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Vídeo de la lección: La media, la mediana y la moda Matemáticas • Sexto grado

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular las medidas de centralización más utilizadas: la media, la mediana y la moda.

17:30

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular tres medidas de centralización o medidas de tendencia central. Son la media, la mediana y la moda. En primer lugar, definiremos los tres términos. Seguidamente haremos varios ejercicios en los que tendremos que calcular la media, la mediana y la moda de un conjunto de datos.

Definamos, pues, la media. Para calcular la media de un conjunto de datos numéricos, sumamos todos los valores de los datos y dividimos el resultado —el total— por el número de valores que tiene el conjunto de datos. Por ejemplo, si tenemos el conjunto de números cuatro, tres, siete, seis y cinco, sumamos primero todos los valores y obtenemos un total de 25. Como hay cinco valores, la media sería 25 dividido por cinco, que es cinco.

Consideremos ahora la mediana. Para calcular la mediana de un conjunto de datos, seguimos dos pasos. En primer lugar, organizamos los datos en orden ascendente o descendente según su valor. En segundo lugar, contamos los valores. Si el número de valores es un número impar, entonces la mediana es el valor central, el que está en el medio. Si el número de valores es par, entonces la mediana es la media de los dos valores que están en el centro del conjunto de datos ordenados.

Considera el conjunto de números cuatro, nueve, ocho, seis y tres. Si colocamos estos números en orden ascendente desde el más pequeño al más grande, obtenemos tres, cuatro, seis, ocho y nueve. Como hay cinco números en total, el tercer número en orden ascendente es la mediana, en este caso, el seis. Si nuestro conjunto de datos hubiera tenido un número más, digamos el 10, entonces la distribución en orden ascendente sería tres, cuatro, seis, ocho, nueve, 10. En este caso el conjunto de datos tiene un número par de valores, así que hay dos valores centrales, seis y ocho. La mediana puede calcularse hallando el punto medio de estos dos valores, o sea, la media de estos dos valores. Así que la respuesta aquí es siete.

Veamos por último la definición de moda. La moda es el valor que se repite más veces, es decir, el que tiene mayor frecuencia absoluta. En ocasiones lo llamamos valor modal. Si consideramos el conjunto de datos cuatro, siete, seis, siete, ocho y dos, observamos que el número siete aparece dos veces. Por lo tanto, esta es la moda o el valor modal. Un conjunto de datos puede tener una moda, más de una moda o ninguna moda. Si el conjunto de datos tiene dos modas, decimos que es bimodal.

Sin embargo, un conjunto de datos solo puede tener una media y una mediana. Aunque hay muchos tipos de medias, la que estamos usando aquí, y la que se utiliza con más frecuencia, es la media aritmética. Veamos ahora un ejemplo en el que tendremos que determinar la media, la mediana y la moda de un conjunto o distribución de datos.

Las notas obtenidas en un examen de Matemáticas son 86, 80, 76, 68, 73, 85, 74, 70, 71 y 70. Halla la media, la mediana y la moda de este conjunto de datos.

omo acabamos de ver, para calcular la media de un conjunto de datos, primero tenemos que sumar todos los valores. En esta cuestión esto es la suma de las notas del examen. Seguidamente dividimos este total por el número de valores, en este caso, 10. La suma de las notas es 753. 753 entre 10 es 75.3. Esto significa que la media de las notas es 75.3 puntos.

Podemos calcular la mediana hallando el valor central. Antes de hacerlo, vamos a ordenar los números de menor a mayor o de mayor a menor. En orden ascendente o creciente, las notas son 68, 70, 70, 71, 73, 74, 76, 80, 85 y 86. Como es un número par de valores, en este caso, 10, hay dos valores centrales. Son 73 y 74. La mediana es el valor que se encuentra a mitad de camino entre estos dos números, es decir, es la media de los dos números. O sea, 73.5. Así que la nota media es 73.5.

