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En esta lección, vamos a aprender cómo hallar el número de los resultados posibles en un espacio muestral usando la regla del producto de la combinatoria, la cual se llama a veces principio fundamental del conteo. Comencemos viendo un ejemplo.
Supongamos que tenemos las letras A, B y C. ¿De cuántas formas diferentes podemos ordenarlas?
Bien, podemos usar algo llamado listado sistemático; es decir, simplemente las escribimos usando algún tipo de sistema. Comencemos con una primera opción bastante obvia. Comencemos con ABC. Vamos a mantener A en su lugar, y vamos a cambiar las otras dos letras para obtener ACB. Ese es un orden diferente, y esa es la segunda forma de ordenarlas. No hay otras formas de ordenarlas con A al principio, así que ahora vamos a poner B al principio. Podríamos tener BAC. Y si mantenemos la B en su lugar y cambiamos las otras dos letras, obtenemos BCA. Podemos repetir este proceso manteniendo también C al principio. Y hecho esto nos hemos quedado sin nuevas formas de ordenarlas. Si las contamos, vemos que hay exactamente seis formas de ordenarlas.
Y esta puede ser una buena técnica. Sin embargo, hay algunos problemas. En primer lugar, si tenemos muchas opciones, digamos que queremos pedir seis o siete letras, este proceso puede llevar mucho tiempo. Y, en segundo lugar, sería muy fácil pasar por alto algunas opciones. Veamos si podemos encontrar una forma mejor de hacer esto. Consideremos el uso de un diagrama de árbol para hallar el número total de resultados posibles.
Si pensamos en el primer conjunto, sabemos que hay tres opciones diferentes. Podemos elegir A, B y C. Ahora, imaginemos que hemos elegido la primera letra y tenemos A. La segunda letra ahora solo puede ser B o C. Sin embargo, si seguimos la segunda opción, la segunda letra puede ser A o C. Y si elegimos el tercer camino o la tercera opción y escogemos una letra C, nuestra segunda letra puede ser A o B. Cuando pasamos a la tercera letra, vemos que si ya hemos elegido una A y una B, ahora solo podemos elegir una C. Y podemos repetir esto dibujando una rama que parta de cada una de las seis ramas anteriores. Contemos el número total de resultados y veamos de dónde vienen.
Había tres ramas para nuestra primera letra. Luego, para la segunda letra, teníamos dos ramas saliendo de cada una de esas tres originales. Hay tres por dos ramas. Finalmente, debajo de la tercera letra, hay una rama que sale de cada una de las anteriores. Por lo tanto, hay un total de tres por dos por uno, que son seis resultados. Y así, el número de formas de ordenar las letras aquí es tres por dos por uno; es seis. Simplemente multiplicamos el número de formas de elegir la primera letra por el número de formas de elegir la segunda por el número de formas de elegir la tercera. Y, de hecho, podemos generalizar esto.
El principio fundamental de conteo, o sea, la regla del producto en combinatoria dice que si A y B son dos experimentos independientes tales que A tiene 𝑚 resultados y B tiene 𝑛 resultados, entonces el número total de resultados distintos de los dos experimentos juntos es el producto de estos; es 𝑚 por 𝑛. Veamos, pues, un ejemplo de la aplicación de este principio.
¿Cuántos números de tres dígitos diferentes podrían formarse a partir del conjunto de dígitos formado por los elementos uno, dos, cuatro y nueve?
Recuerda que el principio fundamental del conteo, también llamado regla de la multiplicación en combinatoria, dice que si A es un experimento que tiene 𝑚 resultados y B es un experimento que tiene 𝑛 resultados, el número total de resultados de A y B es el producto de estos números. O sea, es 𝑚 por 𝑛. Ahora bien, de hecho, tenemos aquí tres posibles experimentos. Tenemos el experimento que es elegir el primer dígito, el segundo experimento que es elegir el segundo dígito y el tercer experimento, que es elegir el tercer dígito. Pero la regla de la multiplicación aún se mantiene, por lo que necesitamos hallar el número de resultados que tenemos para elegir cada dígito y luego multiplicarlos.
Hay cuatro dígitos posibles entre los que podemos elegir. Esos son uno, dos, cuatro y nueve. Por lo tanto, tenemos muy claro que hay cuatro formas diferentes de elegir el primer dígito. Nos dicen que son números de tres dígitos diferentes. Pensemos en cómo elegimos el segundo dígito. Digamos, por ejemplo, que el primer dígito que elegimos fue el número uno. Ya no podemos usarlo. Por lo tanto, hay tres dígitos diferentes para elegir. El número de formas de elegir nuestro segundo dígito es tres. Del mismo modo, pasemos al tercer dígito. Ahora ya hemos elegido dos números del conjunto de cuatro. Y eso significa que solo pueden quedar dos números para elegir.
Por lo tanto, hay cuatro formas de elegir el primer dígito, tres formas de elegir el segundo y dos formas de elegir el tercero. La regla del producto, o principio fundamental de la combinatoria nos dice que podemos hallar el número total de resultados multiplicándolos. Eso es cuatro por tres por dos, que es igual a 24. Hay 24 números de tres dígitos diferentes que se pueden formar a partir del conjunto de los dígitos uno, dos, cuatro y nueve.
El menú en un restaurante se muestra a continuación. ¿Cuántas formas hay de elegir una comida de dos platos?
