Video Transcript
En este video, vamos a ver algunos datos presentados en un diagrama de dispersión, y vamos a dibujar una recta de mejor ajuste. Luego vamos a hallar una ecuación de esa recta y vamos a interpretar el significado de la tasa de cambio o pendiente y el valor de la intersección con 𝑦.
Las tarifas cobradas por algunos taxis para recorridos de diferentes longitudes se muestran en la tabla de valores a continuación. Tenemos una tabla de valores que muestra la distancia en millas y la tarifa en dólares de estos diferentes recorridos dentro de la ciudad. Ahora bien, esto no es realmente una pregunta; es una afirmación. Pero lo que vamos a hacer es crear un diagrama de dispersión, después vamos a tratar de encontrar la recta de mejor ajuste, y luego vamos a intentar interpretar el significado de esa recta de mejor ajuste, y vamos simplemente hablar sobre el tema e interpretar los datos.
Primero pensemos en nuestras variables 𝑥 y 𝑦. En términos generales, pensamos que cuanto más lejos vas en taxi, más te van a cobrar. Así que la distancia es 𝑥, que es la variable independiente, y la tarifa 𝑦, que es la variable dependiente. Y eso es lo que vamos a usar. Ahora bien, con los datos que tenemos, la variable 𝑥 sube a aproximadamente veinte y la variable 𝑦 sube a cincuenta y cinco. Solo hemos dibujado algunos ejes allí y los hemos rotulado: el 𝑦 es la tarifa y el eje 𝑥 es la distancia. Así que ahora vamos a tomar todas esos pares de números individualmente y los representaremos en los ejes de coordenadas
Solo tomamos, para cada par ordenado, tomamos el valor 𝑥 y el valor 𝑦 y los usamos como nuestras coordenadas 𝑥 y 𝑦 y simplemente los representamos todos. La distribución de esos puntos en el gráfico sugiere fuertemente una recta. Así que lo que vamos a hacer es tratar de crear una recta que pase tan cerca de esos puntos como sea posible, con una distribución bastante uniforme de los puntos por encima y por debajo de esa recta. Así que la recta debe ser más o menos así. Podemos usar esta recta para hacer predicciones sobre tarifas. Por ejemplo, si tenemos un recorrido de aproximadamente cinco millas por hacer, si dibujamos una recta que va desde las cinco millas hasta nuestra recta de mejor ajuste y luego trazamos el mapa hasta el eje 𝑦, podemos ver que eso nos costará unos dieciocho dólares. Y, mirando desde el otro lado, si tenemos cuarenta dólares para gastar, ¿hasta dónde podemos llegar con cuarenta dólares? Si pasamos desde 40 dólares a la recta de mejor ajuste y luego bajamos hasta el eje 𝑥, llegaremos hasta unas catorce millas aproximadamente. Así que nuestro gráfico aquí, la recta de mejor ajuste en ese gráfico tiene un significado. Nos permite hacer predicciones sobre la tarifa del taxi sabiendo la distancia que hemos viajado, y hacer predicciones sobre la distancia que podemos recorrer con una tarifa determinada.
Ahora bien, el hecho de que estos puntos no estén todos exactamente en la recta de mejor ajuste, todos son ligeramente diferentes, nos dice que, esta recta de mejor ajuste no nos da un valor exacto; solo nos da una aproximación. Por lo tanto, la recta de mejor ajuste es una regla aproximada que describe aproximadamente la relación entre la cantidad de millas que estamos viajando y la tarifa real del taxi. El hecho de que los puntos estén generalmente bastante cerca de esa recta nos dice que parece representar una aproximación bastante buena y que los números que vamos a obtener de las predicciones serán bastante próximos a los reales. Pero recuerda, solo se basa en los datos que tenemos para recorridos entre tres y 20 millas, y solo se basa en ocho recorridos en taxi reales, por lo que no sería sensato esperar necesariamente que se aplique la misma regla a recorridos de cincuenta o cien o incluso mil millas. Así que dentro de las limitaciones de las que acabamos de hablar. La tarifa del taxi parece seguir aproximadamente una relación lineal, como se muestra en este gráfico. Pero cuando usamos el gráfico para hacer las predicciones, es bastante difícil leer los valores exactos. Así que, lo que vamos a hacer es calcular la ecuación de esa recta, y luego podemos sustituimos números en nuestra ecuación y obtener números como resultados.
