Vídeo: El punto medio en el plano cartesiano

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar en el plano cartesiano las coordenadas del punto medio conocidos los extremos, y cómo hallar las coordenadas de uno de los extremos.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar las coordenadas del punto medio entre dos puntos, y cómo hallar las coordenadas de uno de los extremos en el plano cartesiano. Antes de hablar del plano, veamos qué pinta tiene un punto medio en una recta numérica.

Si consideramos una recta numérica, y ponemos marcas en el número dos y en el número ocho, ¿dónde se encuentra el punto medio entre el dos y el ocho? Puede que pienses: «Estará a mitad de camino entre el dos y el ocho». Otra persona podría pensar: «Es el promedio de dos y ocho». El promedio de dos y ocho está a mitad de camino. Para hallar el promedio de dos y ocho, sumamos dos más ocho y dividimos por dos, que es 10 medios, que es cinco. Eso significa que la mitad del camino entre el dos y el ocho, el promedio de dos y ocho, es cinco.

Para hallar el punto medio en un plano cartesiano, aplicamos un procedimiento muy parecido. Consideremos este segmento en el plano. Si llamamos 𝐴 al punto azul, 𝐴 se encuentra en dos, dos. Y si llamamos 𝐵 al otro extremo, 𝐵 se encuentra en ocho, seis. Y 𝐶 es el punto medio. Esto significa que la distancia de 𝐴 a 𝐶 es igual a la distancia de 𝐶 a 𝐵. También significa que 𝐶 está a mitad de camino entre 𝐴 y 𝐵 en dirección vertical, y que 𝐶 está a mitad de camino entre 𝐴 y 𝐵 en dirección horizontal. Matemáticamente esto se expresa así.

Para hallar la coordenada 𝑥 del punto medio, tomamos las abscisas 𝑥 de los dos extremos y hallamos el promedio. Como sabes, los extremos son los puntos donde el segmento empieza y donde termina. Y, de igual forma, la coordenada 𝑦 del punto medio se halla tomando las ordenadas 𝑦 de los dos extremos y hallando su promedio. Hagamos 𝐴 igual a 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝐵 igual a 𝑥 dos, 𝑦 dos. Para hallar las coordenadas del punto 𝐶 sustituimos los valores que conocemos de los extremos. 𝑥 uno es dos. 𝑥 dos es ocho. 𝑦 uno es dos. 𝑦 dos es seis.

Cuando los sumamos, obtenemos 10 medios, ocho medios, que se simplifica a cinco, cuatro. El punto medio se encuentra entonces en el punto cinco, cuatro. Cinco está a mitad de camino entre dos y ocho, y cuatro está a mitad de camino entre dos y seis. Haciendo uso de esta fórmula podemos hallar el punto medio si se nos dan las coordenadas de los extremos. Y también podemos hallar las coordenadas de un extremo si se nos da el otro extremo y el punto medio.

Veamos algunos ejemplos.

En el gráfico, ¿qué punto está a mitad de camino entre uno, ocho y cinco, dos?

Tenemos el punto uno, ocho — llamémoslo 𝐴 — y el punto cinco, dos — llamémosle 𝐵. Y queremos saber qué punto se encuentra a mitad de camino entre los dos puntos. El punto a mitad de camino entre estos dos puntos se llama punto medio. Y para hallar el punto medio, hemos de hallar el promedio de las coordenadas 𝑥 de los dos extremos. Y también hemos de hallar el promedio de las coordenadas 𝑦 de los dos extremos. Digamos que 𝐴 está en 𝑥 uno, 𝑦 uno y que 𝐵 está en 𝑥 dos, 𝑦 dos. Para hallar el punto medio, sumamos uno más cinco y lo dividimos por dos. Seguidamente sumamos ocho más dos y lo dividimos por dos. Esto nos da seis medios y 10 medios, que se simplifica a tres, cinco.

En el gráfico, el punto de coordenadas tres, cinco está aquí. Si nos fijamos en este punto, vemos a partir de 𝐵 que es tres unidades hacia arriba y dos unidades a la izquierda. Luego, si queremos ir desde el punto medio hasta el punto 𝐴, de nuevo, tenemos tres unidades hacia arriba y dos unidades a la izquierda. Esto confirma que la distancia de 𝐴 al punto medio es la misma que la distancia del punto medio a 𝐵. A mitad de camino entre uno, ocho y cinco, dos se encuentra el punto tres, cinco.

Aquí tenemos otro ejemplo. Esta vez no se nos dan las coordenadas de ambos extremos. Sino que tenemos dos incógnitas en las coordenadas de los extremos.

Considera los puntos 𝐴: 𝑥, siete; 𝐵: menos cuatro, 𝑦; y 𝐶: dos, cinco. Sabiendo que 𝐶 es el punto medio del segmento 𝐴𝐵, calcula 𝑥 y 𝑦.

