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Vídeo de la lección: Producto escalar en el plano

En este video, vamos a aprender cómo calcular el producto escalar, o producto punto, de dos vectores en el plano.

14:58

Transcripción del vídeo

Hay tres formas de multiplicar un vector. Podemos realizar el producto de un vector por un número real en el que multiplicamos cada componente del vector por un número real o escalar. Por ejemplo, para obtener tres 𝑣, simplemente multiplicamos cada componente en el vector 𝑣 por el número tres. También podemos multiplicar vectores por vectores y tenemos dos opciones diferentes: el producto escalar y el producto vectorial. En este video, solo vamos a ver el producto escalar —también llamado producto punto—, vamos a ver algunas formas sencillas de usarlo, y también vamos a ver algunos ejemplos.

¡Bien!

Así que tenemos el vector 𝑢, que es siete dos, y el vector 𝑣, que es tres seis, y nos han pedido que calculemos el producto escalar de 𝑢 y 𝑣. Entonces la notación que usamos es la 𝑢 con un punto y luego la 𝑣. El punto no está abajo del todo, al pie de las letras. Está a media altura, si ves lo que quiero decir, entre 𝑢 y 𝑣, así que esta es la notación para el producto escalar.

Veamos, cuando calculamos el producto escalar, obtenemos una respuesta que es un escalar, o sea, un número real. Echemos un vistazo a esto. Vamos a escribir los vectores en su forma de pares ordenados. En este caso, siete coma dos punto tres coma seis. Y para hacer esto, simplemente hemos de sumar el producto de las componentes horizontales y el producto de las componentes verticales. Primero que nada, vamos a multiplicar siete por tres, y luego vamos a sumar dos por seis.

Eso se ve un poco raro, siete punto tres más dos punto seis. Y no significa siete punto tres más dos punto seis. Significa siete por tres más dos por seis, pues los puntos, que están a media altura como hemos dicho, indican multiplicación. No usamos el aspa, el signo normal de multiplicación, porque esa notación es la usada para el producto vectorial de vectores. En definitiva, esto es simplemente notación a la que tenemos que acostumbrarnos porque es la que se usa para el producto escalar de dos vectores. Así pues, cuando vemos este punto, que está a media altura, significa que estamos multiplicando esas dos cosas. Sabemos que siete por tres son veintiuno, dos por seis son doce. Cuando los sumamos, obtenemos treinta y tres. Como hemos dicho, para el producto escalar de dos vectores, simplemente multiplicamos cada componente correspondiente y luego sumamos todos esos resultados, y la respuesta que obtenemos es simplemente un número, un escalar.

Resumamos esto. El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de las coordenadas correspondientes, por lo que multiplicamos las coordenadas 𝑥 y luego sumamos el producto de las coordenadas 𝑦 en este caso.

Así que estábamos trabajando con un ejemplo bidimensional, pero que también se puede extender a tres, cuatro…, o cualquier dimensión que queramos. Ahora, obviamente, los vectores 𝑢 y 𝑣 deben tener la misma dimensión, pero, podemos tener una, dos, tres, cuatro coordenadas, tantas como queramos, hasta 𝑛 dimensiones en cada uno, y todo lo que tenemos que hacer es multiplicar las coordenadas correspondientes. Eso es 𝑢 uno por 𝑣 uno, y el resultado de eso es solo un escalar, un número real. Después, 𝑢 dos por 𝑣 dos. Luego, vamos a sumar 𝑢 tres por 𝑣 tres y todos los demás 𝑢 cuatro 𝑣 cuatro, 𝑢 cinco 𝑣 cinco y así sucesivamente hasta 𝑢 𝑛 por 𝑣 𝑛. Y así, simplemente estamos multiplicando un número por un número, un número por un número, un número por un número, etcétera, y sumando todos estos productos. La respuesta que obtendremos es simplemente un número real o escalar. Y así es el proceso desarrollado hasta 𝑛 dimensiones, tantas dimensiones como queramos.