Para calcular la ecuación de esa recta, debemos recordar que necesitamos obtener dos números: necesitamos la pendiente de la recta y necesitamos la ordenada 𝑦 en el origen. Y la intersección con el eje 𝑦 es relativamente fácil de ver. Parece que será cinco más o menos. Y la pendiente, recuerda, es cada vez que aumentamos la abscisa 𝑥 en una unidad, en cuánto aumenta la ordenada 𝑦. Ahora bien, si hacemos esto aquí, algo así como la distancia entre aquí y aquí, es bastante difícil en estos ejes particulares con las escalas que tenemos que utilizar. Así que lo que vamos a hacer es buscar puntos que estén exactamente en ejes de coordenadas y que estén lo más separados posible, así que tomaremos este de aquí y este de aquí. Y vamos a usar la definición de pendiente, que es la diferencia en coordenadas 𝑦 dividida por la diferencia en coordenadas 𝑥. Entre estos dos puntos, la coordenada 𝑦 pasa de diez aquí a cincuenta aquí, así que la diferencia es cincuenta menos diez. Y para la coordenada 𝑥, tenemos que subir de dos aquí a dieciocho aquí, por lo que la diferencia es dieciocho menos dos. Y eso se convierte en cuarenta sobre dieciséis, que se simplifica a cinco sobre dos. Esto significa que tenemos una pendiente de cinco sobre dos, y tenemos una intersección con 𝑦 de cinco. Como la relación es una relación lineal, tenemos una gráfica que es una recta, así que vamos a usar la forma general de la ecuación 𝑦 igual a 𝑚 𝑥 más 𝑏, y la pendiente es cinco sobre dos, y la ordenada en el origen es cinco, así que podemos utilizar esos números. Y sabemos que 𝑦 es la tarifa en dólares; así que decir que el multiplicador es cinco sobre dos es perfectamente exacto. Como estamos hablando de dinero, probablemente es mejor decir que son dos dólares cincuenta centavos o dos punto cinco dólares, por lo que nuestra ecuación se convierte en 𝑦 igual a dos punto cinco 𝑥 más cinco. Y la forma en que interpretamos esos números es que la intersección es cinco; esa es la coordenada 𝑦 cuando 𝑥 es igual a cero. Esto significa que solo por subir al taxi, estos taxistas están cobrando cinco dólares, así que eso es una especie de tarifa de inicio para su viaje. Y luego, la pendiente nos dice cuánto están cobrando cada vez que 𝑥 aumenta en una unidad, por lo que 𝑥 es la cantidad de millas que recorres en el taxi. Básicamente, por cada milla que recorres, te cobran dos dólares con cincuenta centavos. Así que nuestra interpretación es que cada tarifa consiste en una tarifa fija de cinco dólares más dos dólares cincuenta por milla de viaje. Ahora bien, esto es solo una aproximación como dijimos; ninguna de las tarifas coincide exactamente porque ninguno de los puntos está exactamente en la recta, pero todos están bastante cerca de eso. Esa es la regla general que siguen bastante de cerca.
Y ahora tenemos la ecuación; probablemente podemos usarla más fácilmente que usar el gráfico para hacer predicciones sobre cuánto costará cada recorrido. Así que, usando el gráfico, si vamos a recorrer ocho millas, tendremos que subir a la gráfica de aquí y luego cruzar horizontalmente, por lo que la estimación es que serán veinticinco, veinticuatro o veintiséis dólares. Pero si ponemos el número directamente en la ecuación, podemos ver que el costo será dos punto cinco por ocho más cinco. Son veinte más cinco, que son veinticinco dólares. Por lo tanto, es más fácil obtener respuestas precisas usando la ecuación. Para usar la ecuación para hacer predicciones en la otra dirección, digamos que tenemos treinta y cinco dólares y queremos saber aproximadamente qué tan lejos llegaremos con nuestros treinta y cinco dólares, tendremos que reorganizar esa ecuación, tendremos que despejar la variable 𝑥. Lo que vamos a hacer aquí es quitar cinco de ambos lados de la ecuación, lo que nos da 𝑦 menos cinco en el lado izquierdo y dos punto cinco 𝑥 en el lado derecho porque cinco menos cinco es cero. Y ahora, si dividimos ambos lados por dos punto cinco, sabemos a qué es igual 𝑥. Por lo tanto, la distancia que podemos recorrer con una tarifa determinada es 𝑦 menos cinco sobre dos punto cinco. Digamos, por ejemplo, que tenemos 35 dólares, en ese caso podemos sustituir 𝑦 por 35. 𝑥, el número de millas que podemos recorrer será treinta y cinco menos cinco; eso es treinta, sobre dos punto cinco, que es doce millas.
