Vídeo pop: Demostración de que la raíz cuadrada de dos es irracional

Transcripción del vídeo

En este vídeo, vamos a ver una demostración de que la raíz cuadrada de dos es un número irracional, lo que significa que es un número que no se puede escribir como una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son números enteros.

Esto quiere decir, que, si tratáramos de escribirlo en forma decimal, tendríamos que seguir añadiendo decimales indefinidamente, pero de esto hablaremos en otra ocasión.

Pero, primero, hablemos de dos filósofos de la Grecia clásica, Pitágoras e Hípaso. Supongo que, seguramente, todos habréis oído hablar de Pitágoras debido al teorema pitagórico, o teorema de Pitágoras, como se le suele llamar.

El teorema dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los lados más cortos. Puede que esto lo hayas aprendido como 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado igual a 𝑐 al cuadrado. Y parece fácil hoy día porque lo aprendemos bastante pronto en la escuela. Pero tuvo un gran impacto en la época de Pitágoras, hace unos 2500 años.

El consenso hoy día es que, aunque lleve su nombre, en realidad el teorema de Pitágoras no fue descubierto por Pitágoras. De todos modos, hay muchísimas historias, mitos y leyendas sobre Pitágoras. Y por cada historia que dice una cosa hay otra historia que dice lo contrario.

El problema es que ninguno de sus escritos ha sobrevivido al paso del tiempo. Y muchas de las cosas que otras personas escribieron sobre él son contradictorias. Es una figura bastante controvertida. Se llamó a sí mismo filósofo y amante de la sabiduría. Y comenzó un movimiento cuyos seguidores recibían el nombre de pitagóricos. Eran muy reservados. Y en su tiempo se habló mucho de sus creencias en los poderes místicos de los números y en su pureza.

Uno de los seguidores de Pitágoras fue Hípaso de Metaponto, aunque no está claro si seguía a Pitágoras en persona o si simplemente era un seguidor del movimiento pitagórico. Y, tal vez, ni siquiera fue un contemporáneo de Pitágoras. Sea como sea, de las obras de arte antiguas y los dibujos que han sobrevivido, una cosa segura que tenían en común era que ambos tenían barba. Se conoce que llevar barba estaba muy de moda en aquel tiempo. Pero algunas personas dirían lo contrario de esto también.

Bien, reenfocando este relato divagante, hay una historia según la cual Hípaso desarrolló una prueba de que algunos números son irracionales, lo que al parecer contradecía la doctrina pitagórica sobre la naturaleza divina de los números. Algunos relatos dicen que Hípaso fue ahogado en el mar poco después.

Algunas personas simplemente dicen que revelar la verdad de los números irracionales a sus amigos pitagóricos mientras navegaban por el mar no fue la mejor idea de Hípaso. Y que los pitagóricos hicieron todo lo posible para ocultar lo sucedido. Pero se conoce que no lo hicieron muy bien, pues si no, ¿cómo lo sabríamos?

Parece ser que Hípaso descubrió los números irracionales mientras estudiaba la forma de construir un dodecaedro dentro de una esfera. Pero un método mucho más fácil de llegar a ellos consiste en usar un triángulo rectángulo e isósceles con dos lados de longitud unidad y usar luego el teorema de Pitágoras para demostrar que, en este caso, la longitud del lado más largo es igual a la raíz cuadrada de dos.

Está claro, pues, que la raíz cuadrada de dos aparece en situaciones bastante ordinarias. Pero ¿cómo demostrar que este es un número irracional? Primero que nada, debemos entender qué es un número racional y qué es un número irracional.

Un medio es un cociente de uno entre dos. Consiste en una fracción con un número natural o entero en el numerador, uno en este caso, y un número natural no nulo en el denominador, dos en este caso. Eso es, básicamente, un número racional, un cociente de números enteros.

Si el numerador y el denominador tienen un divisor común, podemos simplificar la fracción dividiendo el uno y el otro por este divisor común y obtener una fracción equivalente. Por ejemplo, dos sobre cuatro es un número racional. Pero podemos dividir el numerador y el denominador entre dos y obtener una fracción equivalente, un medio. Un medio es una forma más simple de dos cuartos. Y también es un número racional.

Podemos usar cualquier entero que nos guste como numerador y cualquier número entero no nulo que nos guste como denominador para hacer un número racional. Ahora echemos un vistazo a un par de números racionales. Un tercio y dos tercios, ¿hay otro número racional que esté entre estos dos? Bueno, uno y medio sobre tres no sirve porque uno y medio no es un número entero.

Pero una fracción equivalente a un tercio es dos sextos, que se consigue doblando el numerador y el denominador. Y una fracción equivalente a dos tercios es cuatro sextos, nuevamente el doble del numerador y el denominador. Consecuentemente, en lugar de un tercio y dos tercios, tenemos dos sextos y cuatro sextos. Y es claro entonces que tres sextos está entre ellos. Y podríamos simplificar esto a un medio dividiendo el numerador y el denominador por tres.