Y, ya que estamos aquí, revisemos rápidamente las magnitudes de los vectores y para ello vamos a usar otro vector. Aquí tenemos el vector 𝐴𝐵 que tiene una coordenada 𝑥 igual a cinco y una coordenada 𝑦 igual a doce. Ahora bien, debes recordar que, si queremos calcular el módulo del vector 𝐴𝐵, lo que necesitamos hacer es usar el teorema de Pitágoras y calcular la raíz cuadrada de cinco al cuadrado más doce al cuadrado, y, para aquellos de ustedes que sienten curiosidad, la respuesta es trece. Pero eso es un poco irrelevante para lo que sigue. Lo que vamos a hacer va a ser fijarnos bien en lo que hay dentro de esta raíz cuadrada de aquí, dentro de este signo radical de aquí, y observar bien esa expresión que tenemos. Imagina que estamos calculando el producto escalar del vector 𝐴𝐵 por el vector 𝐴𝐵. Será cinco doce punto cinco doce. Hemos visto que simplemente tenemos que multiplicar componente por componente, las componentes correspondientes, y sumar los resultados. Esto es cinco por cinco más doce por doce, lo que nos da cinco al cuadrado más doce al cuadrado. Por lo tanto, en realidad, lo que tenemos aquí es lo mismo que tenemos aquí, así que lo que hay dentro de esa raíz cuadrada es 𝐴𝐵 punto 𝐴𝐵. Así que la magnitud del vector 𝐴𝐵 es simplemente la raíz cuadrada de 𝐴𝐵 punto 𝐴𝐵, y lo hemos demostrado con un ejemplo bidimensional, pero también funciona en tres dimensiones, cuatro dimensiones…, tantas dimensiones como queramos. Se trata de un resultado bastante sencillo de usar y muy útil. Entonces, todo lo que esto significa es que hallamos el cuadrado de cada componente, los sumamos y luego los ponemos dentro de la raíz cuadrada.

Bien, ahora nos hemos familiarizado un poco con el producto escalar y hemos efectuado uno, y no te preocupes, vamos a practicar un poco más enseguida. Aquí hay otro resultado útil que nos ayudará a hallar el ángulo entre dos vectores. Si tenemos dos vectores 𝑢 y 𝑣 —pueden ser bidimensionales, pueden ser tridimensionales, pueden ser de cualquier dimensión, como dijimos antes—, el coseno del ángulo entre ellos es el vector 𝑢 dividido por el módulo de 𝑢. Así que ese es el vector unitario en la dirección del vector 𝑢 punto el vector unitario de 𝑣 en la dirección del vector 𝑣. Así que, como dijimos, 𝜃, es el ángulo entre esos dos vectores, de modo que este es un gran resultado; y podemos reorganizar esto. Si cos 𝜃 es igual a todo eso, entonces 𝜃 es igual a cos al menos uno de todo eso. Es solo otra pequeña reorganización de la fórmula. Si hallamos el producto escalar de los vectores unitarios en las direcciones de 𝑢 y 𝑣, obtenemos el coseno del ángulo entre ellos y, a partir de ahí, podemos hallar el ángulo entre ellos. Veamos ahora un par de ejemplos de eso en acción.

¡Perfecto! Aquí nos dan un vector 𝑢 igual a cuatro uno y un vector 𝑣 cuya forma en coordenadas es dos cinco. Y vamos a hacer dos cosas solamente: 1) hallar el producto escalar de esos dos vectores y 2) hallar el ángulo entre ellos. Primero, hagamos un bosquejo rápido de esta situación. Tenemos el vector 𝑢 igual a cuatro uno, el vector 𝑣 igual a dos cinco, lo que se ve más o menos así, y lo que también estamos tratando de hallar es este ángulo 𝜃, que es el ángulo entre los dos vectores. ¡De acuerdo! Sigamos adelante y hagamos esto. Entonces, para hallar el producto escalar de los dos vectores, recuerda que solo tenemos que multiplicar las componentes 𝑥 y sumarlas al producto de las componentes 𝑦. Eso es cuatro por dos y uno por cinco, que es ocho más cinco, que es igual a trece. Esta parte de la cuestión fue bastante rápida. El producto escalar de 𝑢 y 𝑣 es trece.

