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Vídeo de la lección: El binomio de Newton Matemáticas

En este video, vamos a aprender cómo desarrollar expresiones de la forma (𝑎 + 𝑏)^𝑛 usando números combinatorios.

17:52

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo aplicar el teorema del binomio — también conocido cómo la fórmula del binomio de Newton— para desarrollar expresiones de la forma 𝑎 más 𝑏 a la 𝑛-ésima potencia para valores enteros positivos de 𝑛. Sabemos cómo desarrollar potencias de binomios de exponente pequeño, como la segunda o la tercera potencia, aplicando para ello el método PEIÚ, el método de la cuadrícula u otros métodos. Este proceso, sin embargo, se vuelve demasiado complicado cuando se trabaja con potencias más altas, por ejemplo, 𝑎 más 𝑏 a la novena potencia. Y nuestra tarea en este video es encontrar una manera más rápida de hacer esto.

Vamos a fijarnos en la expresión 𝑎 más 𝑏 al cubo para explorar cómo esto podría hacerse. Sabemos que 𝑎 más 𝑏 al cubo se puede escribir como 𝑎 más 𝑏 por 𝑎 más 𝑏 por 𝑎 más 𝑏. Y cuando desarrollamos esto usando nuestras técnicas habituales, obtenemos la expresión 𝑎 al cubo más tres 𝑎 al cuadrado 𝑏 más tres 𝑎𝑏 al cuadrado más 𝑏 al cubo. Pero ¿de dónde viene cada uno de estos términos? Comencemos considerando el primer término, 𝑎 al cubo. Este término no contiene ninguna 𝑏. Así que miramos nuestra expresión anterior, y decimos: «¿De cuántas formas podemos lograr esto? ¿Cuántas formas hay de elegir cero 𝑏 de nuestros tres binomios?».

Bueno, de hecho, vemos que solo hay una forma. Tenemos que elegir la 𝑎 de cada uno de nuestros binomios. Formalmente decimos que hay tres sobre cero, o tres combinación cero, maneras. Esa es la cantidad de formas de elegir cero elementos distintos de un conjunto de tres elementos donde el orden no importa. Y sabemos que es igual a uno. Así que ese es el coeficiente de nuestro primer término. Incluso podemos escribir esto como tres sobre cero por 𝑎 al cubo por 𝑏 elevado a cero ya que 𝑏 elevado a cero es simplemente igual a uno.

¿Qué pasa con nuestro segundo término? Esta vez, nos preguntamos «¿De cuántas formas podemos elegir una 𝑏 de nuestros tres binomios? » Y podríamos hacer esto a mano, pero de hecho podemos usar la notación 𝑛C𝑟. Y podemos decir que esto es tres sobre uno. Esa es la cantidad de formas de elegir un artículo de un conjunto de tres donde el orden no importa. Ahora bien, si elegimos una letra 𝑏, debemos tener dos letras 𝑎. Así que nuestro coeficiente de nuestro segundo término es tres sobre uno. Y el término completo es tres sobre uno por 𝑎 al cuadrado por 𝑏 elevado a uno.

¿Y nuestro próximo término? Esta vez, hemos tomado dos letras 𝑏 de un conjunto de tres binomios. Y el coeficiente de nuestro término ahora será tres sobre dos. Esa es la cantidad de formas de lograr esto. Por supuesto, si tomamos dos letras 𝑏, tomaremos una letra 𝑎. Así que el término es tres sobre dos por 𝑎 elevado a uno por 𝑏 al cuadrado. Y en este punto, es posible que desees pensar de dónde viene ese último término. Ese es el término 𝑏 al cubo.

¿Pudiste hallarlo? Esta vez, estamos tomando tres letras 𝑏 y cero letras 𝑎. Así que nuestro coeficiente es tres combinación tres. Y nuestro término es tres combinación tres por 𝑎 elevado a cero por 𝑏 al cubo. Y de ahí es de donde vienen todos nuestros términos. Así que ahora vamos a poner esto con la expresión original y vamos a ver si podemos hallar una manera de generalizarlo.