Ahora podemos aplicar esta técnica a dos números racionales cualesquiera y encontrar otro número racional entre ellos. Y podemos seguir así indefinidamente, consiguiendo diferencias cada vez más pequeñas. Parece pues que deberíamos poder acercarnos de esta forma cuanto quisiéramos a cualquier número. Por lo tanto, ¿qué es un número irracional?

Bien, es un número que no podemos representar exactamente como una fracción con numerador y denominador enteros. Recuerda que usamos el teorema de Pitágoras para mostrar que hay una longitud igual a la raíz cuadrada de dos. Profundicemos más en esto y veamos que no existe un par de enteros para el numerador y el denominador que representen ese valor.

Empecemos suponiendo, de hecho, que la raíz cuadrada de dos es racional y que hay dos enteros (llamémoslos 𝑎 y 𝑏) que podemos usar como numerador y denominador, respectivamente, para representar ese valor. Así que tenemos que la raíz cuadrada de dos es igual a 𝑎 sobre 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son enteros y 𝑏 no es igual a cero porque algo dividido por cero no está definido.

También elegimos 𝑎 y 𝑏 de modo que la fracción que representa la raíz cuadrada de dos sea una fracción completamente simplificada. Obviamente, habrá una familia de fracciones equivalentes: dos 𝑎 sobre dos 𝑏, tres 𝑎 sobre tres 𝑏, etcétera. Pero estamos eligiendo 𝑎 y 𝑏 de modo que no tengan ningún factor común para que así la fracción esté completamente simplificada.

Y esto impone condiciones. La principal es que, si 𝑎 es un número par, entonces 𝑏 debe ser impar. Y si 𝑏 es un número par, entonces 𝑎 debe ser impar. Si ambos fueran pares, entonces ambos serían múltiplos de dos. Y dos sería un divisor común. Y entonces podríamos cancelar y simplificar la fracción. Pero dijimos que 𝑎 y 𝑏 no debían tener ningún factor común.

Bien, supongamos pues que la raíz cuadrada de dos es igual a 𝑎 sobre 𝑏. Elevemos ahora al cuadrado ambos lados de la ecuación. Eso nos da que dos es igual a 𝑎 al cuadrado sobre 𝑏 al cuadrado. Ahora puedo multiplicar ambos lados de la igualdad por 𝑏 al cuadrado para que los 𝑏 al cuadrado de la derecha se cancelen, lo que nos da que dos 𝑏 al cuadrado es igual a 𝑎 al cuadrado.

Recuerda, sin embargo, que 𝑏, en el lado izquierdo, es un número entero. Luego, 𝑏 por 𝑏, 𝑏 al cuadrado, es un número entero multiplicado por un número entero, y es también un número entero. Así que el lado izquierdo es dos veces un número entero. Y un número entero que es un múltiplo de dos es un número par.

En el lado derecho, tenemos 𝑎, un entero, multiplicado por sí mismo. Tenemos, pues, un número entero multiplicado por un número entero. Y la única forma en que se puede obtener un resultado par cuando se multiplican dos números enteros es si uno de esos números enteros es par. Y como estamos hablando de 𝑎 por sí mismo, entonces 𝑎 debe ser un número par.

Bien, vamos a examinar esta lógica con un poco más de detalle. Podemos decir que un número par es solo un número entero que es múltiplo de dos. Así que vamos a elegir una letra para representar cualquier número entero. Digamos 𝑚. Entonces podemos decir que dos 𝑚 es un número par.

Dime un número par y encontraré el valor de 𝑚 que genere ese número par. Es simplemente la mitad del valor del número par que has dicho. Si dices ocho, 𝑚 será igual a cuatro. Entonces, dos 𝑚 es el número par, ocho en este caso. Dos 𝑚 es solo una expresión que representa cualquier número que sabemos que es par.

Ahora podemos usar la letra 𝑛 para representar otro número entero. Dos 𝑛 será, pues, otro número par. Ahora multipliquemos nuestros dos números pares, dos 𝑚 por dos 𝑛. Y como la multiplicación es asociativa, podemos escribir esto como dos 𝑚 por dos 𝑛.

Y como dos, 𝑚 y 𝑛 son todos números enteros, sabemos que 𝑚 por dos por 𝑛 también será un número entero. Y eso significa que dos por 𝑚 por dos por 𝑛 es dos veces un número entero, y es pues un número par. Por lo tanto, si multiplicamos dos números pares, obtenemos un resultado que es par.

Los números pares y los impares se alternan a lo largo de los números enteros. Uno es impar, dos es par, tres es impar, cuatro es par, cinco es impar, seis par, etcétera. Y como dos 𝑚 es par, entonces dos 𝑚 más uno debe ser el siguiente número impar después de él. Del mismo modo, dos 𝑛 es un número par. Entonces dos 𝑛 más uno debe ser el siguiente número impar.

