma. 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 por 𝑥 menos ℎ al cuadrado más 𝑘, donde 𝑎, ℎ y 𝑘 son constantes y 𝑎 no es igual a cero. A esta forma la llamamos forma de vértice o forma canónica. Se llama forma de vértice porque, si una función cuadrática está escrita en esta forma, entonces el vértice de su gráfica estará en el punto ℎ, 𝑘.

Si tenemos este dibujo de una función cuadrática, el vértice se encuentra aquí. El vértice es el punto máximo en este caso porque la gráfica se abre hacia abajo. Y cuando la cuadrática se abre hacia arriba, el vértice es un punto mínimo. Sabemos que cuando 𝑎 es mayor que cero, es decir, cuando 𝑎 es positivo, la gráfica se abre hacia arriba. Y cuando 𝑎 es menor que cero, cuando 𝑎 es un valor negativo, la gráfica se abrirá hacia abajo. Ya hemos dicho con respecto a la forma de vértice a la derecha que, cuando la ecuación está escrita en esta forma, el vértice se halla en el punto ℎ, 𝑘. Cuando consideramos la forma desarrollada, no podemos identificar el vértice simplemente mirando la ecuación.

Sin embargo, tenemos una fórmula para hallar el vértice si tenemos una función en forma desarrollada. En la forma desarrollada, tomamos el valor 𝑏 negativo y lo dividimos por dos veces el valor 𝑎. Esto nos da la coordenada 𝑥 del vértice. Seguidamente, tomamos ese valor de 𝑥 y lo sustituimos en nuestra función y así hallamos la coordenada 𝑦 del vértice. Antes de continuar, debemos mencionar otra forma de vértice. En algunos libros de texto usan la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 por 𝑥 más 𝑝 al cuadrado más 𝑞, donde 𝑎, 𝑝 y 𝑞 son constantes y 𝑎 no es igual a cero.

Esta forma funciona de manera muy similar a la primera forma de vértice que vimos, con una distinción clave. Si estás usando esta forma, el vértice se encuentra en menos 𝑝, 𝑞. Al observar de cerca estas dos funciones, podemos ver por qué. En la primera forma, ℎ se resta de 𝑥. Y tenemos una coordenada 𝑥 del vértice con signo positivo. En la segunda forma, estamos sumando esa constante a 𝑥 y, por lo tanto, necesitaremos poner un signo negativo en la coordenada 𝑥 del vértice. Ambas formas son igualmente válidas siempre y cuando las uses de forma consistente.

Para prepararnos para graficar una función cuadrática, vamos a considerar cuatro datos de estas funciones que son clave para dibujar su gráfica. Primero, consideraremos la orientación de la parábola. En segundo lugar, consideraremos la intersección de la función con el eje 𝑦. En tercer lugar, consideraremos las raíces o ceros de la función, que son las intersecciones de la función con el eje 𝑥. Y, por último, consideraremos el vértice o extremo de la función. Para ayudarnos a considerar cada una de estas características, vamos a ver la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 menos ocho. Para hallar la orientación de la parábola, debemos saber si el valor de 𝑎 es mayor que cero o menor que cero. Es decir, ¿el valor de 𝑎 es positivo o negativo?

Las parábolas con valores de 𝑎 positivos se abren hacia arriba y aquellas con valores de 𝑎 negativos se abren hacia abajo. En nuestro caso, el coeficiente del término 𝑥 al cuadrado es uno. Uno es mayor que cero. Por lo tanto, nuestra gráfica se abrirá hacia arriba. Después, hallamos la ordenada en el origen, o sea, la intersección con el eje 𝑦. La ordenada en el origen es el valor de 𝑦 cuando 𝑥 es igual a cero. En nuestro caso, eso es cero al cuadrado menos dos por cero menos ocho. 𝑓 de cero es igual a menos ocho, lo que hace que la intersección con 𝑦 sea cero, menos ocho. Vale la pena señalar aquí que cuando estamos tratando con la forma polinómica de una función cuadrática, la intersección con el eje 𝑦 siempre es el punto cero, 𝑐. En nuestra función, 𝑐 es igual a menos ocho, lo que confirma un punto de intersección con el eje 𝑦 de cero, menos ocho.

