Vídeo: Introducción a los números complejos

En este video, vamos a aprender cómo trabajar con números imaginarios, sabiendo que los números complejos están hechos de una parte real y una parte imaginaria.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a ver el concepto de número imaginario y número complejo. Para comenzar, vamos a definir el significado de número imaginario y número complejo. Y vamos a ver cuándo y en qué situaciones podemos usarlos. Después vamos a descubrir cómo completar cálculos simples y cómo manipular estos números.

Cuando comenzamos a aprender sobre los números, aprendemos acerca del conjunto de los números naturales. A veces también llamados números de conteo. Son números que pueden ser usados para contar y ordenar. Por ejemplo, hay tres manzanas en un tazón, o Historia es mi segunda asignatura favorita, después de Matemáticas, por supuesto. Extendiendo esta idea aprendemos a realizar sumas y restas simples.

En esta fase, podemos tener un poco de dificultad para comprender una operación como tres menos cinco sin entender el concepto de número negativo. Y luego nos encontramos con el concepto de compartir. Y nos vemos obligados a introducir un nuevo conjunto de números cuando comenzamos con la división. Una ecuación como dos 𝑥 igual a uno no tiene un número entero o soluciones enteras. Así que introducimos la idea de fracciones o decimales.

Nuestro conocimiento de los números incluye ahora los números racionales, números que pueden ser escritos en la forma 𝑎 sobre 𝑏, en donde 𝑎 y 𝑏 son enteros. Y descubrimos que hay aún más números que los de conteo, los números negativos y los números racionales. Aprendemos sobre radicales y 𝜋. Estos son números irracionales, números que no pueden ser escritos como un número entero dividido entre otro. Combinando todos estos números, obtenemos el conjunto de los números reales. Bien, perfecto, es todo lo que necesitamos, ¿verdad?

No, no del todo. Durante nuestra exploración de los números, nos hemos encontrado con ecuaciones que no tienen solución o que, al menos, creemos que no tienen solución. Toma 𝑥 al cuadrado más uno igual a cero por ejemplo. Sabemos que para cualquier valor real de 𝑥, 𝑥 al cuadrado siempre será mayor o igual que cero. Esto significa que 𝑥 al cuadrado más uno debe ser siempre mayor o igual que uno.

Por lo tanto, en lo que a nosotros respecta, la ecuación 𝑥 al cuadrado más uno igual a cero realmente no tiene mucho sentido, todavía. Y podríamos, además, echar una ojeada a la gráfica de la ecuación 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado más uno. Es una parábola que interseca el eje de las 𝑦 en uno. Vemos que verdaderamente no puede haber soluciones reales para la ecuación 𝑥 al cuadrado más uno igual a cero. Esta gráfica no interseca el eje de las 𝑥. Ahora bien, ya hemos ampliado nuestro concepto de número desde los números de conteo hasta los números irracionales. Entonces, ¿qué nos impide extenderlo un poco más?

Supongamos que la ecuación 𝑥 más uno igual a cero sí tiene solución. Podemos resolverla como cualquier otra ecuación. Podemos restar uno de ambos lados para obtener 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. Y aquí, justo aquí, es donde extendemos nuestro concepto de los números.

Introducimos un nuevo número, 𝑖, tal que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Y vemos, pues, que 𝑖 debe ser una solución de la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. Y, de hecho, si hallamos la raíz cuadrada de esto, vemos que 𝑖 es igual a la raíz cuadrada de menos uno. Llamamos a este número la unidad imaginaria.

Este nombre fue elegido originalmente porque en ese entonces nadie creía que habría un uso para este número en el mundo real. Era visto como un número de pega, inventado, creado solo para resolver ciertas ecuaciones. Pero, lo cierto es que, si pensamos en los diferentes conjuntos de números, todos son inventados. ¿Por qué no inventar otro conjunto más? Y este conjunto resultó realmente útil.

Definimos, por lo tanto, 𝑖 como la solución a la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. Y también nos referimos a este número como la raíz cuadrada de menos uno. Como 𝑖 no es un número real, él y cualquier otro producto de 𝑖 por un número real — números de la forma 𝑏𝑖, en donde 𝑏 es un número real — son llamados números imaginarios puros. Y de igual forma que el conjunto de los números reales es representado por ℝ, el conjunto de los números imaginarios es representado por 𝕀. Y esta es nuestra primera definición.