La moda es el valor que aparece con más frecuencia en una distribución de datos. En este problema, ocho de los valores aparecen una vez y 70 aparece dos veces. Como 70 aparece con más frecuencia que cualquier otro valor, la moda de las notas es 70. Este conjunto de datos tiene una media de 75.3, una mediana de 73.5 y una moda de 70.

Ahora vamos a ver una cuestión en la que hallaremos la media, la mediana y la moda a partir de un diagrama de barras.

El diagrama de barras representa la afiliación anual a un club de robótica desde el año 2001 hasta el año 2005. Halla la media, la mediana, la moda y el rango de los datos.

A partir del diagrama vemos que tenemos cinco valores, 49, 31, 31, 29 y 50. Estos son el número de miembros del club al año desde 2001 hasta 2005. El problema nos pide que calculemos la media. Para hallar la media de un conjunto de valores, primero sumamos los valores. En este caso, sumamos 49, 31, 31, 29 y 50. Luego dividimos el resultado por el número de valores, que en este caso es cinco. La suma de los valores es 190. Y dividimos esto entre cinco. El resultado es 38. Así que la media o el promedio del número de miembros es 38.

La segunda parte del enunciado nos pide que calculemos la mediana. Para ello, primero colocamos los valores en orden ascendente o descendente. La mediana es el valor central, el que se encuentra en el medio. Y como hay cinco valores aquí, la mediana es el tercer valor. La mediana del número de miembros del club es 31.

Ahora vamos a calcular la moda. La moda es el número que se repite más veces o que aparece con más frecuencia. Los números 49, 29 y 50 aparecen una vez, mientras que el número 31 aparece dos veces. Esto significa que 31 es la moda del conjunto de datos.

Por último, tenemos que calcular el rango. El rango es la diferencia entre el mayor valor o el más alto y el menor valor o el más bajo. Como el valor más alto es 50 y el más bajo es 29, hemos de calcular la diferencia entre 29 y 50. Y obtenemos 21. La media, la mediana, la moda y el rango de los miembros del club de robótica son 38, 31, 31 y 21, respectivamente.

Ahora vamos a ver un ejemplo en el que se nos pide seleccionar un conjunto de datos con una moda y una mediana dadas.

¿Cuál de los siguientes conjuntos de datos tiene una moda de 48 y una mediana de 20? ¿Es A) 48, 21, 11, 48, 20, 17? ¿B) 21, 48, 19, 48, 17, 11? ¿C) 47, 47, 11, 48, 20, 17? ¿D) 10, 16, 19, 21, 47, 47? ¿O E) 20, 48, 48, 11, 11, 19?

Sabemos que la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia. Así que tenemos que hallar un conjunto de datos en el que 48 sea el número que se repite con más frecuencia. 48 no aparece en el conjunto D. Así que esta opción no puede ser la correcta. Y aunque sí hay un 48 en el conjunto C, hay dos 47. Así que la moda del conjunto C es 47. Por lo que descartamos también esta opción.

El conjunto E tiene dos 48, pero también tiene dos 11. Esto significa que tiene dos modas o que es bimodal. Tiene una moda de 11 y 48. Por lo tanto, la opción E también es incorrecta. Tanto la opción A como la opción B tienen dos 48. Este es el valor que se repite con más frecuencia en los dos conjuntos de datos. Por lo que la moda de ambos conjuntos es 48.

Vamos a considerar ahora el segundo dato que nos da el problema. La mediana del conjunto de datos tiene que ser 20. Sabemos que la mediana es el valor central cuando los números están colocados en orden ascendente o descendente. Una vez que hemos ordenado estos dos conjuntos de datos, observamos que tienen un número par de valores, en este caso, seis. Esto significa que hay dos valores centrales, en el conjunto A, 20 y 21 y en el conjunto B, 19 y 21.

La mediana se calcula hallando la media de estos dos valores. Esto es lo mismo que hallar el punto medio de los dos valores. La media de 20 y 21 es 20.5. Y la media de 19 y 21 es 20. Esto significa que el conjunto A tiene una mediana de 20.5 y que el conjunto B tiene una mediana de 20. Así que descartamos la opción A. El conjunto de datos que tiene una moda de 48 y una mediana de 20 es el conjunto B: 21, 48, 19, 48, 17 y 11.