Vamos a considerar la forma general de un binomio elevado a la 𝑛-ésima potencia. Eso es 𝑎 más 𝑏 elevado a 𝑛, donde 𝑛 es un número entero positivo. El primer término no contendrá ninguna letra 𝑏 de un total de 𝑛 grupos. Y habrá 𝑛 letras 𝑎. El coeficiente entonces es 𝑛 sobre cero. Esa es la cantidad de formas de elegir cero letras 𝑏 de entre 𝑛 opciones. Y el término es 𝑛 combinación cero por 𝑎 a la 𝑛-ésima potencia por 𝑏 elevado a cero.

Nuestro siguiente término contiene una 𝑏, por lo que el coeficiente será 𝑛 combinación uno. Esa es la cantidad de formas de elegir una letra 𝑏 de entre 𝑛 opciones. Ahora tenemos una 𝑎 menos. Así que eso es 𝑎 elevado a 𝑛 menos uno. En nuestro tercer término, estamos eligiendo dos letras 𝑏 de un total de 𝑛 opciones. Y vamos a tener una 𝑎 menos otra vez. Así que este tercer término es 𝑛 combinación dos por 𝑎 elevado a 𝑛 menos dos por 𝑏 al cuadrado. También sabemos que el término final contendrá 𝑛 letras 𝑏 y cero letras 𝑎. El número de formas de elegir 𝑛 letras 𝑏 de un grupo de 𝑛 es 𝑛 combinación 𝑛. Así que este término final es 𝑛 combinación 𝑛 por 𝑎 elevado a cero por 𝑏 elevado a 𝑛.

Pero ¿qué hacemos con todos esos términos entre el tercero y el último? Supongamos que queremos hallar el término que contiene 𝑟 letras 𝑏. Sabemos entonces que habrá 𝑛 menos 𝑟 letras 𝑎. El número de formas de elegir 𝑟 letras 𝑏 de un grupo de 𝑛 es 𝑛 combinación 𝑟. Así que podemos decir que el término general del desarrollo binomial es 𝑛 sobre 𝑟 por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 por 𝑏 elevado a 𝑟. Y esta es la fórmula del desarrollo del binomio de Newton.

Observa que 𝑛 combinación cero y 𝑛 combinación 𝑛 son ambos igual a uno, y lo mismo ocurre con 𝑏 elevado a cero y 𝑎 elevado a cero. De hecho, podemos reescribir esto un poco. Y obtenemos 𝑎 a la 𝑛-ésima potencia más 𝑛 combinación uno por 𝑎 a la 𝑛 menos uno por 𝑏, y así continuamos hasta 𝑏 a la 𝑛-ésima potencia. Notamos que el exponente de 𝑎 disminuye en una unidad cada vez y el exponente de 𝑏 aumenta en una unidad cada vez. La suma de los exponentes de 𝑎 y 𝑏 es igual a 𝑛 en todos los términos. Y este valor de aquí siempre es igual al exponente de 𝑏.

Finalmente, notamos que también podemos escribir esto usando la notación Σ. Es la sumatoria desde 𝑟 igual a cero hasta 𝑛 de 𝑛 sobre 𝑟 por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 por 𝑏 elevado a 𝑟, donde 𝑛 sobre 𝑟, que se escribe 𝑛C𝑟 o de otras formas dependiendo de dónde te encuentres en el mundo, es 𝑛 factorial dividido por 𝑟 factorial por 𝑛 menos 𝑟 factorial. Recuerda, por supuesto, que esta fórmula solo es válida para valores enteros no negativos de 𝑛. Ahora que conocemos esta fórmula tan importante, veamos cómo aplicarla en un ejemplo muy sencillo.

Usa la fórmula del binomio de Newton para hallar el desarrollo de uno más 𝑥 a la cuarta.

Recuerda, la fórmula del binomio de Newton nos permite desarrollar expresiones de la forma 𝑎 más 𝑏 a la 𝑛-ésima potencia, donde 𝑛 es un número entero no negativo. Y cuando lo hacemos, obtenemos 𝑎 elevado a 𝑛 más 𝑛 combinación uno 𝑎 elevado a 𝑛 menos uno 𝑏 más 𝑛 combinación dos 𝑎 elevado a 𝑛 menos dos 𝑏 al cuadrado y así sucesivamente hasta 𝑏 elevado a 𝑛.

