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En este vídeo vamos a aprender cómo determinar el signo de una función a partir de su ecuación o gráfica. Para ello vamos a comenzar explicando qué entendemos por signo de una función. El signo de una función cualquiera puede ser positivo, negativo o igual a cero. Si una función es positiva, es mayor que cero y si es negativa, es menor que cero. A menudo, una función será más de una de estas opciones. En distintos o intervalos, una función será positiva, negativa o igual a cero. Consideremos algunos tipos distintos de gráficas.
Comenzamos con tres gráficas lineales, o sea, con tres líneas rectas. La primera gráfica es una recta horizontal, y es, por lo tanto, de la forma 𝑦 igual a una constante 𝑎. Como la recta está por debajo del eje de las 𝑥, esta función siempre será negativa. Nuestra segunda gráfica es una recta vertical, esta vez de la forma 𝑥 igual a una constante 𝑎. Esta función será igual a cero en el punto en el que la recta corta el eje de las 𝑥. Será negativa en todos los puntos por debajo de ese lugar y positiva en todos los puntos por encima. Nuestra tercera función lineal es de la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, donde 𝑚 es la pendiente o gradiente y 𝑏 es la intersección con el eje de las 𝑦. Y, de nuevo, esta función tendrá un valor donde será igual a cero. Parte de la función será positiva y parte de la función será negativa. La región que está por encima del eje de las 𝑥 es positiva y la región que está por debajo es negativa. Podemos hallar el valor en el que la función es igual a cero haciendo 𝑦 igual a cero. Y seguidamente podemos resolver esta ecuación para hallar un valor de 𝑥.
Veamos lo que sucede cuando tenemos una función cuadrática o cúbica. Una función cuadrática de la forma 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 tendrá forma de u o de n dependiendo del signo del coeficiente principal 𝑎. Y, por supuesto, podremos hallar los valores en los que la función es igual a cero haciendo 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 igual a cero. Según nuestro diagrama, la función será positiva al lado derecho de una solución y al lado izquierdo de la otra. La función será negativa entre los dos valores. Si bien esto varía algo según la función, una función cuadrática será positiva, negativa e igual a cero en distintos intervalos o puntos.
Lo mismo ocurre con la función cúbica que se muestra. Es igual a cero en tres puntos de la gráfica. Es positiva entre las primeras dos soluciones y cuando es mayor que la tercera solución. La función es negativa cuando es menor que la primera solución o entre la segunda y tercera solución. En este vídeo vamos a resolver problemas que contienen funciones constantes, funciones lineales y funciones cuadráticas.
¿En cuál de los siguientes intervalos es 𝑓 de 𝑥 igual a menos ocho negativa? ¿Es (A) el intervalo abierto que va de menos ∞ a ocho? ¿(B) El intervalo abierto que va de menos ocho a ∞? ¿(C) El intervalo abierto de menos ocho a ocho? ¿(D) El intervalo abierto de ocho a ∞? ¿O (E) el intervalo abierto que va de menos ∞ a ∞?
Veamos primero cuál es la gráfica de la función 𝑓 de 𝑥 igual a menos ocho. Si consideramos un sistema de coordenadas normal, el eje horizontal es el eje de las 𝑥 y el eje vertical es el eje de las 𝑦. En el eje vertical podemos sustituir 𝑦 por 𝑓 de 𝑥. Se nos dice que 𝑓 de 𝑥 es igual a menos ocho. Por lo tanto, tenemos que hallar menos ocho en el eje de las 𝑦 o eje 𝑓 de 𝑥. Nuestra función es una recta horizontal que pasa por este punto. Esta recta continuará indefinidamente hacia la izquierda y hacia la derecha. Como la recta se encuentra completamente por debajo del eje de las 𝑥, siempre será negativa. Y como 𝑓 de 𝑥 igual a menos ocho es siempre negativa, la respuesta correcta es la opción (E), el intervalo abierto de menos ∞ a ∞. Si una función es igual a una constante, tendrá el mismo signo en todos sus puntos. En este caso, la función siempre es negativa.
En la siguiente cuestión vamos a ver una función de la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏.
Determina el signo de la función 𝑓 de 𝑥 igual a menos cinco 𝑥 más cinco.
Sabemos que esta función es lineal, pues es de la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, donde 𝑚 es la pendiente y 𝑏 es la ordenada 𝑦 en el origen. En este problema, la pendiente de la función es menos cinco y la ordenada 𝑦 en el origen es cinco. Como la pendiente de la función es negativa, nuestra gráfica descenderá hacia la derecha. Para determinar el signo de la función, tenemos que averiguar los puntos o intervalos en los que la gráfica es positiva, negativa e igual a cero. Podemos ver que la gráfica corta el eje de las 𝑥 en un punto. Este será el punto donde la función es igual a cero. Cuando la gráfica está por encima del eje de las 𝑥, la función será positiva, y cuando está por debajo del eje de las 𝑥, será negativa.
