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Vídeo de la lección: Las razones trigonométricas en triángulos rectángulos Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo hallar los valores de las tres funciones trigonométricas básicas, el seno, el coseno y la tangente, de los ángulos de un triángulo rectángulo arbitrario.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a ver las tres razones trigonométricas básicas: el seno, el coseno y la tangente. Estos son los nombres dados a las razones que existen entre los diferentes pares de lados en un triángulo rectángulo. Comencemos fijándonos bien en el triángulo rectángulo en la pantalla. Y, para empezar, necesitamos estar familiarizados con los nombres que se usan para los lados en un triángulo rectángulo.

Ya debes estar familiarizado con el nombre hipotenusa, que es el nombre que se le da al lado más largo de un triángulo rectángulo. Es también el lado opuesto al ángulo recto. Y tal vez lo hayas visto antes en el teorema de Pitágoras. Los otros dos lados de un triángulo rectángulo también tienen nombres particulares. Y sus nombres están en relación con el ángulo que nos interesa. Así que, en este triángulo rectángulo, hemos marcado uno de los otros dos ángulos, los que no son ángulos rectos. Hemos etiquetado a uno de ellos como 𝜃. Y los lados se nombran en relación con este ángulo 𝜃. El primer nombre es cateto opuesto. Del mismo modo que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, el cateto opuesto es el lado opuesto a este ángulo 𝜃. Así que ese sería este lado de aquí. El nombre que le damos al lado final, el tercer lado, es cateto contiguo (o adyacente). Y se llama cateto adyacente porque es contiguo, es decir, está junto a este ángulo 𝜃. Está entre estos dos ángulos. Así es como reconocemos cuál de los catetos es el contiguo. Así que, debes familiarizarte con estas tres etiquetas: opuesto, contiguo e hipotenusa. Y debes sentirte cómodo identificando qué lado es cuál en varios triángulos rectángulos diferentes.

Las tres razones trigonométricas que vamos a tratar en este video son las razones entre los diferentes pares de lados del triángulo rectángulo. La primera razón que vamos a ver se llama seno. Para un ángulo especificado 𝜃, se llama seno a la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Así que su definición es que el seno del ángulo 𝜃 es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa. Cualesquiera que sean las longitudes de esos dos lados. La segunda razón recibe el nombre de coseno y, a menudo, se abrevia como cos. Y esta es la razón entre el cateto contiguo (o cateto adyacente) y la hipotenusa. Así que el coseno del ángulo 𝜃 es el cociente entre el cateto contiguo y la hipotenusa. La razón final se llama tangente, que a menudo es abreviada como tan. Y esta es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. Su definición es que la tangente del ángulo 𝜃 es igual a cateto opuesto dividido por cateto contiguo. Y así es, pues, como se definen estas tres razones.

Algo muy importante es que estas razones, para un ángulo particular 𝜃, no dependen del tamaño del triángulo, sino que sólo dependen de los ángulos. Y, por lo tanto, no importa cuáles sean las longitudes del cateto opuesto, el cateto contiguo y la hipotenusa. Para un ángulo particular 𝜃, los valores de estas tres razones siempre serán los mismos. Por lo tanto, si agrandamos este triángulo, pero manteniendo ese ángulo 𝜃 constante. El valor de esta razón seno, y de las otras razones, será el mismo, si usamos los lados del triángulo pequeño. Como si usamos el opuesto y la hipotenusa, o cualquier otro par de lados, del triángulo grande. Si dividimos el cateto opuesto por la hipotenusa, obtenemos el mismo valor para esta razón. Y, por supuesto, lo mismo es cierto para el coseno y también para la tangente.

