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Vídeo de la lección: Volúmenes de conos

En este video, vamos a aprender cómo calcular el volumen de un cono y cómo resolver problemas varios incluyendo en contextos de la vida real.

14:34

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo calcular el volumen de un cono y cómo resolver problemas varios incluyendo en contextos de la vida real. Vamos a comenzar con la definición de cono y la explicación de la fórmula que se usa para calcular su volumen.

Consideremos un cono como el que se muestra en el diagrama. Un cono es un cuerpo geométrico que tiene una base circular y un lado curvo que termina en un solo vértice. Un cono recto es un cono cuyo vértice se halla en la recta perpendicular a la base y que pasa por el centro de la base. Como la base es circular, podemos decir que el vértice está situado sobre el centro del círculo. La altura del cono es la distancia desde el vértice hasta la base. Esto se llama, a veces, altura perpendicular. La generatriz de un cono es la distancia que hay desde el vértice hasta la circunferencia de la base. Finalmente, el radio, la altura y la generatriz forman un triángulo rectángulo dentro del cono.

Habiendo recordado los elementos básicos del cono, consideremos ahora su volumen. El volumen de un cono es igual a un tercio de 𝜋𝑟 al cuadrado por ℎ. Como la base de un cono es circular, 𝜋𝑟 al cuadrado es el área de la base. ℎ es la altura, o altura perpendicular, desde el centro de la base hasta el vértice o cúspide. El radio es la distancia desde el centro de la base hasta su circunferencia.

Veamos un ejemplo en el que el radio de la base circular es de cuatro centímetros y la altura del cono es de 12 centímetros. El volumen del cono es igual a un tercio multiplicado por 𝜋 multiplicado por cuatro al cuadrado multiplicado por 12. Cuatro al cuadrado es igual a 16. Un tercio por 12 o un tercio de 12 es cuatro. Nos quedamos con 𝜋 por 16 multiplicado por cuatro. 16 por cuatro es igual a 64. Por tanto, el volumen es igual a 64𝜋. Y expresamos el volumen en unidades cúbicas. El volumen de este cono es 64𝜋 centímetros cúbicos. Podemos expresar la respuesta como un decimal multiplicando 64 por 𝜋. Esto nos da 201.0619, etcétera. Y, redondeándolo a dos cifras decimales, obtenemos un volumen de 201.06 centímetros cúbicos.

A continuación, vamos a ver preguntas específicas en las que debemos hallar el volumen de un cono.

Calcula el volumen de un cono de 10.5 de diámetro y 11.3 de altura. Expresa la respuesta con dos cifras decimales.

Comencemos por dibujar un diagrama del cono. Nos dicen que su diámetro es 10.5. Esta es la distancia desde un lado de la base circular al otro, pasando a través del centro. La altura del cono es igual a 11.3. Esta es la distancia desde la cúspide del cono hasta el centro de la base. Para calcular el volumen de un cono, usamos la fórmula un tercio de 𝜋𝑟 al cuadrado multiplicado por ℎ. En este punto, sabemos la altura del cono, pero no sabemos su radio.

El radio de la base circular es la distancia desde el centro hasta la circunferencia del círculo. Esto es igual a la mitad del diámetro. Por lo tanto, para calcular el radio, dividimos 10.5 por dos. Esto es igual a 5.25. Y ahora tenemos los valores del radio y de la altura del cono. Sustituyendo estos valores obtenemos un volumen igual a un tercio multiplicado por 𝜋 por 5.25 al cuadrado multiplicado por 11.3. Usando la calculadora nos da 326.1562 etcétera. Nos pidieron redondear la respuesta a dos cifras decimales. Como el seis en la columna de las milésimas es mayor que cinco, redondeamos a 326.16. El volumen se expresa en unidades cúbicas. Como no hay unidades específicas en esta pregunta, el volumen del cono es igual a 326.16 unidades cúbicas.

Continuemos con la segunda pregunta, donde nos dan la altura y el perímetro de la base del cono.

Determina, a la décima más cercana el volumen de un cono derecho de 106 centímetros de altura, sabiendo que el perímetro de su base es de 318 centímetros. Usa 𝜋 igual a 22 partido por siete.

El cono en esta pregunta tiene una altura de 106 centímetros. Esta es la distancia desde el vértice hasta el centro de la base circular. El perímetro de la base es de 318 centímetros. Como la base es un círculo, esto es la circunferencia del círculo. Nos piden que calculemos el volumen del cono. Esto es igual a un tercio de 𝜋𝑟 al cuadrado multiplicado por la altura.

Ahora bien, sabemos la altura del cono, pero no sabemos su radio. Recordemos que la circunferencia de un círculo es igual a dos 𝜋𝑟. Esto significa que 318 es igual a dos 𝜋𝑟. Nos dicen que usemos 𝜋 como 22 sobre siete, 318 es igual a dos multiplicado por 22 sobre siete multiplicado por 𝑟. El lado derecho de nuestra ecuación se simplifica a 44 sobre siete 𝑟. Dividir ambos lados por 44 sobre siete nos da 𝑟 igual a 1113 sobre 22. Hecho esto, podemos sustituir este valor junto con la altura en nuestra fórmula por el volumen de un cono. El volumen es igual a un tercio multiplicado por 22 sobre siete multiplicado por 1113 sobre 22 al cuadrado multiplicado por 106. Esto en la calculadora nos da 284219.727, etcétera.