Para hallar el punto en el que la función es igual a cero, hacemos 𝑓 de 𝑥 igual a cero. Sumamos cinco 𝑥 a ambos lados de esta ecuación, y obtenemos que cinco 𝑥 es igual a cinco. Seguidamente dividimos ambos lados de la ecuación por cinco, y obtenemos que 𝑥 es igual a uno. Nuestra función es positiva para todos los valores de 𝑥 menores que uno. La función es negativa o está por debajo del eje de las 𝑥 para todos los valores de 𝑥 mayores que uno. Así que concluimos lo siguiente. La función es positiva cuando 𝑥 es menor que uno, negativa cuando 𝑥 es mayor que uno, e igual a cero cuando 𝑥 es igual a uno. La función 𝑓 de 𝑥 igual a menos cinco 𝑥 más cinco es positiva, negativa e igual a cero para distintos valores de 𝑥.
En la siguiente cuestión vamos a operar con una función cuadrática o de segundo grado.
Determina el signo de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más 10𝑥 más 16.
Esta función es cuadrática y como el coeficiente de 𝑥 al cuadrado es positivo, tendrá forma de U. Para determinar el signo de una función, tenemos que calcular los valores donde 𝑓 de 𝑥 es positiva, negativa e igual a cero. Podemos comenzar calculando los ceros de la función haciendo para ello 𝑓 de 𝑥 igual a cero. Al hacerlo obtenemos 𝑥 al cuadrado más 10𝑥 más 16 igual a cero. La función cuadrática puede descomponerse en dos factores, los cuales escribimos entre paréntesis. El primer término en cada paréntesis será 𝑥, pues 𝑥 multiplicado por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. Los segundos términos en nuestro paréntesis deben tener un producto de 16 y una suma de 10. Ocho por dos es 16 y ocho más dos es 10. Al descomponer 𝑥 al cuadrado más 10𝑥 más 16 en factores obtenemos 𝑥 más ocho multiplicado por 𝑥 más dos.
Como al multiplicar estos dos factores obtenemos cero, uno de los factores debe ser igual a cero. O bien 𝑥 más ocho es igual a cero o bien 𝑥 más dos es igual a cero. Restamos ocho de ambos lados de la primera ecuación, y obtenemos 𝑥 igual a menos ocho. Restamos dos de ambos lados de la segunda ecuación, y obtenemos que 𝑥 es igual a menos dos. Esto significa que la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más 10𝑥 más 16 es igual a cero cuando 𝑥 es igual a menos ocho o 𝑥 es igual a menos dos.
Vamos a dibujar la gráfica 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado más 10𝑥 más 16. Sabemos que la gráfica tiene forma de U y que corta el eje de las 𝑥 cuando 𝑥 es igual a menos ocho y cuando 𝑥 es igual a menos dos. También sabemos que corta el eje de las 𝑦 cuando 𝑦 es igual a 16. Y que la función es negativa cuando está por debajo del eje de las 𝑥. Esto ocurre entre los valores menos ocho y menos dos. Podemos escribir esto como una inecuación. La función es negativa cuando 𝑥 es mayor que menos ocho, pero menor que menos dos. La gráfica es positiva cuando está por encima del eje de las 𝑥. Esto ocurre cuando 𝑥 es menor que menos ocho o cuando 𝑥 es mayor que menos dos. Vamos a escribir toda esta información usando notación de intervalos y notación de conjuntos.
La función 𝑓 de 𝑥 es positiva para cualquier valor real excepto los valores que se encuentran en el intervalo cerrado de menos ocho a menos dos. Esto significa que la función es positiva para todos los valores excepto aquellos que están entre menos ocho y menos dos inclusive. La función es negativa cuando los valores de 𝑥 se encuentran en el intervalo abierto menos ocho, menos dos. Esto significa que es negativa para cualquier valor que se encuentra entre menos ocho y menos dos sin incluir esos valores. La función es igual a cero cuando 𝑥 está en el conjunto de números menos ocho, menos dos. Esto significa que es igual a cero solo en los dos valores 𝑥 igual a menos ocho y 𝑥 igual a menos dos. Así que hemos hallado que la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más 10𝑥 más 16 es positiva, negativa e igual a cero para diferentes valores de 𝑥.