Vamos a usar esta fórmula para desarrollar uno más 𝑥 a la cuarta. Y lo primero que tenemos que hacer es identificar 𝑎, 𝑏 y 𝑛 en este ejemplo. Comparando la expresión uno más 𝑥 a la cuarta con la fórmula del desarrollo del binomio de Newton, podemos ver que tenemos 𝑎 igual a uno, 𝑏 igual a 𝑥 y 𝑛 igual a cuatro. Y aunque no es inmediatamente obvio, debemos tener en cuenta que en el desarrollo siempre habrá 𝑛 más un términos. Aquí, 𝑛 es igual a cuatro. Así que el desarrollo va a tener cinco términos.

Esos términos podrán eventualmente cancelarse o simplificarse, pero en primera instancia, debemos obtener cinco términos. El primer término en nuestro desarrollo es 𝑎 elevado a 𝑛. Que es simplemente uno a la cuarta. Nuestro siguiente término es cuatro, combinación uno por uno elevado a cuatro menos uno por 𝑥, o sea, uno al cubo por 𝑥. De la misma manera, nuestro tercer término es cuatro sobre dos por uno al cuadrado por 𝑥 al cuadrado. Notamos que estamos disminuyendo el exponente de uno cada vez y estamos aumentando el exponente de 𝑥. Nuestro siguiente término es cuatro sobre tres por uno por 𝑥 al cubo. Y nuestro término final es 𝑥 a la cuarta potencia.

Vamos a evaluar nuestros coeficientes recordando la fórmula para 𝑛 sobre 𝑟. Es 𝑛 factorial partido por 𝑟 factorial por 𝑛 menos 𝑟 factorial. Cuatro sobre uno es cuatro factorial partido por uno factorial por cuatro menos uno factorial. Y eso es cuatro factorial partido por uno factorial por tres factorial. Y debemos recordar que cuatro factorial es cuatro por tres por dos por uno. Podemos escribirlo como cuatro por tres factorial. Uno factorial es también uno, por lo que podemos simplificar esta fracción dividiendo el numerador y el denominador por tres factorial. Y nos queda cuatro dividido por uno, que es simplemente cuatro.

De manera similar, el coeficiente de nuestro tercer término, cuatro sobre dos, es cuatro factorial entre dos factorial por cuatro menos dos factorial. Reescribimos cuatro factorial como cuatro por tres por dos factorial, y dos factorial es simplemente dos. Y podemos simplificar nuestra fracción dividiendo el numerador y el denominador por dos por dos, que es cuatro. Y así nos queda tres por dos sobre uno. Que es seis. Realizamos un proceso similar para cuatro combinación tres. Y hallamos que el cuarto término en nuestro desarrollo tiene un coeficiente de cuatro.

Es posible que desees pausar el video y verificar que eso es cierto aplicando la fórmula de 𝑛 sobre 𝑟. Finalmente, notamos que uno a la cuarta, uno al cubo, etc., son todos iguales a uno. Y así podemos simplificar cada uno de nuestros términos como se muestra. Y, por lo tanto, el desarrollo de uno más 𝑥 a la cuarta es uno más cuatro 𝑥 más seis 𝑥 al cuadrado más cuatro 𝑥 al cubo más 𝑥 a la cuarta.

Ahora que hemos visto una aplicación muy sencilla vamos a ver cómo se aplica nuestra fórmula para binomios con términos negativos y radicales.

Desarrolla 𝑥 menos raíz cuadrada de dos, todo al cubo.

Tenemos una potencia de exponente tres y base binomial. En otras palabras, tenemos un binomio que estamos elevando al cubo. Como el exponente es un número entero no negativo, sabemos que podemos aplicar la fórmula del binomio de Newton. Este dice que 𝑎 más 𝑏 a la 𝑛-ésima potencia, donde 𝑛 es un número entero no negativo, es igual a 𝑎 a la 𝑛-ésima potencia más 𝑛 sobre uno 𝑎 a la 𝑛 menos uno 𝑏, etcétera. Y comenzamos, por supuesto, comparando nuestra expresión con la forma binomial general.