Nos piden redondear nuestra respuesta a la décima más cercana. Por lo tanto, el número decisivo es el dos en la columna de las centésimas. Como es menor que cinco, redondeamos hacia abajo. El volumen de un cono recto de 106 centímetros de altura y una circunferencia de base de 318 centímetros es 284219.7 centímetros cúbicos. Tengamos en cuenta que nuestras unidades aquí están al cubo porque se trata del volumen.

Nuestra siguiente cuestión requiere calcular el radio del cono, sabiendo su altura y su volumen.

Calcula el radio de un cono de 92 pulgadas de altura y 420𝜋 pulgadas cúbicas de volume. Y expresa la respuesta a la pulgada más cercana.

Para contestar esta pregunta, necesitamos recordar la fórmula para el volumen de un cono. Esta es igual a un tercio de 𝜋𝑟 al cuadrado multiplicado por ℎ, donde ℎ es la altura perpendicular del cono. En esta pregunta, sabemos que el volumen es de 420𝜋 pulgadas cúbicas. La altura del cono es de 92 pulgadas. Lo que significa que 420𝜋 es igual a un tercio de 𝜋𝑟 al cuadrado multiplicado por 92. Podemos dividir ambos lados de esta ecuación por 𝜋. También podemos multiplicar ambos lados por tres. Obtenemos que 1260 es igual a 92𝑟 al cuadrado. Después, dividimos ambos lados por 92 para hallar que 𝑟 al cuadrado es igual a 1260 sobre 92. Finalmente, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. El radio del cono es igual a la raíz cuadrada de 1260 sobre 92. Lo resolvemos en la calculadora y obtenemos 3.70076 etcétera.

Como queremos la respuesta a la pulgada más cercana, debemos fijarnos en el dígito en la columna de las décimas. Este es mayor que cinco. Por tanto, redondeamos hacia arriba. Y obtenemos que 𝑟 es igual a cuatro. El radio de un cono con una altura perpendicular de 92 pulgadas y un volumen de 420𝜋 pulgadas cúbicas es de cuatro pulgadas, a la pulgada más cercana. Podríamos verificar esta respuesta sustituyendo nuestro valor de 𝑟 en la fórmula del volumen.

La última pregunta que veremos implica la comparación de los volúmenes de un cono y de una pirámide.

¿Cuál es mayor en volumen, un cono recto que tiene una base de 25 centímetros de radio y una altura de 56 centímetros, o una pirámide de base cuadrada que tiene una base con un perímetro de 176 centímetros y una altura de 48 centímetros?

Antes de comenzar, vale la pena recordar que el volumen de un cono y el volumen de una pirámide tienen la misma fórmula. El volumen de ambos sólidos geométricos es igual a un tercio del área de la base multiplicado por la altura. Cuando se trata de un cono, esto se convierte en un tercio 𝜋𝑟 al cuadrado multiplicado por la altura. Esto se debe a que la base de un cono es un círculo y el área de un círculo es igual a 𝜋𝑟 al cuadrado. Cuando se trata de una pirámide de base cuadrada, el volumen es igual a un tercio multiplicado por 𝑙 al cuadrado multiplicado por ℎ. Esto se debe a que el área de un cuadrado es igual a su longitud al cuadrado. El cono tiene un radio base de 25 centímetros y una altura de 56 centímetros. Por lo tanto, su volumen es igual a un tercio multiplicado por 𝜋 multiplicado por 25 al cuadrado multiplicado por 56. En la calculadora nos da 36651.914, etcétera. El volumen del cono con una cifra decimal es, por lo tanto, de 36651.9 centímetros cúbicos.

Sabemos que el perímetro del cuadrado es igual a 176 centímetros. Como todos los lados del cuadrado tienen la misma longitud, cada longitud será igual a 176 dividido por cuatro. Esto es igual a 44 centímetros. Como la altura de la pirámide de base cuadrada es de 48 centímetros, su volumen será igual a un tercio multiplicado por 44 al cuadrado multiplicado por 48. Esto es igual a 30976. Por lo tanto, el volumen de la pirámide de base cuadrada es 30976 centímetros cúbicos. Notamos que nuestras unidades de volumen siempre están al cubo. Como 36651.9 es mayor que 30976, la figura que tiene el mayor volumen es el cono.

Revisemos los puntos clave de este video. El cono es un cuerpo geométrico con una base circular y un lado curvo que termina en un vértice. El volumen de un cono es igual a un tercio de 𝜋𝑟 al cuadrado multiplicado por ℎ, donde ℎ es la altura perpendicular desde el centro de la base hasta el vértice. Como la base de un cono es un círculo, 𝜋𝑟 al cuadrado corresponde al área de la base. El volumen se mide en unidades cúbicas, por ejemplo, centímetros cúbicos, metros cúbicos o pulgadas cúbicas. Hemos utilizado nuestra fórmula para resolver problemas relacionados con el volumen de un cono. Y también hemos comparado el volumen de un cono con el de otras figuras tridimensionales.

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