¿Qué pasa con las raíces de una función cuadrática? Las raíces son las abscisas de los puntos donde 𝑓 de 𝑥 es igual a cero. Para hallar las raíces, igualamos nuestra 𝑓 de 𝑥 a cero y luego resolvemos para 𝑥. Cuando la ecuación está en forma polinómica, podemos resolverla factorizando. Tenemos dos factores lineales en 𝑥. Necesitamos dos números que cuando se multiplican dan menos ocho y cuando se suman dan menos dos, y estos números son menos cuatro y más dos. Luego tomamos cada uno de estos factores y los igualamos a cero. Necesitamos saber cuándo 𝑥 más dos es igual a cero y cuándo 𝑥 menos cuatro es igual a cero. Eso ocurre cuando 𝑥 es igual a menos dos y cuando 𝑥 es igual a más cuatro. Esto nos dice que la gráfica de esta función cuadrática cruzará el eje 𝑥 en el punto menos dos, cero y el punto cuatro, cero.

Nuestra última característica, el vértice, estaría en la forma ℎ, 𝑘 si nuestra función original estuviera escrita en forma de vértice. Pero como solo tenemos la forma polinómica, necesitaremos calcular menos 𝑏 sobre dos 𝑎 para la coordenada 𝑥 y luego sustituir en la función para hallar la coordenada 𝑦 de este vértice. Menos 𝑏 sobre dos 𝑎 es menos menos dos, por lo tanto, más dos sobre dos por uno. Y más dos sobre dos es igual a uno. Esto significa que la abscisa 𝑥 de nuestro vértice es uno. Para hallar la ordenada 𝑦 del vértice, sustituimos 𝑥 por uno en la función. Obtenemos uno al cuadrado menos dos por uno menos ocho, que es igual a menos nueve. Y podemos decir que el vértice de esta función está ubicado en uno, menos nueve. Como conocemos la forma de esta parábola, podemos decir que el vértice corresponde a un valor mínimo de la función.

Y con estos datos clave, estamos listos para dibujar una gráfica. Sabemos que la intersección con el eje 𝑦 ocurre en cero, menos ocho. Tenemos raíces en menos dos, cero y cuatro, cero. Y nuestro vértice, que es un mínimo de la función, está en uno, menos nueve. También puedes recordar que estas gráficas son simétricas con respecto a la recta vertical que pasa por el vértice y cuyos puntos tienen todos la misma coordenada 𝑥 del vértice. Si tenemos en cuenta el eje de simetría tendremos una mejor idea de cómo dibujar la gráfica. Y lo vamos a hacer ahora conectando estos puntos. Y haciendo uso de todos estos datos, hemos representado gráficamente una función cuadrática. Habiendo considerado estos cuatro datos, estamos listos para considerar algunos ejemplos.

Escribe la ecuación cuadrática de la función representada por la gráfica que se muestra.

Para determinar esta ecuación, vamos a considerar algunos datos de la gráfica de las funciones cuadráticas: la forma de la parábola, la intersección con el eje 𝑦, las raíces y el vértice. También tenemos la forma polinómica o forma desarrollada 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐, o la forma de vértice o forma canónica 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 por 𝑥 menos ℎ al cuadrado más 𝑘. En relación con la orientación de la parábola, vemos que esta parábola se abre hacia abajo. Y eso significa que el valor de 𝑎 será menor que cero. Será negativo. La intersección con el eje 𝑦 se encuentra aquí en cero, cero, lo que significa también que las raíces aquí serán solo una raíz en cero, cero. Y resulta ser el vértice, que es el punto máximo de esta función.

Si usamos la forma de vértice, sabemos que el vértice se encuentra en el punto ℎ, 𝑘. Y podemos tomar este vértice de cero, cero y reemplazarlo en esa forma general de vértice. Cuando simplificamos eso, hallamos que la función es 𝑎 por 𝑥 al cuadrado. Y eso significa que solo necesitamos saber qué es 𝑎. Sabemos que el valor de 𝑎 es negativo. Pero para hallar cuál es ese valor exactamente, necesitamos utilizar otro punto de la gráfica. Podríamos usar uno cualquiera de los otros puntos que conocemos de la gráfica. Por ejemplo, sabemos que la gráfica pasa por el punto dos, menos cuatro. Así que sustituimos dos para 𝑥 y menos cuatro para 𝑓 de 𝑥. Y obtenemos la ecuación menos cuatro igual a cuatro 𝑎.