En el próximo problema vamos a ver lo que ocurre con la media, la mediana y la moda al eliminar un valor del conjunto de datos.

El mes pasado, las notas de Daniel en los exámenes de Inglés fueron 82, 61, 86 y 82. Si su nota más baja es eliminada, ¿cuál de las siguientes medidas aumentará? ¿ A) La media, B) la mediana o C) la moda?

Para responder a esta pregunta, tenemos que calcular la media, la mediana y la moda antes y después de que la nota más baja haya sido eliminada. Para calcular la media de un conjunto de datos, primero sumamos todos los valores, en este caso, 82, 61, 86 y 82. Seguidamente dividimos el resultado por el número de valores que tenemos, en este caso, cuatro. El total o la suma de las notas de Daniel es 311. Al dividir esto entre cuatro obtenemos una media de 77.75.

La nota más baja de Daniel ha sido eliminada. Es 61. Para calcular la media después de que esta nota se haya eliminado, sumamos 82, 86 y 82 y luego dividimos por tres. Y obtenemos 84.6 periódico. Cuando la nota más baja de Daniel ha sido eliminada, su media ha aumentado de 77.75 a 84.6 periódico. Esto indica que la media es una respuesta correcta. Pero vamos a comprobar si la mediana y la moda han aumentado o disminuido.

Para calcular la mediana, ordenamos los valores de menor a mayor o de mayor a menor. Y hallamos el número central, el que está en el centro de la lista. Como hay un número par de valores, habrá dos números centrales. Como ambos son 82, la mediana antes de que la nota más baja haya sido eliminada es 82. Una vez que la nota más baja haya sido eliminada, Daniel tiene valores de 82, 82 y 86. Una vez más, la mediana es 82. Así que la mediana de las notas de Daniel no ha aumentado.

La moda es el valor que se repite más veces o que aparece con más frecuencia. En ambos casos, antes y después de que la nota más baja fuera eliminada, la moda era 82. Esto es porque la nota 82 aparecía más a menudo que cualquier otra nota. Por lo tanto, concluimos que cuando la nota más baja de Daniel fue eliminada, la mediana y la moda no variaron, pero la media aumentó.

En el último ejemplo vamos a hallar un conjunto de datos a partir de su rango, mediana y moda.

Un conjunto de cuatro números tiene un rango de siete, una mediana de 13 y una moda de 16. Si el valor más alto es también la moda, ¿cuáles son los cuatro números?

Sabemos que hay cuatro números en el conjunto de datos. Vamos a colocarlos en orden ascendente de izquierda a derecha. Se nos dice que la moda es 16 y que el número más alto es también la moda. Como la moda es el número que aparece con mayor frecuencia, debemos tener dos 16 en las dos últimas casillas.

Sabemos que la mediana es 13. Como la mediana es el valor central y hay dos números centrales, cada uno de ellos debe ser equidistante —estar a la misma distancia— de 13. Los dos números en el centro del conjunto de datos habrán de ser 10 y 16, pues ambos tienen una mediana de 13. El enunciado nos dice que el rango es siete. El rango es la diferencia entre el número más grande y el más pequeño. 16 menos siete es nueve. Así que el número más pequeño es nueve. El conjunto de los cuatro números es nueve, 10, 16 y 16.

Vamos a repasar los puntos principales que hemos visto en este vídeo. Hemos aprendido cómo calcular la media, la mediana, la moda y el rango de un conjunto de datos. Un conjunto de datos solo puede tener una media y una mediana. Pero puede tener una moda, más de una moda o ninguna moda. Además, hemos visto que hay muchos tipos de medias, pero la que hemos utilizado, que es la más común, es la media aritmética. En este vídeo hemos calculado promedios a partir de un conjunto de datos. También podemos hacerlo a partir de tablas de frecuencias para datos discretos (no agrupados) y para datos agrupados.

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