Vemos que podemos hacer 𝑎 igual a 𝑥. Y debemos tener mucho cuidado con 𝑏. Un error común es pensar que el signo de este término no importa. De hecho, sí que importa. De hecho, puesto que nuestra forma general es 𝑎 más 𝑏, nuestro valor de 𝑏 es menos raíz de dos. Y 𝑛 es igual a tres. El primer término en nuestro desarrollo es 𝑎 elevado a 𝑛. Así que debe ser igual a 𝑥 al cubo. Nuestro segundo término es 𝑛 sobre uno, es decir tres sobre uno, multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos uno, es decir 𝑥 elevado a tres menos uno, que es 𝑥 al cuadrado, multiplicado por 𝑏, que es menos raíz de dos.

Nuestro tercer término es tres combinación dos por 𝑥 por menos raíz de dos al cuadrado. Y como sabemos que siempre obtenemos 𝑛 más uno términos al escribir nuestro desarrollo, sabemos que nuestro siguiente término será el término final. Es el cuarto término. Ese término final es 𝑏 elevado a 𝑛, por lo que es menos raíz de dos al cubo. Tres combinación uno es tres factorial entre uno factorial por tres menos uno factorial. Y eso nos da tres. Tres combinación dos también es tres, así que vamos a reemplazar cada uno de nuestros coeficientes tres combinación uno y tres combinación dos con tres.

Una vez que hemos hecho esto, todo lo que necesitamos hacer es evaluar nuestras potencias crecientes de raíz negativa dos. Eso es bastante sencillo. Con nuestro segundo término, es simplemente menos raíz de dos. Y podemos reescribir esto como menos tres raíz de dos 𝑥 al cuadrado. Menos raís de dos al cuadrado, sin embargo, es más dos. Así que nuestro tercer término se convierte en tres por dos por 𝑥, que es simplemente seis 𝑥. Nuestro término final se puede escribir como menos raíz de dos por menos raíz de dos al cuadrado. Eso es menos raíz de dos por dos, o sea, menos dos raíz de dos. El desarrollo de 𝑥 menos raíz de dos al cubo es 𝑥 al cubo menos tres raíz de dos 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 menos dos raíz de dos.

Y esta fórmula también sirve, por supuesto, para términos fraccionarios. Veamos un ejemplo de cómo se hace esto.

Desarrolla 𝑥 partido por cuatro menos uno partido por 𝑥, todo a la quinta potencia.

Esto es un binomio. Es una suma o diferencia de dos términos algebraicos. Y está elevado a la quinta potencia. Como lo estamos elevando a una potencia entera no negativa, podemos usar el teorema del binomio, o sea, la fórmula del binomio de Newton. Y este teorema dice que 𝑎 más 𝑏 a la 𝑛-ésima potencia, donde 𝑛 es un número entero no negativo, es 𝑎 a la 𝑛-ésima potencia más 𝑛 sobre uno 𝑎 a la 𝑛 menos uno 𝑏, etcétera. Comparando nuestro binomio con la fórmula, vamos a hacer 𝑎 igual a 𝑥 sobre cuatro, y 𝑏 igual a menos uno sobre 𝑥, y como 𝑛 es el exponente, vale cinco.

El primer término en nuestro desarrollo es 𝑎 elevado a 𝑛. Y eso es 𝑥 partido por cuatro, todo elevado a cinco. Nuestro siguiente término es cinco combinación uno por 𝑥 entre cuatro a la cuarta por menos uno entre 𝑥. Recuerda que reducimos el exponente de 𝑎 en una unidad cada vez. Y que el exponente de 𝑏 aumenta en uno cada vez. Así que nuestro siguiente término es cinco, sobre dos por 𝑥 partido por cuatro al cubo por menos uno partido por 𝑥 al cuadrado. Estamos a mitad de camino. Sabemos que habrá 𝑛 más uno, es decir, seis términos en nuestro desarrollo. Escribamos los tres restantes.