Para elegir una comida de dos platos, vamos a elegir un primer plato y un segundo. Por lo tanto, una forma que tenemos para hallar el número total de comidas que hay es enumerar todas las opciones posibles. Pero este puede ser un método bastante largo. En cambio, vamos a recordar el principio fundamental de conteo, o sea, la regla del producto. Este principio dice que si A es un experimento que tiene 𝑚 resultados y B es un experimento que tiene 𝑛 resultados, el número total de resultados para los dos experimentos juntos es 𝑚 por 𝑛. Y es por eso que se llama principio de la multiplicación. Hallamos el producto del número de resultados.
Vemos que hay cuatro formas posibles de elegir un primer plato y hay tres formas posibles de elegir un segundo plato. Esto significa que el número total de formas de elegir una comida de dos platos es el producto del número de resultados. Es cuatro por tres, que es igual a 12. Hay 12 formas de elegir una comida de dos platos.
Veamos otro ejemplo.
Una empresa de construcción tiene tres sitios activos. Hay 20 formas diferentes de conducir desde el sitio A al sitio B. Hay 16 formas de conducir desde el sitio B hasta el sitio C. ¿De cuántas maneras podemos conducir desde el sitio A hasta el sitio C visitando el sitio B en el camino?
Imaginemos que tenemos estas tres obras. Nos dicen que hay 20 formas de llegar del sitio A al sitio B y luego 16 formas de llegar del sitio B al sitio C. Necesitamos calcular el número total de formas que podemos ir del sitio A al sitio B y luego al sitio C. Y para hacerlo, vamos a utilizar el principio fundamental de conteo o regla del producto. Este principio dice que si A es un experimento que tiene 𝑚 resultados y B es un experimento que tiene 𝑛 resultados, entonces el número total de resultados para el experimento combinado A y B es 𝑚 por 𝑛.
Nuestro primer experimento es conducir desde el sitio A al sitio B. Hay 20 formas diferentes de hacer esto. Hay 20 resultados. Luego, nuestro segundo experimento es conducir desde el sitio B al sitio C, y sabemos que hay 16 resultados. Y así, el número total de caminos que podemos recorrer desde el sitio A hasta el sitio B y luego al sitio C es 20 por 16, que es 320. Hay 320 formas diferentes de hacer ese viaje.
¿De cuántas formas diferentes podemos elegir un equipo de un hombre y una mujer de un grupo de 23 hombres y 14 mujeres?
Este escenario tiene efectivamente dos experimentos. El primer experimento es elegir un hombre de entre un total de 23, y el segundo experimento es elegir una mujer de entre un total de 14. Por lo tanto, vamos a necesitar recordar el principio fundamental del conteo. Este dice que si A y B son dos experimentos independientes tales que A tiene 𝑚 resultados y B tiene 𝑛 resultados, hay un número total de 𝑚 por 𝑛 resultados de estos dos sucesos juntos. El número total de formas en que podemos elegir un equipo de un hombre y una mujer va a ser 23 por 14. Podemos usar cualquier método que queramos realmente para realizar este cálculo. Usemos el método en vertical.
Tres por cuatro son 12. Ponemos un dos en esta columna y llevamos uno. Dos por cuatro son ocho y sumamos uno para obtener nueve. A continuación, vamos a hacer tres por uno. Pero como el uno está en la columna de las decenas, esto es como hacer tres por 10, así que ponemos un cero. Tres por uno es tres y dos por uno es dos. Vamos a sumar estos valores. Dos más cero es dos, nueve más tres es 12, así que vamos a llevar un uno, y dos más uno es tres. Hemos hallado que hay 322 formas de elegir un equipo de un hombre y una mujer de un grupo de 23 hombres y 14 mujeres.
Vamos a ver un último ejemplo.
Se hacen girar dos ruletas. La primera ruleta está numerada del uno al cinco, y la segunda ruleta está numerada del uno al siete. Determina el número total de resultados posibles.
Para responder a esta cuestión, vamos a utilizar el principio fundamental del conteo. Este dice que, si A y B son experimentos independientes, es decir, el resultado de uno no afecta el resultado del otro y si A tiene 𝑚 resultados posibles y B tiene 𝑛 resultados posibles, el número total de resultados posibles de los dos sucesos. juntos es 𝑚 por 𝑛; es el producto de estos.
Nuestros dos experimentos son hacer girar la primera ruleta y hacer girar la segunda ruleta. Por lo tanto, debemos considerar el número total de resultados para cada experimento. La primera ruleta está numerada del uno al cinco, por lo que hay cinco resultados diferentes que podemos obtener cuando hacemos girar la primera ruleta. Luego, la segunda ruleta está numerada del uno al siete. Por lo tanto, hay siete resultados diferentes; Hay siete puntajes diferentes que podemos obtener. La regla del producto o principio fundamental del conteo dice que el número total de resultados posibles es el producto de estos dos números. Es cinco por siete y, por supuesto, es igual a 35. Y esto significa que cuando hacemos girar estas dos ruedas, podemos obtener un total de 35 resultados posibles.
Resumamos ahora los puntos clave de esta lección. En este video, hemos aprendido que el principio fundamental del conteo, que a veces se llama regla del producto de la combinatoria, puede ayudarnos a ahorrar tiempo cuando tratamos de hallar el número total de resultados de más de un experimento compuesto. Esto dice que dados dos experimentos independientes A y B, lo que significa que el resultado de uno no afecta el resultado del otro, y el experimento A tiene 𝑚 resultados posibles y el experimento B tiene 𝑛 resultados posibles, el número total de resultados posibles para estos dos experimentos es el producto de estos números. Es 𝑚 por 𝑛.