Vamos a pensar detenidamente en los datos que se nos han dado. Tenemos el segmento 𝐴𝐵 y 𝐶 es el punto medio. El punto 𝐴 se encuentra en 𝑥, siete. El punto 𝐵 se encuentra en menos cuatro, 𝑦. Y el punto 𝐶 se encuentra en dos, cinco. Es probable que te estés preguntando, «¿No deberíamos graficar estos valores?» El problema es que, como nos faltan estos valores de 𝑥 y de 𝑦, no es nada fácil graficar esto. Veamos pues lo que sabemos del punto medio.

Las coordenadas del punto medio pueden hallarse calculando el promedio de las coordenadas 𝑥 y el promedio de las coordenadas 𝑦 de los extremos. Y si el punto medio es dos, cinco, entonces 𝑥 uno más 𝑥 dos dividido por dos tiene que ser igual a dos. Y 𝑦 uno más 𝑦 dos dividido por dos tiene que ser igual a cinco. Planteemos, pues, dos ecuaciones separadas, la primera, 𝑥 uno más 𝑥 dos sobre dos igual a dos y la segunda, cinco igual a 𝑦 uno más 𝑦 dos sobre dos. Usamos que las coordenadas de 𝐴 son 𝑥 uno, 𝑦 uno y las de 𝐵 son 𝑥 dos, 𝑦 dos y sustituimos los datos que tenemos.

Dos es entonces igual a 𝑥 más menos cuatro dividido por dos y cinco es igual a siete más 𝑦 dividido por dos. Ahora nos basta con despejar las incógnitas. A la izquierda, multiplicamos ambos lados de la ecuación por dos y obtenemos que cuatro es igual a 𝑥 más menos cuatro, que reescribimos para decir que cuatro es igual a 𝑥 menos cuatro. Seguidamente sumamos cuatro a ambos lados. Y obtenemos que ocho es igual a 𝑥 o, como solemos escribirlo normalmente, 𝑥 es igual a ocho. Aplicamos el mismo procedimiento para despejar 𝑦. Multiplicamos por dos. Restamos siete en ambos lados. Tres es igual a 𝑦. Así que 𝑦 es igual a tres. Como 𝐴 es igual a 𝑥, siete, y 𝑥 es igual a ocho, el punto 𝐴 se encuentra en ocho, siete. Y como 𝐵 se encuentra en menos cuatro, 𝑦, y 𝑦 es igual a tres, 𝐵 está en menos cuatro, tres.

En el ejemplo siguiente se nos da información sobre el punto medio y los extremos y se nos pide hallar las coordenadas de estos.

Halla el punto 𝐴 en el eje de las 𝑥 y el punto 𝐵 en el eje de las 𝑦 sabiendo que tres medios, menos cinco medios es el punto medio del segmento 𝐴𝐵.

Repasemos los datos que tenemos. 𝐴 se encuentra en el eje de las 𝑥. 𝐵 se encuentra en el eje de las 𝑦. Y tenemos un punto medio de tres medios, menos cinco medios. Pensemos en lo que sabemos sobre el eje de las 𝑥 y el eje de las 𝑦. Los puntos en el eje de las 𝑥 tienen una coordenada 𝑦 de cero. Eso quiere decir que, si el punto 𝐴 se encuentra en el eje de las 𝑥, no sabemos en qué parte del eje de las 𝑥 se encuentra. Pero sí sabemos que su coordenada 𝑦 vale cero. Escribamos las coordenadas del punto 𝐴 como 𝑎, cero. Análogamente, los puntos que se encuentran en el eje de las 𝑦 tienen cero como su coordenada 𝑥. Eso significa que podemos decir que el punto 𝐵 se encuentra en cero, 𝑏. Por último, recordamos que podemos hallar el punto medio calculando el promedio de las coordenadas 𝑥 y el promedio de las coordenadas 𝑦 de los extremos.

Usando esta información, podemos plantear dos ecuaciones para hallar los valores que faltan. Decimos que el punto 𝐴 está en 𝑥 uno, 𝑦 uno y el punto 𝐵 en 𝑥 dos, 𝑦 dos. Escribimos esa información en la fórmula del punto medio. Eso significa que tres medios es igual a 𝑎 más cero sobre dos y que menos cinco medios es igual a cero más 𝑏 sobre dos. 𝑎 más cero es 𝑎. Tres medios es igual a 𝑎 sobre dos. Del mismo modo, menos cinco medios es igual a 𝑏 sobre dos, lo que significa que 𝑎 es igual a tres y que 𝑏 es igual a menos cinco. Tomamos esta información y la volvemos a escribir en nuestros puntos. De este modo obtenemos el punto tres, cero y el punto cero, menos cinco. Estos dos puntos tienen el punto medio que se nos ha dado.

Veamos un ejemplo en el que podemos aplicar lo que sabemos sobre el punto medio para resolver un problema.

Un jardín rectangular se encuentra al lado de una casa que está junto a una calle. En el jardín hay un naranjo que se encuentra a siete metros de la casa y a tres metros de la calle. También hay un manzano, situado a cinco metros de la casa y a nueve metros de la calle. Una fuente está situada a mitad de camino entre los árboles. ¿A qué distancia está la fuente de la casa y de la calle?