A partir de ahí, dividimos ambos lados de la ecuación por cuatro. Y vemos que menos uno es igual a 𝑎 o 𝑎 es igual a menos uno. Y reemplazamos ese valor para 𝑎, lo que nos da menos uno por 𝑥 al cuadrado. Y podemos simplificarlo para obtener menos 𝑥 al cuadrado. Así que hemos hallado que la función cuadrática representada por la gráfica que se muestra es 𝑓 de 𝑥 igual a menos 𝑥 al cuadrado.

En nuestro siguiente ejemplo, comenzamos con la ecuación cuadrática y necesitamos hallar su gráfica.

¿Cuál de las siguientes gráficas representa la ecuación 𝑦 igual a menos dos 𝑥 al cuadrado más nueve 𝑥 menos siete?

Nuestra función 𝑓 de 𝑥 igual a menos dos 𝑥 al cuadrado más nueve 𝑥 menos siete está en la forma polinómica 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐. Pero antes de hacer algo con la función, analicemos cada una de estas gráficas. La gráfica (A), se abre hacia arriba y tiene el vértice en el cuarto cuadrante. La gráfica (B) se abre hacia abajo y tiene el vértice en el segundo cuadrante. (C) se abre hacia abajo y tiene el vértice en el primer cuadrante. (D) se abre hacia abajo y tiene el vértice en el primer cuadrante. Y (E) se abre hacia arriba y tiene el vértice en el cuarto cuadrante.

Una buena estrategia para hallar la gráfica sería tomar nuestra ecuación y hallar su vértice. Cuando tenemos una ecuación en la forma general, sabemos que la abscisa del vértice es menos 𝑏 sobre dos 𝑎. Esa es la coordenada 𝑥. Así que tomamos menos nueve sobre dos por menos dos, que es más 2.25. Esto significa que la coordenada 𝑥 de nuestro vértice estará en 2.25. Si dibujamos la recta 𝑥 igual a 2.25 en nuestras cinco gráficas, vemos que en (A) pasa por el vértice y que en (C) pasa por el vértice también. Esto quiere decir que (B), (D) y (E) no son lo que estamos buscando.

Para hallar la coordenada 𝑦 del vértice, podemos reemplazar 2.25 en nuestra ecuación. Cuando hacemos eso, obtenemos 3.125. Y el vértice para (C) está ubicado en 3.125. También notamos que nuestro valor 𝑎 es negativo. Y eso significa que nuestra gráfica debe abrirse hacia abajo. La opción (A) se abre hacia arriba y tiene un vértice en el lugar equivocado. Por lo tanto, la opción (C) es nuestra respuesta.

Vamos a ver ahora otro ejemplo en el que usaremos una gráfica para escribir una ecuación cuadrática.

Escribe la ecuación cuadrática representada por la gráfica que se muestra.

Conocemos la forma desarrollada de una ecuación cuadrática, 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐, y la forma de vértice, 𝑎 por 𝑥 menos ℎ al cuadrado más 𝑘. Para hallar la ecuación, vamos a considerar algunas características de la gráfica. La parábola de esta gráfica se abre hacia abajo. Y eso significa que nuestro valor 𝑎 será menor que cero. Será negativo. Tenemos una intersección con 𝑦 en el punto cero, dos. Con respecto a las raíces, no podemos determinar con mucha precisión cuáles son las raíces. Así que dejamos eso por ahora. El vértice aquí es un punto de máximo. Y sabemos dónde está, en el punto uno, tres.

Como conocemos el vértice, podemos comenzar con nuestra forma de vértice. Nuestro vértice es ℎ, 𝑘. Así que sustituimos uno por ℎ y tres por 𝑘. Lo único que nos falta ahora es esta variable 𝑎. Sabemos que es menor que cero, pero no sabemos exactamente cuánto vale. Para hallarlo, podemos sustituir otro punto de la gráfica que ya conocemos. Si sustituimos 𝑥 por cero y 𝑓 de 𝑥 por dos, podremos hallar nuestro valor de 𝑎. Cero menos uno al cuadrado es uno; uno por 𝑎 es 𝑎, lo que significa que 𝑎 más tres es igual a dos. Y dos menos tres es menos uno, por lo que podemos decir que 𝑎 es igual a menos uno.