Y aquí introducimos una segunda definición. Y es la definición de números complejos. Y estos son el resultado de sumar números reales y números imaginarios puros. Los números complejos son de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, en donde 𝑎 y 𝑏 son números reales. Y el conjunto de los números complejos es representado por esta letra ℂ. Y si un número complejo 𝑧 es igual a 𝑎 más 𝑏𝑖, decimos que la parte real de 𝑧 es 𝑎 y la parte imaginaria es 𝑏. Y presta atención. La parte imaginaria es 𝑏, no 𝑏𝑖.

Una vez que ya tenemos todas las definiciones importantes que necesitamos, veamos cómo formar estos números y cómo operar con ellos.

¿Cuál es el valor de cinco 𝑖 al cuadrado?

Para contestar esta pregunta, recordamos las reglas para simplificar expresiones algebraicas. Por ejemplo, para simplificar una expresión de la forma 𝑎 por 𝑏 a la 𝑛, debemos calcular 𝑎 a la 𝑛 y multiplicar esto por 𝑏 a la 𝑛. En este caso, cinco 𝑖 al cuadrado es lo mismo que cinco al cuadrado multiplicado por 𝑖 al cuadrado. Y por supuesto, cinco al cuadrado es 25. E 𝑖 es definido como la solución a la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Podemos escribir cinco 𝑖 al cuadrado como 25 multiplicado por menos uno. Y como un número negativo multiplicado por un número positivo es un número negativo, vemos que cinco 𝑖 al cuadrado es igual a menos 25.

Evalúa tres 𝑖 multiplicado por siete 𝑖.

Para contestar esta pregunta, debemos recordar que la multiplicación es conmutativa. Puede ser realizada en cualquier orden. Podemos escribir este producto como tres multiplicado por siete multiplicado por 𝑖 multiplicado por 𝑖. Tres multiplicado por siete es 21, e 𝑖 multiplicado por 𝑖 es 𝑖 al cuadrado. Pero, aún no hemos terminado.

𝑖 no es una variable como 𝑥 o 𝑦. Sabemos que 𝑖 es la solución de la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. Podemos decir que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno o que 𝑖 es igual a la raíz cuadrada de menos uno. Reemplazamos 𝑖 al cuadrado en nuestro problema con menos uno. Y vemos que tres 𝑖 multiplicado por siete 𝑖 se convierte en 21 multiplicado por menos uno. 21 multiplicado por menos uno es menos 21. Y hemos evaluado tres 𝑖 multiplicado por siete 𝑖. Es menos 21.

Expresa la raíz cuadrada de menos cuatro en términos de 𝑖.

Para responder esta pregunta, vamos a necesitar reescribir menos cuatro. Lo escribimos como cuatro multiplicado por menos uno. ¿Y por qué hemos hecho esto? Bueno, así podemos reescribir la raíz cuadrada de menos cuatro como la raíz cuadrada de cuatro multiplicada por menos uno.

Las leyes de los radicales nos dicen que, para números reales positivos 𝑎 y 𝑏, la raíz cuadrada de 𝑎𝑏 es lo mismo que la raíz cuadrada de 𝑎 multiplicada por la raíz cuadrada de 𝑏. Aunque esto no es cierto para todos los números complejos en general, sí podemos decir que la raíz cuadrada de menos 𝑎 puede ser escrita como la raíz cuadrada de 𝑎 multiplicada por menos uno. Y a su vez, esto se puede escribir como la raíz cuadrada de 𝑎 multiplicada por la raíz cuadrada de menos uno.

Esto quiere decir que podemos escribir la raíz cuadrada de menos cuatro como la raíz cuadrada de cuatro multiplicado por la raíz cuadrada de menos uno. Sabemos que la raíz cuadrada de cuatro es dos, y sabemos que la raíz cuadrada de menos uno es 𝑖. Así que podemos decir que la raíz cuadrada de menos cuatro es dos multiplicado por 𝑖. Y de hecho, podemos simplificar esto. Y vemos que la raíz cuadrada de menos cuatro es dos 𝑖.

Expresa la raíz cuadrada de menos 54 en términos de 𝑖.

Para contestar esta pregunta, vamos a reescribir menos 54. Lo reescribimos como 54 multiplicado por menos uno. Y esto significa que podemos decir que la raíz cuadrada de menos 54 es lo mismo que la raíz cuadrada de 54 multiplicada por menos uno. Y veamos por qué hacemos esto en una forma más general.

