Vídeo: Determinar el punto que maximiza una función objetivo haciendo uso del gráfico de las restricciones

Usando programación lineal, determina el valor mínimo y el valor máximo de la función 𝑝 = 4𝑥 − 3𝑦 con las restricciones 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 9, y 𝑦 ≥ 5.

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Transcripción del vídeo

Usando programación lineal, determina el valor mínimo y el valor máximo de la función 𝑝 es igual a cuatro 𝑥 menos tres 𝑦 con las restricciones 𝑥 es mayor o igual que cero, 𝑦 es mayor o igual a cero, 𝑥 más 𝑦 es menor o igual que nueve y 𝑦 es mayor o igual a cinco.

Tenemos cuatro inecuaciones lineales en las variables 𝑥 y 𝑦, y esas son nuestras restricciones. Además del texto del problema, también se nos ha dado un gráfico donde la región factible ha sido coloreada; ese es el conjunto de todas las soluciones factibles. Esta región coloreada muestra donde las restricciones se satisfacen. Este es un conjunto de soluciones factibles, que es el dominio de la función objetivo que tenemos que maximizar o minimizar, o, en este problema, ambas cosas.

En nuestro problema, la región factible es un triángulo. En general, la región factible será un polígono en un problema de programación lineal. Y el problema nos pide que hallemos los valores extremos de la función objetivo 𝑝, que es igual a cuatro 𝑥 menos tres 𝑦, en esta región factible; donde 𝑥 y 𝑦 son las coordenadas 𝑥 y 𝑦 de un punto en la región factible. Podrás pensar que esto va a ser difícil porque vamos a tener que comprobar el valor de esta función para cada punto en este triángulo, pero en realidad solo tenemos que comprobar los vértices.

Los máximos y mínimos de una función objetivo lineal, como la que tenemos, siempre se alcanzan en los vértices de la región factible. Por lo tanto, solo tenemos que calcular esta función en los tres vértices. Así que, ¿cuál es el valor de la función en el vértice cero, nueve? Nuestra función objetivo 𝑝 es cuatro 𝑥 menos tres 𝑦. Nuestro valor de 𝑥 es cero, y nuestro valor de 𝑦 es nueve. Por lo que tenemos cuatro por cero menos tres por nueve, que es menos 27.

Es el mismo proceso para el vértice cero, cinco. Nuestra función objetivo es cuatro 𝑥 menos tres 𝑦. Y al sustituir los valores de 𝑥 y 𝑦, obtenemos que el valor de la función objetivo en este punto es menos 15. Y, por último, tenemos el vértice cuatro, cinco para el que la función objetivo es cuatro por cuatro menos tres por cinco, que es uno.

Los valores de la función objetivo en los vértices son menos 27, menos 15 y uno. De estos tres valores, el mínimo es menos 27 y el máximo es uno. Y estos no son solo los mínimos y máximos en los vértices de la región factible; son los mínimos y máximos en toda la región factible, incluyendo el interior y los extremos.

Así que los valores máximos y mínimos de la función 𝑝 igual a cuatro 𝑥 menos tres 𝑦 con las restricciones 𝑥 es mayor o igual a cero, 𝑦 es mayor o igual a cero, 𝑥 más 𝑦 es menor o igual a nueve, y 𝑦 es mayor o igual a cinco, son menos 27 y uno.

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