O sea, tenemos un jardín que está situado al lado de una casa, la cual está junto a una calle. En el jardín hay dos árboles; un naranjo que se encuentra a siete metros de la casa y a tres metros de la calle. Y un manzano, que está a cinco metros de la casa y a nueve metros de la calle. Una fuente está situada a mitad de camino entre ellos. ¿Cómo podemos saber a qué distancia se encuentra la fuente de la casa y de la calle?

Podemos escribir estas distancias en forma de coordenadas, donde la coordenada 𝑥 es la distancia desde la casa y la coordenada 𝑦 es la distancia desde la calle. El naranjo se encuentra entonces en siete, tres. El manzano se encuentra en cinco, nueve. Y la fuente es el punto medio. Sabemos que para hallar el punto medio, sumamos las coordenadas 𝑥 de los extremos y dividimos por dos, y seguidamente sumamos las coordenadas 𝑦 de los extremos y dividimos por dos. Esto significa que la fuente se encuentra en siete más cinco dividido por dos y nueve más tres dividido por dos, que es 12 medios, 12 medios o seis, seis. Sabemos que la coordenada 𝑥 es la distancia desde la casa y que la coordenada 𝑦 es la distancia desde la calle. Por lo tanto, la fuente se encuentra a seis metros de la casa y a seis metros de la calle.

En el último ejemplo vamos a considerar un punto medio que es el punto medio de dos segmentos diferentes al mismo tiempo.

Supongamos que 𝐴 es menos siete, menos cuatro; 𝐵 es seis, menos nueve; y 𝐷 es ocho, menos dos. Siendo 𝐶 el punto medio del segmento 𝐴𝐵 y del segmento 𝐷𝐸, halla las coordenadas del punto 𝐸.

Hagamos un dibujo de la información que se nos ha dado. Tenemos un segmento 𝐴𝐵 con el punto medio 𝐶. Y 𝐶 es también el punto medio del segmento 𝐷𝐸. Nos dan las coordenadas de 𝐴, 𝐵 y 𝐷. Nuestro objetivo es hallar las coordenadas del punto 𝐸. Pero antes de poder hallar 𝐸, debemos conocer la ubicación de 𝐶. Una vez que hallemos 𝐶, podremos encontrar 𝐸. Y para hacer ambas cosas, debemos recordar la fórmula del punto medio, que tiene esta pinta

La coordenada 𝑥 del punto medio se halla sumando las coordenadas 𝑥 de los extremos y dividiendo por dos. Y la coordenada 𝑦 del punto medio se halla haciendo el promedio de las coordenadas 𝑦 de los dos extremos. Como 𝐶 es el punto medio de 𝐴 y 𝐵, hacemos 𝐴 igual a 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝐵 igual a 𝑥 dos, 𝑦 dos. El punto medio 𝐶 se encuentra en menos siete más seis sobre dos, menos cuatro más menos nueve sobre dos. Menos siete más seis sobre dos es menos un medio. Y menos cuatro más menos nueve es menos 13. Por lo tanto, la coordenada 𝑦 es menos 13 medios. Ya conocemos las coordenadas de 𝐶. Así que estamos listos para hallar el punto 𝐸.

Si 𝐶 es también el punto medio de 𝐷𝐸, entonces las coordenadas de 𝐶 serán las coordenadas 𝑥 de 𝐷 y 𝐸 promediadas y las coordenadas 𝑦 de 𝐷 y 𝐸 promediadas. Se nos han dado las coordenadas de 𝐷. Son ocho, menos dos. Así que escribimos esto. A partir de aquí, planteamos dos ecuaciones separadas. Hacemos menos un medio igual a ocho más la coordenada 𝑥 de 𝐸 sobre dos. Y menos 13 sobre dos igual a menos dos más la coordenada 𝑦 de 𝐸 sobre dos. Hagamos algo de espacio.

Como todos los denominadores son dos, los numeradores son iguales entre sí. Menos uno es igual a ocho más la coordenada 𝑥 de 𝐸. Y para hallar este valor, restamos ocho en ambos lados. Y vemos que la coordenada 𝑥 del punto 𝐸 es menos nueve. Para hallar la coordenada 𝑦 del punto 𝐸, sumamos dos a ambos lados. La coordenada 𝑦 de 𝐸 es menos 11. En forma de coordenadas, el punto 𝐸 se encuentra en menos nueve, menos 11.

Con cada uno de estos ejemplos hemos probado que, cuando nos dan los extremos 𝑥 uno, 𝑦 uno; 𝑥 dos, 𝑦 dos, el punto medio se halla sumando 𝑥 uno y 𝑥 dos y dividiendo por dos y haciendo luego 𝑦 uno más 𝑦 dos dividido por dos. También podemos aplicar esta fórmula para hallar un extremo si conocemos el otro extremo y el punto medio. Aplicando esta fórmula podrás resolver este tipo de problemas por tu cuenta.

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