Transcripción del vídeo
Propiedades de los límites de las funciones
En este video vamos a aprender cómo usar las propiedades de los límites, tales como el límite de la suma, resta, producto y cociente de funciones, y el límite de una función compuesta. Vamos a analizar varios ejemplos de cómo se usan estas propiedades. Comencemos presentando algunas de ellas.
Supongamos que 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 son funciones y 𝑎 es un valor tal que los límites cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 y cuando 𝑥 se aproxima 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 existen. En ese caso, tenemos la propiedad del límite de la suma de funciones, la cual nos dice que cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 más 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 más el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. También tenemos una propiedad para el límite de una diferencia de funciones. Y esta propiedad dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Y nos damos cuenta de que estas dos propiedades pueden combinarse y utilizarse juntas. Veamos ahora un ejemplo de cómo pueden usarse estas dos propiedades.
Sabiendo que el límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑓 de 𝑥 es igual a tres, el límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑔 de 𝑥 es igual a menos siete, y el límite cuando 𝑥 tiende a dos de ℎ de 𝑥 es igual a menos uno, halla el límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑓 de 𝑥 más 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥.
Para hallar este límite, podemos empezar por desarrollar los paréntesis usando las propiedades de los límites. Tenemos la propiedad del límite de una suma de funciones, la cual nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 más 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 más el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. También tenemos la propiedad del límite de una diferencia de funciones. Y esta nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Ahora, podemos aplicar estas dos propiedades al límite que estamos tratando de hallar.
Podemos empezar usando la regla de los límites de la suma de funciones. En nuestro caso, 𝑎 es igual a dos. Y podemos descomponer el interior de nuestro límite para que sea una suma de dos funciones, siendo una de estas funciones 𝑓 de 𝑥 y siendo la otra 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥. Hallamos que nuestro límite es igual al límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑓 de 𝑥 más el límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥. A continuación, podemos usar la regla de los límites para la diferencia de funciones. Otra vez, 𝑎 es igual a dos. Y dentro de nuestro límite, tenemos una diferencia de dos funciones que son 𝑔 de 𝑥 y ℎ de 𝑥. Aplicando la regla, hallamos que nuestro límite es igual al límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑓 de 𝑥 más el límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑔 de 𝑥 menos el límite cuando 𝑥 tiende a dos de ℎ de 𝑥.
Ahora bien, sabemos el valor de cada uno de estos tres límites, ya que nos los han dado en la pregunta. De modo que reemplazando los valores tres, menos siete y menos uno, hallamos que nuestro límite es igual a tres más menos siete menos uno. Simplificando esto, hallamos una solución según la cual el límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑓 de 𝑥 más 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥 es igual a menos tres.
Ahora veamos algunas otras propiedades de los límites.
Nuevamente, tenemos funciones 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 y constantes 𝑎 y 𝑐 de tal manera que los límites cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 y cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥, existen. Esta vez, tenemos una constante extra 𝑐. Y vamos a ver por qué está aquí en nuestra primera propiedad. La primera propiedad es sobre constantes multiplicativas dentro de un límite. Esto nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑐 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑐 multiplicado por el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Básicamente, lo que nos están diciendo es que, si tenemos un factor constante dentro de nuestro límite, podemos simplemente sacarlo fuera del límite. La siguiente propiedad es el límite del producto de funciones. La cual nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Nuestra tercera propiedad es para los límites de los cocientes de funciones. Y esta propiedad nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Y, una vez más, es importante mencionar que cada una de estas reglas puede ser utilizada en combinación con otra, incluyendo las dos que fueron mencionadas anteriormente. Ahora, veamos algunos ejemplos de cómo estas propiedades pueden ser usadas.
Supongamos que el límite cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑓 de 𝑥 es igual a cinco, el límite cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑔 de 𝑥 es igual a ocho, y el límite cuando 𝑥 tiende a tres de ℎ de 𝑥 es igual a nueve. Halla el límite cuando 𝑥 tiende a tres 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥.
Podemos empezar por desarrollar el límite en la pregunta usando las propiedades de los límites. Primero, podemos usar las reglas para los límites de las diferencias de funciones. Esto nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Si miramos nuestro límite, vemos que el valor de 𝑎 es tres. Además, notamos que tenemos una diferencia de funciones dentro de nuestro límite. Tenemos 𝑓 de 𝑥 multiplicada por 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥. De modo que podemos aplicar nuestra regla, y hallamos que nuestro límite es igual al límite cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑓 de 𝑥 por 𝑔 de 𝑥 menos el límite cuando 𝑥 tiende a ℎ de 𝑥.