Regresamos aquí y sustituimos nuevamente. En lugar de poner menos uno, podemos escribir el signo negativo para obtener que 𝑓 de 𝑥 es igual a menos 𝑥 menos uno al cuadrado más tres. Esta es la forma de vértice de la gráfica que tenemos. Si queremos escribir esto en la forma polinómica, debemos desarrollar 𝑥 menos uno al cuadrado, lo que nos da menos 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 más uno más tres. Distribuimos el signo menos. Y cuando reducimos términos semejantes, obtenemos la forma desarrollada menos 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 más dos. Estas dos ecuaciones son en realidad dos formas de la misma ecuación cuadrática, la cual está representada por esta gráfica.

En nuestro último ejemplo, no estamos buscando la forma de vértice o la forma polinómica de una función cuadrática. En su lugar, vamos a explorar la forma factorizada.

Escribe la ecuación cuadrática representada por la gráfica que se muestra. Da tu respuesta en forma factorizada.

Para hacer esto, vamos a obtener algunos datos de la gráfica de funciones cuadráticas como orientación, intersección con el eje 𝑦, raíces y vértice. En cuanto a orientación, vemos que esta parábola se abre hacia arriba. Y eso nos dice que nuestro valor de 𝑎 será positivo, mayor que cero. Tenemos una intersección con el eje 𝑦 en el punto cero, cero. Para hallar las raíces, buscamos el lugar donde la gráfica interseca el eje 𝑥. Aquí tenemos una raíz en cero, cero y en cinco, cero. El vértice de esta gráfica ha sido indicado. Es punto de mínimo de coordenadas dos y medio, menos 6.25.

Lo que queremos hacer ahora es trabajar un poco más con las raíces. Las raíces a veces se llaman soluciones. Son el lugar donde nuestra función es igual a cero. Tenemos soluciones 𝑥 igual a cero y 𝑥 igual a cinco. Podemos tomar estas soluciones y convertirlas en factores. Como 𝑥 es lo mismo que 𝑥 menos cero, 𝑥 es un factor. Y para el otro factor, obtenemos que 𝑥 menos cinco es el segundo factor. Aquí tenemos dos factores. Sin embargo, todavía no sabemos cuál es nuestro valor de 𝑎 porque hay infinitas ecuaciones que tienen los factores 𝑥 y 𝑥 menos cinco. Y eso significa que solo sabemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑎 por 𝑥 por 𝑥 menos cinco.

Para hallar 𝑎, podemos sustituir las coordenadas de puntos que sabemos que se encuentran en esta gráfica. Sabemos que cuando 𝑥 es igual a 2.5, 𝑓 de 𝑥 es igual a menos 6.25. Dos y medio menos cinco es menos dos y medio. Dos y medio por menos dos y medio es igual a menos 6.25. Y si dividimos ambos lados de la ecuación por menos 6.25, vemos que 𝑎 es igual a uno. Y si 𝑎 es igual a uno, entonces nuestra forma factorizada es 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 por 𝑥 menos cinco. Siempre debemos verificar el valor de 𝑎 porque, como acabamos de dibujar en la parte superior de esta gráfica, aquí hay una ecuación que tiene los mismos factores. Sin embargo, en este caso, 𝑎 es menor que cero porque la gráfica se abre hacia abajo, lo que demuestra que no es suficiente con conocer los factores. También necesitamos conocer el valor de 𝑎.

Antes de terminar, vamos a resumir lo que hemos aprendido. Usando las formas de las funciones cuadráticas, 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐, y 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 por 𝑥 menos ℎ al cuadrado más 𝑘, podemos identificar las características de la gráfica. Para la orientación de la parábola de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐, si 𝑎 es mayor que cero, la parábola se abre hacia arriba. Si 𝑎 es menor que cero, la parábola se abre hacia abajo. La intersección con el eje 𝑦 es el punto de coordenadas cero, 𝑐.

Para hallar la coordenada 𝑥 del vértice, hacemos menos 𝑏 sobre dos 𝑎. Para hallar la coordenada 𝑦 del vértice, hallamos la coordenada 𝑥 y luego la reemplazamos en la función. Y para 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 por 𝑥 menos ℎ al cuadrado más 𝑘, la forma de vértice. Cuando 𝑎 es mayor que cero, la parábola se abre hacia arriba. Cuando 𝑎 es menor que cero, la parábola se abre hacia abajo. Y el vértice está ubicado en el punto ℎ, 𝑘.

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