Analicemos otros productos de números pares e impares para ver si podemos obtener un resultado par. Por ejemplo, si queremos multiplicar un número par por un número impar, podemos hacer dos 𝑚 por dos 𝑛 más uno. Y nuevamente, debido a la propiedad asociativa, podemos escribir esto como dos por 𝑚 por dos por 𝑛 más uno.

Y de nuevo, tenemos enteros dentro de estos paréntesis. Así que tenemos dos por un número entero. Así que par por impar también nos da un número par. Y eso funciona con el orden cambiado también. Si multiplicamos un número impar por un número par, también obtenemos un número par.

Por último, veamos qué pasa si multiplicamos un número impar por un número impar. Multiplicando cada término en el primer paréntesis por cada término en el segundo paréntesis, obtenemos dos 𝑚 por dos 𝑛 más dos 𝑚 por uno más uno por dos 𝑛 más uno por uno, lo que se simplifica a cuatro 𝑚𝑛 más dos 𝑚 más dos 𝑛 más uno.

Y si sacamos un dos como factor común en estos tres primeros términos de aquí, obtenemos dos por dos 𝑚𝑛 más 𝑚 más 𝑛, entre paréntesis, más uno. Ahora bien, dos, 𝑚 y 𝑛 son todos enteros. Y los estamos multiplicando y sumando. Entonces, el contenido de esos paréntesis será un número entero. Esto nos da dos veces un número entero, que es un número par. Así que el resultado será un número par más uno, que es un número impar. Y esto significa que, si multiplico dos números impares, el resultado es impar.

Así que, volviendo a nuestra demostración, teníamos dos 𝑏 al cuadrado igual a 𝑎 al cuadrado. Dijimos que el lado izquierdo, al ser 𝑏 un número entero, debe ser un número par. Y el lado derecho es igual a 𝑎 al cuadrado, que es un número multiplicado por sí mismo. Así que estamos tratando con un número par multiplicado por un número par o un número impar multiplicado por un número impar. La única forma de obtener un resultado par es si 𝑎 es par. Así que esto es definitivamente cierto.

Muy bien, recuerda que dije que si quieres un número par específico, puedo reducirlo a la mitad y expresar tu número par como dos veces su mitad. Bien, hagamos esto con el número par 𝑎. Llamemos a la mitad de 𝑎, 𝑐. Es decir, 𝑐 es igual a la mitad de 𝑎.

En otras palabras, dos 𝑐 es igual a 𝑎. Y podemos sustituir 𝑎 por dos 𝑐 en nuestra ecuación, lo que significa que dos 𝑏 al cuadrado es igual a dos 𝑐, entre paréntesis, al cuadrado, y dos 𝑐, entre paréntesis, al cuadrado significa dos 𝑐 por dos 𝑐. Así que, obtenemos, dos 𝑏 al cuadrado igual a cuatro 𝑐 al cuadrado.

Ahora podemos dividir ambos lados entre dos para cancelar los doses aquí. Y tengo dos y uno aquí. En otras palabras, 𝑏 al cuadrado es igual a dos 𝑐 al cuadrado. Luego, en el lado derecho, dijimos que 𝑐 es un número entero. Al cuadrado, que es un entero por un entero, es también un entero. Así que esta expresión, dos veces un número entero, debe dar un resultado par.

Luego, utilizando la misma lógica que usamos aquí para demostrar que 𝑎 debe ser par, podemos decir que 𝑏 también debe ser par. ¡Pero, espera un poco! Dijimos justo al principio que, si 𝑎 es un número par, entonces 𝑏 debe ser impar. Y que, si 𝑏 es un número par, entonces 𝑎 debe ser impar. Ahora hemos demostrado que 𝑎 debe ser par y 𝑏 debe ser par también. Esto es una contradicción.

Hemos demostrado que 𝑏 debe ser par y también impar. Esto significa que nuestra suposición original era incorrecta. Nuestro punto de partida era suponer que hay dos enteros 𝑎 y 𝑏 que se pueden usar como numerador y denominador en una fracción reducida para representar el valor de la raíz cuadrada de dos.

Pero esa suposición nos lleva a dos conclusiones mutuamente excluyentes. Nos lleva a que 𝑏 es un número par y a que 𝑏 es un número impar. Así que la suposición debe ser incorrecta. No hay, pues, dos enteros 𝑎 y 𝑏 que puedan ser usados como numerador y denominador, respectivamente, en una fracción reducida que represente el valor de la raíz cuadrada de dos. Llamamos a este tipo de demostración “método de reducción al absurdo”. En lugar de probar que una cosa es cierta en todos los casos, hemos demostrado que suponer que una cosa es verdadera nos lleva a una situación sin sentido. Por lo tanto, no puede ser verdad. El método de reducción al absurdo es una técnica muy potente.

Hoy en día, los números irracionales se conocen desde hace mucho tiempo. Y la gente no tiende a enojarse tanto como los pitagóricos cuando son mencionados. De todas formas, si vas a mostrarle a alguien esta prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, tal vez sea mejor asegurarte de que estás en tierra firme, por si acaso.