Ahora, para hallar el ángulo entre ellos, sabemos que el coseno del ángulo entre ellos es el producto escalar de los vectores unitarios en las direcciones de 𝑢 y 𝑣. Y para hallar los vectores unitarios, tomamos el vector 𝑢 y lo dividimos por su módulo, y tomamos el vector 𝑣 y lo dividimos por su módulo. Así que escribamos algunos números. Para calcular el módulo del vector 𝑢, que era cuatro uno, hallamos la raíz cuadrada de cuatro al cuadrado más uno al cuadrado. Tomamos cada una de estas componentes, elevamos al cuadrado, sumamos el resultado, sacamos la raíz cuadrada de eso. Se trata básicamente de aplicar el teorema de Pitágoras, y hacemos lo mismo para 𝑣. Y como las componentes de 𝑣 eran dos y cinco, es simplemente uno sobre la raíz cuadrada de dos al cuadrado más cinco al cuadrado, y esta es la parte del vector 𝑣. Todo esto significa que tenemos cada componente de 𝑢 dividida por la magnitud, y luego tendremos cada componente de 𝑣 dividida por su magnitud también. Así que cuatro al cuadrado más uno al cuadrado; eso es dieciséis más uno. Tenemos raíz de diecisiete. Y luego solo dividimos la componente 𝑥 por la raíz de diecisiete y la componente 𝑦 por la raíz de diecisiete. Ahora hacemos lo mismo para 𝑣, dos al cuadrado es cuatro, cinco al cuadrado es veinticinco, y tenemos, pues, uno sobre raíz de veintinueve. Y dividiendo cada una de las coordenadas 𝑥 y 𝑦 por la raíz de veintinueve, ese vector ahora se convierte en dos sobre la raíz de veintinueve, cinco sobre la raíz de veintinueve. Haciendo el producto escalar, vamos a multiplicar este término por este término, y vamos a multiplicar este término por este término y vamos a sumar los resultados. Por lo tanto, cos 𝜃 es igual a cuatro sobre raíz de diecisiete por dos sobre raíz de veintinueve más uno sobre raíz de diecisiete por cinco sobre raíz de veintinueve. Y cuatro por dos es ocho, y diecisiete por veintinueve es cuatrocientos noventa y tres. Así que tenemos ocho sobre raíz de cuatro, nueve, tres. Una vez cinco es cinco, por lo que es cinco sobre raíz de cuatro, nueve, tres. Ocho y cinco suman trece, así que cos 𝜃 es igual a trece sobre raíz de cuatro nueve tres. Y ahora solo necesitamos hallar la inversa del coseno de eso. Así que, cos a la menos uno de trece sobre raíz de cuatro nueve tres es cincuenta y cuatro punto dos a una cifra decimal, y esa es nuestra respuesta. Esa es nuestra respuesta en grados y una cifra decimal, por lo que este ángulo aquí es cincuenta y cuatro punto dos grados con una cifra decimal.

Así que, toda esa parte b se basa en el hecho de que el coseno del ángulo entre los vectores es igual al producto escalar de los vectores unitarios en las direcciones de 𝑢 y 𝑣. Y para obtener un vector unitario, tomamos el vector y lo dividimos por su módulo para hacer que tenga un módulo de uno. Hicimos todo eso, hallamos la inversa del coseno y obtuvimos nuestra respuesta final.

Veamos un ejemplo más.

Halla el ángulo entre el vector 𝑢 que es tres menos dos y el vector 𝑣 que es menos cinco menos tres. Para comenzar, hagamos un bosquejo rápido para ver qué pinta tiene esto.