Para dividir aún más este límite, necesitaremos usar otra propiedad de límite. Y esta es la propiedad de los límites de los productos de las funciones, lo que nos dice que el límite como 𝑥 tiende a alguna constante 𝑎 de un producto de funciones, entonces 𝑓 de 𝑥 veces 𝑔 de 𝑥, es igual al límite como 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 veces el límite ya que 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Nuevamente, nuestro valor de 𝑎 es tres. Y podemos ver que dentro de nuestro límite, tenemos un producto de funciones. Entonces eso es 𝑓 de 𝑥 veces 𝑔 de 𝑥. Aplicando esta propiedad, encontramos que nuestro límite es igual al límite ya que 𝑥 tiende a tres de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por el límite ya que 𝑥 tiende a tres de 𝑔 de 𝑥 menos el límite ya que 𝑥 tiende a tres de ℎ de 𝑥.
Y notamos que nos han dado el valor de cada uno de estos tres límites en la pregunta. Tenemos que el límite cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑓 de 𝑥 es igual a cinco, el límite cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑔 de 𝑥 es igual a ocho, y el límite cuando 𝑥 tiende a tres de ℎ de 𝑥 es igual a nueve. Por lo tanto, sustituimos estos valores en nuestro límite, y obtenemos que nuestro límite es igual a cinco por ocho menos nueve. Este cálculo puede ser llevado a cabo con el resultado de que el límite cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥 es igual a 31.
En el siguiente ejemplo, vamos a ver cómo usar la propiedad para cocientes de funciones.
Sabiendo que el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de 𝑓 de 𝑥 sobre tres 𝑥 al cuadrado es igual a menos tres, determina el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de 𝑓 de 𝑥.
En esta pregunta, nos han dado el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de 𝑓 de 𝑥 sobre tres 𝑥 al cuadrado. Podemos reorganizar este límite utilizando las propiedades de los límites. Tenemos la propiedad de los límites de los cocientes de funciones, que nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Para nuestro límite, estamos calculando el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos. Por lo tanto, 𝑎 es igual a menos dos. Y tenemos un cociente de funciones. En el numerador, tenemos 𝑓 de 𝑥. Y en el denominador, tenemos tres 𝑥 al cuadrado. Aplicando esta regla para los límites de cocientes de funciones, obtenemos que nuestro límite es igual al límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de 𝑓 de 𝑥 sobre el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de tres 𝑥 al cuadrado.
Ahora, consideremos el límite en el denominador de la fracción. Este es el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de tres 𝑥 al cuadrado. Podemos aplicar sustitución directa a este límite, obteniendo que el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de tres 𝑥 al cuadrado es igual a tres por menos dos al cuadrado. Menos dos al cuadrado es igual a cuatro. Haciendo el cálculo hallamos que el límite es igual a 12. Podemos reemplazar este valor por 12 en el denominador de nuestra fracción, hallando que el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de 𝑓 de 𝑥 sobre tres 𝑥 al cuadrado es igual al límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de 𝑓 de 𝑥 todo sobre 12.
Ahora bien, la pregunta nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de 𝑓 de 𝑥 sobre tres 𝑥 al cuadrado es igual a menos tres. Y ya que esto está en el lado izquierdo de nuestra ecuación, podemos hacer una ecuación igualando esto a menos tres. Así que ahora nuestro límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de 𝑓 de 𝑥 partido por 12 es igual a menos tres. Ahora solo tenemos que multiplicar ambos lados de la ecuación por 12. Y aquí llegamos a nuestra solución, la cual es que el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de 𝑓 de 𝑥 es igual a menos 36.
Hay un par de propiedades más de los límites que vamos a cubrir en este video y son las siguientes.
Sean la función 𝑓 de 𝑥, un número cualquiera 𝑎 y un entero 𝑛 tal que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe.
Tenemos una propiedad para los límites de funciones que nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 todo elevado a la 𝑛. Básicamente, si tenemos una potencia de una función dentro de un límite, podemos sacar el exponente fuera del límite y simplemente elevar el límite a ese exponente. Observemos rápidamente que nuestro valor entero de 𝑛 aquí puede ser positivo o negativo. Y esta regla seguirá siendo válida. Podemos ver cómo esta propiedad puede ser derivada de la del límite del producto de funciones y de la del cociente de funciones. Ya que, si repetimos cualquiera de esas propiedades una y otra vez 𝑛 veces con la misma función 𝑓 de 𝑥, obtendremos esta propiedad.
Nuestra última propiedad de límite aquí es la propiedad para las raíces de funciones. La cual nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de la raíz de índice 𝑛 de 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz de índice 𝑛 del límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Por lo tanto, básicamente, si tenemos una raíz de índice 𝑛 de una función dentro de nuestro límite, podemos sacar la raíz de índice 𝑛 fuera del límite y, en su lugar, tomar la raíz de índice 𝑛 del límite de la función. Estas dos propiedades pueden, por supuesto, combinarse entre sí y con cualquiera de las propiedades anteriores. Veamos algunos ejemplos de cómo se pueden usar.