Para ayudarte a recordar las definiciones de seno, coseno y tangente y qué lados están involucrados, hay un pequeño acrónimo que puedes usar para ayudarte. Y lo que hacemos es tomar la primera letra de cada una de esas palabras. Así que sen 𝜃 es igual a cateto opuesto sobre hipotenusa. Eso nos da SOH, S, O, H. Cos es igual al cateto adyacente sobre la hipotenusa. Eso nos da CAH, y de igual modo podemos hace la tangente. Y así se obtiene el acrónimo SOHCAHTOA. Si te lo aprendes de memoria, podrás recordar fácilmente las definiciones del seno, el coseno y la tangente. Si quieres convencerte de que estas razones son constantes para un ángulo fijo 𝜃, puedes hacer tu propia investigación. Así que, como lo hicimos anteriormente en la pizarra, puedes dibujar un triángulo, medir estos lados con la mayor precisión posible y calcular las proporciones. Y luego puedes hacer lo mismo con un triángulo mediano, y luego un triángulo más grande y convencerte así de que las razones son las mismas. Veamos cómo podemos usar esto para responder algunas cuestiones.

En la primera cuestión, nos dan un diagrama de un triángulo rectángulo. Y nos piden escribir el valor de cos 𝜃.

Cuando resolvemos cualquier problema de trigonometría, el primer paso es siempre marcar los tres lados del triángulo en el problema con sus símbolos correctos. Es decir, el cateto opuesto, el cateto contiguo (adyacente) y la hipotenusa. Acabamos de poner la primera letra de esas palabras aquí. Recuerda que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo 𝜃. Y el adyacente está entre 𝜃 y el ángulo recto. Y nos preguntan sobre el coseno de 𝜃. Así que necesitamos recordar la definición de cos de 𝜃. Y si recuerdas SOHCAHTOA, CAH significa adyacente partido por hipotenusa. Así que la definición de cos 𝜃 es que es cateto adyacente dividido por hipotenusa. Lo que necesitamos hacer es escribir este cociente para este triángulo en particular. Así que necesitamos reemplazar el adyacente y la hipotenusa por sus valores en este ejemplo.

Mirando el triángulo, el cateto adyacente mide 12 centímetros. Entonces tenemos cos 𝜃 igual a 12 sobre… sobre la hipotenusa. Y mirando el diagrama, eso es 13. Hemos hallado, pues, que coseno de 𝜃, cos 𝜃, es igual a 12 sobre 13. Todo lo que teníamos que hacer en esta cuestión era recordar la definición de cos y luego escribir la razón usando los valores que son específicos de esta cuestión.

Bien, nuestra segunda cuestión. Nos dan otro triángulo rectángulo. Y el ángulo en el que estamos interesados está indicado como 𝛼 esta vez en lugar de 𝜃. Y la cuestión nos pide que escribamos el valor de sen de 𝛼.

Así que el primer paso, será el mismo que en la cuestión anterior. En primer lugar, etiquetamos cada uno de estos tres lados como opuesto, adyacente e hipotenusa. A continuación, recordamos la definición de seno. Es la parte SOH, el seno es el cateto opuesto dividido por la hipotenusa. Mirando el diagrama, podemos ver que conocemos la hipotenusa. Son 10 milímetros. Pero no conocemos la longitud del cateto opuesto. No nos han dado esa longitud en el diagrama. Pero necesitamos saberlo para poder escribir esta razón de seno. Así que hay un poco de trabajo que necesitamos hacer para resolver esto. Y lo hacemos aplicando el teorema de Pitágoras. Porque, recuerda, el teorema de Pitágoras nos habla de la relación que existe entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Y lo que el teorema de Pitágoras nos permite hacer es calcular la longitud del tercer lado, si conocemos los otros dos. Y este es precisamente el caso que nos ocupa. Puedo ver que tenemos 10 milímetros y seis milímetros.

Ahora bien, el teorema de Pitágoras, a menudo se ve escrito como 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado igual a 𝑐 al cuadrado. Pero recuerda, lo que el teorema dice, en definitiva, es que si tomamos los dos lados más cortos de un triángulo rectángulo. Es decir, es 𝑎 y 𝑏. Y los elevamos al cuadrado y los sumamos, obtenemos el mismo resultado que si elevamos al cuadrado el lado más largo, la hipotenusa. Entonces podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de este tercer lado. No lo llamaremos 𝑂 porque podría confundirse con cero. Así que le asignaremos una letra diferente. Llamémoslo 𝑏. En esta parte de la cuestión, nos referiremos a ese tercer lado como 𝑏. Y lo que vamos a hacer es escribir el teorema de Pitágoras. Pero reemplazando 𝑎 con seis, pero mantendremos 𝑏 tal como está. Y reemplazamos 𝑐 con 10. Tenemos que seis al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a 10 al cuadrado.