Podemos decir que la raíz cuadrada de menos 𝑎 puede ser escrita como la raíz cuadrada de 𝑎 multiplicada por menos uno, que a su vez puede ser escrita como la raíz cuadrada de 𝑎 multiplicada por la raíz cuadrada de menos uno. Y si recordamos que decimos que 𝑖 es igual a la raíz cuadrada de menos uno, la raíz cuadrada de menos 𝑎 debe ser igual a la raíz cuadrada de 𝑎 multiplicada por 𝑖.

Con respecto a nuestro número, podemos escribirlo como la raíz cuadrada de 54 multiplicada por la raíz cuadrada de menos uno, que es la raíz cuadrada de 54 multiplicada por 𝑖. Aún no hemos terminado. Necesitamos simplificar la raíz de 54 tanto como podamos. Hay muchas formas en las que podemos hacer esto. Podríamos expresar 54 como el producto de sus factores primos. O alternativamente, podemos hallar el divisor más grande de 54 que es un cuadrado.

En este caso, el divisor en el que estamos interesados es nueve. Decimos que la raíz cuadrada de 54 es igual a la raíz cuadrada de nueve multiplicado por seis, o la raíz cuadrada de nueve multiplicada por la raíz cuadrada de seis. Pero, obviamente, sabemos que la raíz cuadrada de nueve es tres. Así que podemos decir que la raíz cuadrada de 54 es igual a tres raíz de seis. Y obtenemos que la raíz cuadrada de menos 54 es tres raíz de seis 𝑖.

Es importante tener cuidado aquí. Tienes que poner los paréntesis como se muestra. Si escribiéramos tres raíz de seis 𝑖 sin paréntesis, esto se puede confundir fácilmente con tres multiplicado por la raíz cuadrada de seis 𝑖, que es una solución totalmente diferente.

Suma cuatro a menos 𝑖.

Nos han dado un número real y un número imaginario puro. Y queremos hallar su suma. Lo que esta pregunta nos pide en realidad es hacer un número complejo. Recuerda, un número complejo, 𝑧, es de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, en donde 𝑎 y 𝑏 son números reales, y 𝑎 es la parte real de 𝑧 y 𝑏 es la parte imaginaria.

Si sumamos cuatro a menos 𝑖, obtenemos cuatro más menos 𝑖. Pero podemos escribir este resultado como cuatro menos 𝑖. Y ahora tenemos un número complejo con una parte real de cuatro y una parte imaginaria de menos uno.

¿Es el siguiente enunciado verdadero o falso? Todo número real es también un número complejo.

Sabemos que un número complejo es un número 𝑧 de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, en donde 𝑎 y 𝑏 son números reales. Y, de hecho, podemos decir que un número real 𝑎 tiene la forma 𝑎 más cero 𝑖. Cero es un número real. Y según su definición, 𝑎 más cero 𝑖 es un número complejo.

Así que hemos probado que cualquier número real es también un número complejo. Podemos decir que el enunciado «Todo número real es también un número complejo» es verdadero. Cabe recalcar que lo contrario no es cierto. No es cierto que todo número complejo es un número real, ya que un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Y la única forma en la que un número complejo puede ser un número real es si la parte imaginaria es cero.

¿Cuál es la parte imaginaria del número complejo dos menos dos 𝑖?

Un número complejo es el resultado de sumar un número real y un número imaginario. Y un número complejo 𝑧 tiene la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, en donde 𝑎 y 𝑏 son números reales. Decimos que la parte real de este número complejo general es 𝑎. Y la parte imaginaria es esencialmente el coeficiente de 𝑖. Es 𝑏. Recordemos que no es 𝑏𝑖, sino 𝑏.

Comparemos esta forma general con nuestro número complejo dos menos dos 𝑖. Podemos ver que 𝑎 es igual a dos y 𝑏 es igual a menos dos. Y esto significa que la parte real de este número complejo es dos y la parte imaginaria es menos dos.

Recapitulemos sobre lo que hemos aprendido hoy. Hemos expandido nuestros conocimientos acerca del conjunto de todos los números incluyendo los números imaginarios. Tenemos un nuevo número, 𝑖, que es definido como la solución a la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. Y, por supuesto, también decimos que 𝑖 es igual a la raíz cuadrada de menos uno.

Hemos aprendido que un número de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, en donde 𝑎 y 𝑏 son números reales, se llama número complejo. Un número complejo se forma sumando un número real y un número imaginario puro. Y, finalmente, hemos visto que la parte real de nuestro número complejo es 𝑎 y la parte imaginaria es 𝑏, no 𝑏𝑖.

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