Supón que el límite cuando 𝑥 tiende a seis de 𝑓 de 𝑥 es igual a tres y el límite cuando 𝑥 tiende a seis de 𝑔 de 𝑥 es igual a ocho. Halla el límite cuando 𝑥 tiende a seis de la raíz cuadrada de 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥.
Necesitamos hallar el límite cuando 𝑥 tiende a seis de la raíz cuadrada de 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥. Podemos reorganizar este límite utilizando las propiedades de los límites. Tenemos la propiedad de los límites de las raíces de las funciones. Esto nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a una constante 𝑎 de la raíz de índice 𝑛 de alguna función 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz de índice 𝑛 del límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. El límite que estamos tratando de hallar es el límite cuando 𝑥 tiende a seis de la raíz cuadrada de 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥. Así que tenemos el límite de la raíz cuadrada de una función. Por lo tanto, podemos aplicar nuestra regla para los límites de las raíces de funciones. Lo que nos dice que nuestro límite es igual a la raíz cuadrada del límite cuando 𝑥 tiende a seis de 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥.
Ahora, podemos ver que tenemos el límite de una diferencia de funciones ya que nuestro límite es de 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥. Podemos aplicar la regla para el límite de diferencias de funciones, lo que nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a alguna constante 𝑎 de una diferencia de funciones — esto es 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 — es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Podemos aplicar esta regla a nuestro límite de dentro de la raíz cuadrada, hallando que nuestro límite es igual a la raíz cuadrada del límite cuando 𝑥 tiende a seis de 𝑔 de 𝑥 menos el límite cuando 𝑥 tiende a seis de 𝑓 de 𝑥.
Ahora podemos ver que los límites dentro de nuestra raíz cuadrada nos han sido dados en la pregunta. Tenemos que el límite cuando 𝑥 tiende a seis de 𝑓 de 𝑥 es igual a tres y el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑔 de 𝑥 es igual a ocho, y obtenemos que nuestro límite es igual a la raíz cuadrada de ocho menos tres. Al simplificar esto, obtenemos nuestra solución, la cual es que el límite cuando 𝑥 tiende a seis de la raíz cuadrada de 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de cinco.
A continuación, pasamos a nuestro último ejemplo, en donde vamos a ver cómo podemos usar las propiedades de los límites cuando la función está definida gráficamente.
Considera el gráfico de 𝑓 de 𝑥. Halla el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 todo al cuadrado.
Aquí nos piden hallar el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 todo al cuadrado. Tenemos, pues, una potencia de una función. Por eso, usamos nuestra regla para límites de potencias de funciones. Nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 a la 𝑛 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 todo a la 𝑛. En el caso de nuestro límite, el valor de 𝑎 es uno y la potencia a la que elevamos nuestra función es dos. Así que 𝑛 es igual a dos. Ahora, podemos aplicar esta regla. Nos dice que nuestro límite es igual al límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 todo al cuadrado.
A continuación, podemos simplificar aún más el límite dentro de nuestro cuadrado. Tenemos la regla para los límites de los productos de funciones. La cual nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Nuestro producto de funciones es 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥. De modo que cuando aplicamos esta regla a nuestro límite, obtenemos el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑥 multiplicado por el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 de 𝑥 todo al cuadrado.
Consideremos el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑥. Podemos aplicar la sustitución directa a este límite. Y hallamos que es igual a uno. Así que podemos sustituir esto por nuestro límite, y hallamos que el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 al cuadrado es igual al límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 de 𝑥 todo al cuadrado. Ahora, todo lo que necesitamos hacer es hallar el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 de 𝑥. Para hacer esto, necesitamos usar nuestro gráfico. Necesitamos hallar el valor de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 es igual a uno. Vemos que cuando 𝑥 es igual a uno, 𝑓 de 𝑥 es igual a tres. Y el gráfico de 𝑓 de 𝑥 cerca del valor de 𝑥 de uno es una recta. Por lo tanto, el límite derecho de 𝑓 de 𝑥 y el límite izquierdo de 𝑓 de 𝑥 van a concordar en que el límite es igual a tres. Así que podemos sustituir por tres el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑓 de 𝑥. Hemos hallado, pues, que nuestro límite es igual a tres al cuadrado. Y podemos elevar el tres al cuadrado para obtener nuestra solución de que el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 al cuadrado es igual a nueve.
Hemos cubierto una variedad de ejemplos, recapitulemos algunos puntos clave del video.
Puntos clave
Para las funciones 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 y números cualesquiera 𝑎 y 𝑐, y entero 𝑛 tales que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 y el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 existen, el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 más 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 más el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑐 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑐 multiplicado por el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 todo elevado a 𝑛. El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de la raíz de índice 𝑛 de 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz de índice 𝑛 del límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Y todas estas propiedades de los límites pueden ser usadas en combinación.