En el último ejemplo vamos a considerar dos funciones distintas.
¿Cuáles son los valores de 𝑥 para los que las funciones 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos cinco y 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 48 son ambas positivas?
Comencemos considerando la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos cinco. Para que sea positiva, 𝑓 de 𝑥 debe ser mayor que cero. Así que obtenemos que 𝑥 menos cinco es mayor que cero. Sumamos cinco a ambos lados de esta inecuación, y obtenemos que 𝑥 es mayor que cinco. Así que 𝑓 de 𝑥 es positiva en el intervalo abierto de cinco a ∞. Es una función positiva para todo valor mayor que cinco. Vamos a repetir el mismo procedimiento para 𝑔 de 𝑥. Obtenemos 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 48 mayor que cero. Para resolver una inecuación cuadrática de esta forma, primero tenemos que hallar los ceros igualando nuestra función a cero. Escribimos, pues, 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 48 igual a cero.
Podemos descomponer esta ecuación en un producto de dos factores, que escribimos entre paréntesis. El primer término de cada paréntesis es 𝑥. Los segundos términos deben tener un producto de menos 48 y una suma de dos. Seis por ocho es 48. Esto significa que menos seis por ocho es menos 48. Menos seis más ocho es dos. Nuestros dos factores son 𝑥 menos seis y 𝑥 más ocho. Como el producto de estos dos factores es igual a cero, o bien 𝑥 menos seis es igual a cero o bien 𝑥 más ocho es igual a cero. Sumamos seis a ambos lados de la primera ecuación, y obtenemos que 𝑥 es igual a seis. Y al restar ocho de ambos lados de la segunda ecuación obtenemos que 𝑥 es igual a menos ocho. Esto significa que la función 𝑔 de 𝑥 es igual a cero cuando 𝑥 es igual a seis o 𝑥 es igual a menos ocho.
Como nuestra función es cuadrática y el coeficiente de 𝑥 al cuadrado es positivo, la gráfica tendrá forma de U. Esto significa que es positiva en dos regiones, cuando 𝑥 es mayor que seis y cuando 𝑥 es menor que menos ocho. La solución de la inecuación 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 48 es mayor que cero es 𝑥 es menor que menos ocho o 𝑥 es mayor que seis. También podemos escribir la respuesta usando notación de intervalo. 𝑔 de 𝑥 es positiva en el intervalo abierto de menos ∞ a menos ocho o en el intervalo abierto de seis a ∞.
Queremos hallar los valores de 𝑥 donde ambas funciones son positivas. Consideremos una recta numérica con los valores marcados cinco, menos ocho y seis. Sabemos que 𝑓 de 𝑥 es positiva para todos los valores mayores que cinco. 𝑔 de 𝑥 es positiva para todos los valores menores que menos ocho y mayores que seis. Esto significa que ambas funciones son positivas cuando 𝑥 es mayor que seis. Esto también puede escribirse, usando notación de intervalos, como el intervalo abierto de seis a ∞.
Resumamos pues los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Una función constante de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 es positiva, negativa o igual a cero en todos sus puntos. Si el valor de 𝑎 es positivo, la función es positiva. Si el valor de 𝑎 es negativo, la función es negativa. Y si 𝑎 vale cero, la función es igual a cero. Una función lineal de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏 es positiva, negativa e igual a cero en valores distintos de 𝑥. Y para hallar el valor donde es igual a cero igualamos 𝑓 de 𝑥 a cero. También hemos visto que es útil dibujar la gráfica de la función para identificar los puntos en los que es negativa y positiva.
Y que una función cuadrática de la forma 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 es, a menudo, positiva, negativa e igual a cero para valores distintos de 𝑥. Para hallar los valores donde es igual a cero, igualamos la función a cero y resolvemos la ecuación, lo que podemos hacer descomponiendo en factores o usando otros métodos. Una vez que hemos calculado estos valores, podemos dibujar la gráfica para hallar los puntos donde la función es positiva y negativa. Y, aunque no hemos visto ningún ejemplo de este tipo en este vídeo, puede ocurrir que una función cuadrática no sea igual a cero en ningún punto. En este caso, la función siempre será positiva o siempre negativa, como se muestra en estos diagramas.
Sin embargo, en la gran mayoría de situaciones que veamos, habrá soluciones en las que 𝑓 de 𝑥 es igual a cero. Sabemos, por supuesto, que, si no podemos factorizar la función, aún podemos resolverla usando la fórmula cuadrática. Y que podemos expresar nuestras respuestas a este tipo de preguntas usando signos de desigualdad o notación de intervalo.