A continuación, escribimos los valores de seis al cuadrado y 10 al cuadrado. Hallamos que 36 más 𝑏 al cuadrado es igual a 100. Ahora resolvemos esta ecuación para 𝑏. Así que vamos a restar 36 de ambos lados. Y hallamos que 𝑏 al cuadrado es igual a 64. Y luego, para calcular 𝑏, necesitamos sacar la raíz cuadrada en ambos lados. Hallamos que 𝑏 es igual a la raíz cuadrada de 64, que es ocho. Lo que nos dice que la longitud de ese tercer lado, que es el opuesto, debe ser de ocho milímetros. Y es posible que hayas podido deducir este valor sin tener que hacer ningún cálculo porque seis, ocho, 10 es un ejemplo de tripleta pitagórica. Una tripleta pitagórica son tres números enteros que satisfacen el teorema de Pitágoras. Y si la hubieras reconocido, podrías haberte ahorrado bastante trabajo aquí.

Bien, la razón por la que queríamos saber la longitud de este tercer lado es porque la necesitamos para calcular el seno. Así que, recuerda, el seno es cateto opuesto dividido por hipotenusa. Y ahora sabemos que el cateto opuesto mide ocho milímetros. Y la hipotenusa mide 10 milímetros. Así que esto nos dice que sen de 𝛼 debe ser ocho sobre 10. Y esto podría simplificarse a cuatro quintos. O podemos escribirlo como un número decimal. Así que tenemos nuestra respuesta a esta cuestión, que es sen de 𝛼 igual a 0.8.

Bien, el ejemplo final en este video.

Nos piden que escribamos el valor de tan 𝜃 en este triángulo rectángulo aquí.

Nos dan las longitudes de los tres lados en este triángulo en particular. No los vamos a necesitar. El primer paso como siempre, es nombrar los tres lados: la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente. A continuación, necesitamos recordar cuál es la fórmula de la tangente. Es la parte TOA, tan es el cateto opuesto dividido por el cateto adyacente. Mirando nuestro diagrama, vemos que el cateto opuesto es raíz de dos sobre dos, y el cateto adyacente es un medio. Debido a que ambas son fracciones, no queremos escribir una sobre la otra y terminar con una fracción que tiene cuatro capas. Así que escribimos tan 𝜃 como raíz de dos sobre dos dividido por un medio.

Y necesitamos simplificar eso. Y hay un par de formas diferentes de hacer esto. Dividir por un medio es lo mismo que multiplicar por dos. O, puedes pensar en que, para dividir por una fracción, la inviertes. Le das la vuelta. Y entonces multiplicas. Ambas formas de ver esto nos llevarán al mismo punto, que es que tan de 𝜃 es igual a raíz de dos sobre dos multiplicado por dos. Este dos en el numerador y este dos en el denominador se cancelarán entre sí. Así que nos quedamos con la respuesta tan 𝜃 es igual a raíz de dos. Y, vamos a dejar la respuesta de esta manera porque es exacta. Mientras que, si intentamos expresarla como un número decimal, necesitaríamos redondear y el valor no sería exacto.

Para resumir antes de terminar: hemos definido las tres razones trigonométricas básicas: el seno, el coseno y la tangente, que son las razones entre los diferentes pares de lados en un triángulo rectángulo. Hemos visto cómo recordar la fórmula del seno, el coseno y la tangente usando el acrónimo SOHCAHTOA. Y hemos visto cómo usar la fórmula de cada una de estas razones trigonométricas a partir de un diagrama de un triángulo rectángulo con las diferentes longitudes indicadas.

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