Vídeo: Simplificar expresiones numéricas que contienen raíces cúbicas

Expresa ∛(2) − ∛(9) × ∛(−6) + 2∛(1/4) en su forma más simple.

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Transcripción del vídeo

Expresa raíz cúbica de dos menos raíz cúbica de nueve multiplicada por raíz cúbica de menos seis más dos por raíz cúbica de un cuarto en su forma más simple.

Bien, para escribir esta expresión en su forma más simple, lo mejor es hacer la tarea por partes. Antes que nada, me fijo en este término: menos raíz cúbica de nueve multiplicada por raíz cúbica de menos seis. Y me fijo en este término porque las dos raíces están multiplicadas. Escribo otra vez este término y vamos con ello.

Me fijo ahora en raíz cúbica de nueve, y la puedo escribir como raíz cúbica de tres multiplicada por tres. Y raíz cúbica de menos seis la podemos escribir como raíz cúbica de tres multiplicada por menos dos. Y luego, una vez más, podemos reorganizar esta expresión porque tenemos raíz cúbica de tres multiplicada por tres y luego tenemos otro tres en la otra raíz cúbica, lo que nos da raíz cúbica de tres por tres por tres, y todo multiplicado por raíz cúbica de menos dos.

Muy bien, pero sabemos que raíz cúbica de tres por tres por tres es igual a raíz cúbica de 27. Así que esto será igual a tres. Claro está que, de una manera o de otra obtendríamos tres porque si tienes raíz cúbica de un número multiplicado por sí mismo tres veces, eso es el número mismo. Sea como sea, hemos obtenido tres multiplicado por raíz cúbica de menos dos.

Luego hay otro paso que podemos completar. Y esto es así porque raíz cúbica de menos dos va a ser igual a menos raíz cúbica de dos. Y esto ocurre porque si un signo menos afecta a todo lo que hay dentro de una raíz cúbica, entonces el signo se puede sacar fuera de raíz.

Por lo tanto, podemos decir que esta parte es igual a menos tres por raíz cúbica de dos. ¡Perfecto! Así que, en esta parte, podemos ver que, en realidad, tenemos raíces cúbicas de dos. Y esto es bueno porque si miramos el primer término, ese es precisamente raíz cúbica de dos. Tener raíces cúbicas de dos me viene de perlas porque estamos buscando simplificar esta expresión.

Bien, ahora podemos pasar al último término y vamos a trabajar con él. Tenemos dos multiplicado por raíz cúbica de un cuarto. Pues bien, podemos usar una propiedad de las potencias, que es que raíz de índice 𝑎 de 𝑥 es igual a 𝑥 elevada a la potencia de uno sobre 𝑎. Por lo tanto, tenemos dos multiplicado por un cuarto elevado a un tercio. Y como un cuarto es igual a un medio al cuadrado, podemos escribir esto como un medio al cuadrado elevado a un tercio.

Ahora aplicamos otra regla de los exponentes, que dice que 𝑥 elevada a la potencia de 𝑎 y todo elevado a la potencia de 𝑏 es igual a 𝑥 a la potencia de 𝑎 multiplicada por 𝑏. Así que esto nos da dos multiplicado por un medio elevado a dos tercios. Y ahora podemos aplicar aún otra regla de los exponentes, que nos dice que uno sobre 𝑥 elevado a la potencia de 𝑎 es igual a 𝑥 a la potencia de menos 𝑎. Así que este término se ha convertido en dos multiplicado por dos a la potencia de menos dos tercios.

Ahora podemos sumar nuestros exponentes porque estamos multiplicando dos potencias con la misma base. Los exponentes hacen un total de un tercio. Así que hemos transformado este término en dos a la potencia de un tercio. Y luego, fijándonos en nuestra primera regla de los exponentes, podemos decir que es igual a raíz cúbica de dos. ¡Excelente! Esto es todo lo que podemos hacer con cada uno de los términos por separado. Pongámoslos todos juntos ahora y tratemos de simplificar más.

Tenemos, pues, raíz cúbica de dos. Y luego más tres por raíz cúbica de dos. Y esto salió porque en la expresión original teníamos raíz cúbica de menos nueve. Y también teníamos raíz cúbica de menos seis. Así que dos signos menos produjeron un signo más. Y luego, finalmente, tenemos raíz cúbica de dos. Porque en esto se convirtió el término con raíz cúbica de dos cuartos cuando lo simplificamos.

Por lo tanto, podemos decir que raíz cúbica de dos menos raíz cúbica de nueve multiplicada por raíz cúbica de menos seis más dos por raíz cúbica de un cuarto, en su forma más simple es igual a cinco raíz cúbica de dos. Y esto es lo que sale porque raíz cúbica de dos más tres raíz cúbica de dos más otra raíz cúbica de dos es igual a cinco raíz cúbica de dos.

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