𝑢 es tres menos dos y 𝑣 es menos cinco menos tres, y el ángulo entre ellos será este ángulo de aquí. Lo llamaremos 𝜃, ¿de acuerdo? No necesitamos calcular el producto escalar de 𝑢 y 𝑣 para empezar. Eso fue solo en la cuestión anterior. Todo lo que nos piden es que usemos el resultado de que cos 𝜃 es igual al producto escalar de los vectores unitarios en las direcciones de 𝑢 y 𝑣. Así que, de hecho, vamos a reorganizar esto y hacer 𝜃 igual a cos al menos uno de todo eso, así que escribamos eso. Siempre es una buena idea escribir el resultado que queremos obtener para que el resultado sea el que dirija nuestro cálculo. ¡Correcto! Hagamos un poco de sustitución ahora. Sabemos cómo calcular el módulo de 𝑢; es simplemente la raíz cuadrada de tres al cuadrado más menos dos al cuadrado, y podemos escribir eso ahora. Y lo mismo para el vector 𝑣. Notarás que esto comienza a verse un poco enmarañado porque lo hemos reorganizado como 𝜃 igual a cos a la menos uno. Estoy escribiendo esto, todos estos paréntesis grandes, para que puedas tomar una decisión sobre si usar esta forma o la forma anterior, que acabamos de usar, y luego al final sacar cos a la menos uno. Pero continuemos con el ejercicio de todos modos, evaluemos cada uno de estos términos. Bien, tres al cuadrado más menos dos al cuadrado es trece, por lo que el vector 𝑢 se convierte en tres sobre raíz de trece menos dos sobre raíz de trece. Y luego, pasando al vector 𝑣, cinco al cuadrado más tres al cuadrado nos da treinta y cuatro. Así que las componentes 𝑣 son menos cinco sobre la raíz de treinta y cuatro y menos tres sobre la raíz de treinta y cuatro. Solo nos queda hacer el producto escalar de estos. Tenemos esta componente multiplicada por esta componente más esta componente multiplicada por esta componente, lo que nos da esto. Y ahora, acabamos de llegar a..., tenemos tres sobre raíz de trece por menos cinco sobre raíz de treinta y cuatro, y tengo menos dos por menos tres sobre raíz de trece por raíz de treinta y cuatro. Esto nos da menos quince sobre raíz de cuatro cuatro dos más seis sobre raíz de cuatro cuatro dos. Sumamos esos dos, y obtenemos menos nueve sobre raíz de cuatro, cuatro, dos. Entonces, si usamos la calculadora y hacemos el coseno inverso de nueve sobre raíz de cuatro cuatro dos, obtenemos un ángulo de ciento quince punto tres grados con una cifra decimal. ¡Ahí la tenemos! Esa es nuestra respuesta. Ahora, volvamos rápidamente al diagrama para asegurarnos de que todo está bien. Hemos hallado un ángulo de ciento quince grados, que encaja con este diagrama. No hemos obtenido este ángulo de afuera. A veces solo necesitamos verificar exactamente qué ángulo está calculado para nosotros, así que con suerte lo tenemos claro.

Bien, hagamos un breve resumen de lo que hemos visto en este video. El producto escalar de dos vectores: simplemente emparejamos las coordenadas correspondientes de los vectores y las multiplicamos, y así obtenemos 𝑢 punto 𝑣. Tenemos 𝑢 uno 𝑣 uno más 𝑢 dos 𝑣 dos más 𝑢 tres 𝑣 tres hasta 𝑢 𝑛 𝑣 𝑛, así que un caso simple es el que hemos visto en nuestro ejemplo, que es el caso en dos dimensiones. Pero se puede extender a cualquier dimensión que queramos. Y el resultado es simplemente un número, un número real, un escalar. Y también el producto escalar de los vectores unitarios en las direcciones de los dos vectores nos da el coseno del ángulo entre ellos, lo que nos permite calcular el ángulo entre dos vectores. Definitivamente muy útil. Bien, eso es todo por ahora.

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