En el gráfico se vería así, pero es más fácil obtener una respuesta más precisa cuando se trabaja con ecuaciones y números. Así que seguimos el proceso hasta el final. Comenzamos con una tabla de valores aquí. A partir de ahí, trazamos la gráfica. A partir de la gráfica, calculamos esta ecuación, y hemos visto cómo podemos usar esa ecuación para hacer predicciones de tarifas basadas en qué tan lejos estamos viajando o qué tan lejos podemos llegar con una cantidad determinada de dinero. También hemos interpretado esa ecuación y hemos visto que cinco nos dice cuál es la tarifa fija por cada recorrido, y la pendiente dos punto cinco nos dice que estamos cobrando dos dólares cincuenta o aproximadamente por milla recorrida. Lo único que no hemos considerado en todo esto es para esta función en particular, esa ecuación, esa ecuación que representa la función para la relación entre la distancia y la tarifa, ¿cuál sería un dominio adecuado? Puesto que no cobramos cantidades negativas si conducimos hacia atrás a diferentes lugares, probablemente tenga sentido decir que la distancia que recorremos siempre es positiva. En términos matemáticos, tiene sentido poner una restricción a los números que podemos poner en esta ecuación diciendo que los valores de 𝑥, el número de millas, tiene que ser al menos cero para que esto tenga algún tipo de sentido.
Habiendo hecho todo eso, vamos ahora a hacer un ejemplo más y lo haremos un poco más rápido.
Se les pidió a nueve estudiantes que midieran el diámetro y la circunferencia de nueve círculos diferentes, o sea, que cada estudiante midiera un círculo, y los resultados se muestran en la tabla a continuación. Cada estudiante ha realizado la medición, pero no han hecho ningún cálculo aquí, solo tomaron una regla o un trozo de cuerda y midieron estas distancias. Por ejemplo, el primer estudiante tenía un diámetro de dos pulgadas en su círculo y una circunferencia de seis pulgadas. Lo que vamos a hacer es representar eso en un gráfico de dispersión. Y luego vamos a hacer una recta de mejor ajuste, vamos a calcular la ecuación de esa recta de mejor ajuste, y luego trataremos de interpretar algunos de los parámetros. Así que lo primero es lo primero, necesitamos definir cuáles son nuestras coordenadas 𝑥 y 𝑦. Digamos 𝑥, establecemos el diámetro del círculo y eso determina cuál es la circunferencia, así que vamos a usar 𝑥 para el diámetro y 𝑦 para la circunferencia, y luego vamos a tratar cada uno de ellos como un par ordenado y usar la coordenada 𝑥 y la coordenada 𝑦, y graficar esos puntos.
Y esto es lo que obtenemos. La mayoría de los puntos sugieren una relación en línea recta entre 𝑥 y 𝑦, entre el diámetro y la circunferencia, pero hay un punto que se ve muy diferente a los demás. ¿Qué está pasando aquí? Nos vienen a la mente varias posibilidades diferentes. Puede ser que la regla que estaba usando ese estudiante fuera extraordinariamente sensible a los cambios de temperatura, por lo que se expande y contrae a medida que se calienta o se enfría, y tal vez estaban midiendo en un entorno donde la temperatura estaba cambiando rápidamente. Puede ser que hubiera un extraño evento gravitacional cerca que deformó enormemente el espacio-tiempo mientras el estudiante estaba haciendo sus mediciones. Puede ser que hayan encontrado un círculo extraño que es muy diferente y tiene propiedades diferentes a todos los otros círculos o tal vez puede ser que el estudiante simplemente midiera muy mal o simplemente escribiera los números al revés. No sabemos cuál de esas posibilidades es la situación real, y, en realidad, no podemos hacer ninguna suposición. Parece que lo más probable es que hayan intercambiado el diámetro y la circunferencia. Pero debido a que estos son datos secundarios, no tenemos acceso a los círculos originales, no tenemos acceso a los estudiantes, así que lo que vamos a hacer es simplemente admitir que el dato es muy diferente. Probablemente esté mal; así que vamos a ignorar ese dato por ahora. Pero debes tener mucho cuidado al deshacerte de los datos extraños o anómalos porque obviamente puedes sesgar los resultados. Pero por lo que sabemos sobre los círculos, su circunferencia y la geometría en general, creo que está bastante claro que este es un dato poco fiable, así que en este caso particular podemos ignorarlo. Así que vamos a obtener una recta de mejor ajuste usando solamente el resto de los puntos.