Son cinco combinación tres por 𝑥 entre cuatro al cuadrado por menos uno entre 𝑥 al cubo más cinco combinación cuatro por 𝑥 entre cuatro por menos uno entre 𝑥 a la cuarta más menos uno entre 𝑥 a la quinta. Nuestra tarea ahora es simplificar cada uno de estos términos. Para nuestro primer término, eso es bastante sencillo. Podemos simplemente aplicar la quinta potencia a ambas partes de nuestra fracción. Obtenemos 𝑥 a la quinta sobre cuatro a la quinta. Y eso es 𝑥 a la quinta sobre 1024. Cinco sobre uno es simplemente cinco. Sabemos que este término va a ser negativo ya que estamos multiplicando por menos uno sobre 𝑥. Y 𝑥 entre cuatro a la cuarta es 𝑥 a la cuarta sobre 256.

Y vemos que podemos dividir por 𝑥. Así que obtenemos cinco por 𝑥 al cubo sobre 256 por uno, lo que significa que nuestro segundo término es menos cinco 𝑥 al cubo sobre 256. El coeficiente de nuestro tercer término es cinco combinación dos. Eso es igual a 10. Esta vez, vamos a tener un término positivo ya que menos uno entre 𝑥 todo al cuadrado es simplemente uno entre 𝑥 al cuadrado. Del mismo modo, 𝑥 sobre cuatro al cubo es 𝑥 al cubo sobre 64. Notamos que podemos dividir por 𝑥 al cuadrado y por dos. 64 dividido por dos es 32. Obtenemos cinco por 𝑥 sobre 32 por uno, lo que nos da cinco 𝑥 sobre 32.

Continuemos. Cinco combinación tres es 10 una vez más. El coeficiente de este término será negativo ya que menos uno entre 𝑥 todo al cubo es menos uno entre 𝑥 al cubo. Y obtenemos menos 10 por 𝑥 al cuadrado entre 16 por uno entre 𝑥 al cubo. Y podemos dividir por 𝑥 al cuadrado. También podemos dividir por dos, lo que nos da cinco y ocho. Obtenemos cinco por un octavo por uno entre 𝑥, que es cinco entre ocho 𝑥.

Quedan dos términos más. Cinco combinación cuatro es cinco. Esta vez, este término negativo está elevado a un exponente par. Así que vamos a obtener un resultado positivo. Y es cinco por 𝑥 entre cuatro por uno sobre 𝑥 todo a la cuarta. Y esta vez, también podemos dividir todo por 𝑥. Obtenemos cinco por un cuarto por uno sobre 𝑥 al cubo. Así que este término es cinco entre cuatro 𝑥 al cubo. El coeficiente de nuestro último término será negativo ya que estamos elevando un valor negativo a un exponente impar. Es menos uno sobre 𝑥 a la quinta.

Así que hemos terminado con nuestro desarrollo binomial. 𝑥 sobre cuatro menos uno sobre 𝑥, todo a la quinta es igual a 𝑥 a la quinta sobre 1024 menos cinco 𝑥 al cubo sobre 256 más cinco 𝑥 sobre 32 menos cinco sobre ocho 𝑥 más cinco sobre cuatro 𝑥 al cubo menos uno sobre 𝑥 a la quinta.

Resumamos los puntos clave de esta lección. En este video, hemos aprendido que podemos desarrollar binomios elevados a potencias enteras no negativas usando la fórmula 𝑎 más 𝑏 a la 𝑛-ésima potencia es igual a 𝑎 a la 𝑛-ésima potencia más 𝑛 combinación uno 𝑎 elevado a 𝑛 menos uno 𝑏 más 𝑛 combinación dos 𝑎 elevado a 𝑛 menos dos 𝑏 al cuadrado, y así sucesivamente hasta llegar a 𝑏 elevado a 𝑛. Esto se puede escribir usando la notación Σ como sumatoria desde 𝑟 igual a cero hasta 𝑛 de 𝑛 sobre 𝑟 por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 por 𝑏 elevado a 𝑟, donde 𝑛 sobre 𝑟 es 𝑛 factorial partido por 𝑟 factorial por 𝑛 menos 𝑟 factorial. Hemos visto también que la primera línea de nuestro desarrollo siempre tiene 𝑛 más uno términos, aunque esos términos podrán cancelarse o simplificarse en pasos siguientes, y que este desarrollo sirve también para términos radicales, negativos y fraccionarios.

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