Vídeo: Resolver ecuaciones con números racionales

Vamos a usar el recíproco (inverso multiplicativo) de los números y la propiedad de igualdad de la suma y de la multiplicación para resolver ecuaciones que tienen términos con números racionales (fracciones), como 𝑥 − (1/17) = (5/17) o (46/13)/? = 1.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a ver cómo resolver ecuaciones con números racionales. Antes de hacerlo, tenemos que hablar de unos conceptos clave. El primero es el recíproco, también llamado inverso multiplicativo. El recíproco de un número es un número que, multiplicado por aquel número, da como resultado la unidad. Esta multiplicación está aquí representada como 𝑎 multiplicado por uno sobre 𝑎. Cuando multiplicamos esto, 𝑎 sobre 𝑎 es igual a uno. Cinco por un quinto es igual a uno. Un quinto es el recíproco, o inverso multiplicativo, de cinco.

El siguiente paso es aplicar la propiedad de igualdad de la suma. Esta propiedad dice que, si 𝑎 es igual a 𝑏, entonces 𝑎 más 𝑐 es igual a 𝑏 más 𝑐. Aquí hay un ejemplo en el que se aplica la propiedad de igualdad de la suma para resolver una ecuación. Hemos sumado cinco a ambos lados de la ecuación para hallar la 𝑥. Siempre que hacemos una operación en un lado de la ecuación, debemos hacer la misma operación en el otro lado. Cuando decimos esto es que estamos usando la propiedad de igualdad de la suma.

El tercer y último concepto es la propiedad de igualdad de la multiplicación, que es parecida a la propiedad de igualdad de la suma. Esta propiedad dice que, si 𝑎 es igual a 𝑏, entonces 𝑎 por 𝑐 es igual a 𝑏 por 𝑐. Aquí tenemos un ejemplo: 𝑎 dividido por cinco es igual a siete. Para hallar la 𝑎, multiplicamos por cinco en ambos lados de la ecuación, y estamos usando la propiedad de igualdad de la multiplicación para hacerlo.

Pasemos ahora a resolver ecuaciones.

Ejemplo uno: un medio de 𝑥 es igual a menos cinco sextos. El objetivo aquí es hallar la 𝑥. Y vamos a hacerlo usando el recíproco para despejar la 𝑥. Así quedaría: multiplicamos ambos lados por dos sobre uno. Una vez lo hemos hecho, obtenemos que 𝑥 es igual a menos diez sextos. Pero esta no es la forma irreducible de la fracción, y siempre queremos escribir las fracciones en su forma más simple. La forma simplificada es menos cinco tercios. Para llegar hasta aquí hemos dividido por dos en la parte de arriba y en la parte de abajo de menos diez sextos.

A continuación, tenemos que 𝑥 menos un diecisieteavo es igual a cinco diecisieteavos. Vamos a resolver esta ecuación haciendo uso de la propiedad de igualdad de la suma. Si sumamos un diecisieteavo a ambos lados de la ecuación, llegamos a la respuesta final de que 𝑥 es igual a seis diecisieteavos.

Ejemplo tres: cuando tres cuartos es dividido entre 𝑎 sobre 𝑏, el resultado es cinco octavos. Halla 𝑎 sobre 𝑏. El primer paso es convertir este problema en una ecuación. Aquí lo hemos hecho escribiendo tres cuartos dividido por 𝑎 sobre 𝑏 igual a cinco octavos. ¡No te olvides! Cuando dividimos por una fracción, significa que estamos multiplicando por un recíproco. Así que eso es lo que vamos a hacer; vamos a cambiar división por multiplicación y a reemplazar 𝑎 sobre 𝑏 por 𝑏 sobre 𝑎. Vamos a mover un poco los cálculos hacia arriba para poder continuar. Queremos despejar 𝑏 sobre 𝑎, así que multiplicamos por cuatro tercios en ambos lados. Una vez hemos multiplicado por cuatro tercios en ambos lados, obtenemos que 𝑏 sobre 𝑎 es igual a veinte partido por veinticuatro. De nuevo, queremos hallar la forma más simple que podamos, y sabemos que veinte sobre veinticuatro puede simplificarse. La forma irreducible de esta fracción es cinco sextos; hemos dividido la parte superior y la inferior por cuatro. Hemos hallado 𝑏 sobre 𝑎, pero el problema no nos ha pedido que calculemos 𝑏 sobre 𝑎. El problema nos ha pedido calcular 𝑎 sobre 𝑏, así que le damos la vuelta a la fracción para obtener la respuesta final, y 𝑎 sobre 𝑏 es seis quintos.

En la siguiente cuestión se nos dice que tres con siete treceavos dividido por un número es igual a uno. Tres con siete treceavos dividido por un número es igual a uno; vamos a detenernos un minuto para pensar en esto. ¿Qué crees que va aquí? ¿Cómo piensas que debemos resolver el problema? Si aún no estás seguro, aquí va una pista: tres dividido por qué es igual a uno, o cinco dividido por qué es igual a uno. ¡Dividido por él mismo! Tres dividido por tres es uno y cinco dividido por cinco es uno. Cualquier número dividido por él mismo es uno. Nos ha bastado con acordarnos de esta propiedad para responder a la pregunta. Aquí la respuesta es tres con siete treceavos, pues tres con siete treceavos entre él mismo es uno.

Ejemplo cinco: catorce veintisieteavos dividido por un número es igual a uno y cinco sextos, así que obtenemos que catorce veintisieteavos dividido por 𝑎 es igual a once sextos. Ahora bien, hemos hecho un par de cambios: Hemos cambiado la división por 𝑎 por una multiplicación por uno sobre 𝑎. Así que hemos pasado de dividir algo a multiplicar por su recíproco. Y para despejar nuestra variable multiplicamos por el recíproco, veintisiete catorceavos, en ambos lados de la ecuación. Para simplificar, dividimos ahora veintisiete por tres y seis por tres, así que obtenemos nueve y dos. Esto nos va a ayudar a hallar la fracción en su forma más simple. Ahora tenemos uno sobre 𝑎 igual a once por nueve sobre dos por catorce. Cuando multiplicamos esto, obtenemos uno sobre 𝑎 igual a noventa y nueve sobre veintiocho. Pero, si nos fijamos, vemos que no nos interesa uno sobre 𝑎, sino 𝑎. Así que nuestra respuesta final tiene que ser veintiocho sobre noventa y nueve.

Cuando resuelvas este tipo de problemas, debes acordarte de los conceptos clave. Son las herramientas que necesitas para resolver problemas como estos. El recíproco, sabiendo que 𝑎 por uno sobre 𝑎 es igual a uno. La propiedad de igualdad de la suma, si sumamos algo a un lado, también debemos hacerlo al otro lado. Y ocurre lo mismo con la multiplicación, si multiplicamos por un número en un lado, tenemos que hacer lo mismo en el otro lado. Ahora ya estás listo para resolver este tipo de problemas por tu cuenta.

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