Y esta parece una recta razonable de mejor ajuste para el resto de esos puntos. Para calcular la ecuación de esa recta, tenemos que hallar la intersección y la pendiente. Bien, esa recta parece pasar por el origen. Así que la intersección con el eje 𝑦, que es cuando 𝑥 es cero, el valor de 𝑦 es cero. Y para calcular la pendiente, vamos a elegir dos puntos que están en nuestras líneas de cuadrícula, y calculamos la diferencia en 𝑥 y la diferencia en 𝑦 nuevamente. Al ir de este punto a este punto, la coordenada 𝑦 ha subido de cero a treinta, por lo que la diferencia en la coordenada 𝑦 es treinta. Y entre esos mismos dos puntos, la coordenada 𝑥 va desde cero hasta nueve punto cinco. Así que la pendiente va a ser treinta dividido por nueve punto cinco, que es aproximadamente tres punto uno seis. Y debido a que tenemos una relación lineal, nuestra ecuación será 𝑦 igual a 𝑚 𝑥 más 𝑏, y hemos calculado que la pendiente es tres punto uno seis y la intersección es cero. Así que nuestra ecuación 𝑦 es igual a tres punto uno seis 𝑥 más cero. Por otra parte, generalmente no nos molestamos en escribir más cero al final de nuestras ecuaciones, así que el resultado es tres punto uno seis 𝑥.
Recordando que 𝑥 representa el diámetro en pulgadas y que 𝑦 representa la circunferencia en pulgadas, para esos círculos que estamos diciendo, con estos datos que tenemos, calculamos que la circunferencia es aproximadamente igual a tres punto uno seis veces el diámetro. E interpretando un poco esos parámetros, vemos que la intersección aquí en cero, tiene sentido; por lo tanto, si tenemos un círculo que tiene un diámetro de cero, en realidad no tenemos un círculo, por lo que la circunferencia también será cero. Estamos contentos con esta interpretación, y significa que cada vez que agregamos una pulgada al diámetro de nuestro círculo, vamos a añadir a la circunferencia eso multiplicado por tres punto uno y seis. Por lo tanto, cada pulgada adicional en el diámetro suma tres punto uno seis pulgadas a la circunferencia del círculo. Seguramente, aquellos de ustedes que prestan atención en sus clases de Geometría, estarán pensando: «¡Pero sabemos que la circunferencia de un círculo es 𝜋 veces el diámetro!». Lo que verdaderamente hemos hecho en nuestro pequeño experimento de aquí con estos nueve estudiantes es calcular usando técnicas estadísticas una aproximación para el valor de 𝜋. Estas dos maneras de hacer las cosas son completamente compatibles entre sí, excepto que una de ellas es un poco más inexacta que la otra. Debido a que nuestros estudiantes están midiendo, no siempre lo hacen con una precisión del cien por cien, por lo que algunos de estos puntos no están del todo en la recta, aunque en teoría todos deberían estar exactamente en una. Pero con todos estos errores, cuando sumamos todos estos errores, nuestra estimación del valor de 𝜋 ha resultado ligeramente incorrecta; es tres punto uno seis en lugar de tres punto uno cuatro uno cinco nueve etcétera. Pero, no obstante, no es una mala estimación. Con suerte, el par de ejemplos que acabamos de ver te habrán dado la oportunidad de ver el valor de los diagramas de dispersión y lo útiles que pueden ser para interpretar datos. Pero quizás lo más importante es que te han permitido calcular la ecuación de una recta e interpretar algunos de los valores. Hemos interpretado la ordenada en el origen, o sea, la intersección con el eje 𝑦 y la pendiente de esa recta, en un contexto de la vida real.
