Lesson Video: La desigualdad triangular

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En este vídeo vamos a estudiar la desigualdad triangular, que nos habla de una relación fundamental que debe haber entre las longitudes de los lados en un triángulo.

Esto es lo que nos dice la desigualdad triangular. Nos dice que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Echemos un vistazo a este triángulo que hemos dibujado aquí. Lo que la desigualdad triangular nos dice es que, si tomo dos lados, digamos 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶, la suma, o sea, que los vamos a sumar, de estos dos lados 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶, debe ser mayor, así que mayor, que la longitud del tercer lado. Por lo tanto, en este caso, debe ser mayor que 𝐴𝐶. Esta es una de las formas de la desigualdad triangular para este triángulo.

Pero dice la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera, lo que significa que también podemos escribir esta inecuación usando el otro par de lados. Así que también debe cumplirse que 𝐴𝐵 más 𝐴𝐶 es mayor que 𝐵𝐶. Y, por último, debe ser cierto que 𝐵𝐶 más 𝐴𝐶 es mayor que 𝐴𝐵. Por lo tanto, sin importar el par de lados que escojamos, la suma de esos dos lados debe ser mayor que la longitud del tercer lado.

Ahora bien, pensemos por qué este es el caso, por qué esta desigualdad debe ser cierta. Supongamos que nos piden que construyamos un triángulo con lados de siete centímetros, cuatro centímetros y dos centímetros. Ahora bien, construir significa hacerlo de forma exacta y usando herramientas matemáticas como una regla y un compás. ¿Qué vamos a hacer para construir este triángulo? Bueno, lo primero sería empezar dibujando de forma exacta la base, que mide siete centímetros. Luego, la forma de dibujar con exactitud este lado de cuatro centímetros es usando el compás. Lo fijamos en cuatro centímetros. Colocamos el compás en un extremo de esta recta de siete centímetros. Y luego dibujamos un arco de todos los puntos que se encuentran a cuatro centímetros de distancia de este punto de aquí. Para construir el lado de dos centímetros, hacemos lo mismo. Abrimos el compás a dos centímetros, lo fijamos en este extremo de aquí, y luego dibujamos un arco de todos los puntos que están a dos centímetros de distancia.

Ahora bien, lo que vemos es que estos arcos no se cortan en ningún punto. Así que, si intentamos dibujar nuestro triángulo, nos encontraremos con un espacio y que estas dos rectas no pueden encontrarse para formar la tercera esquina. Por eso mismo es importante que la desigualdad triangular se cumpla, pues hemos podido comprobar que este triángulo no puede hacerse, pues queda un espacio. Y si nos fijamos en las medidas de cuatro, dos y siete, veremos que la desigualdad triangular no funciona, pues tenemos cuatro más dos, que es seis, y eso no es mayor que siete. Y esta es la razón por la que no hemos podido construir este triángulo. Veamos un problema sobre esto.

En la primera cuestión se nos pregunta: ¿Es posible formar un triángulo con lados de tres, cinco y siete pulgadas de largo?

Lo que tenemos que hacer ahora es comprobar si la desigualdad triangular se cumple para los distintos pares de lados aquí. Conviene recordar que tenemos tres desigualdades distintas que debemos comprobar. Aquí está la primera. Si tomamos el tres y el cinco, ¿es tres más cinco mayor que siete? Sí, lo es. Ocho es mayor que siete. Así que esta primera desigualdad funciona. Ahora veamos el segundo par. Tomamos el cinco y el siete. Entonces, ¿es la suma de estos dos lados mayor que el tercer lado? ¿Es cinco más siete mayor que tres? Sí, 12 es mayor que tres. Así que esta también funciona.

Para la tercera desigualdad tenemos que tomar el último par de lados. Así que vamos a ver cuánto es la suma de tres y siete. Y nos preguntamos, ¿es tres más siete mayor que cinco? Sí, 10 es mayor que cinco. Así que todas las desigualdades triangulares se cumplen, lo que significa que la respuesta a la pregunta «¿Es posible formar este triángulo?» es un sí. Obviamente, tenemos que hacer unos cálculos para argumentar nuestra respuesta.

Muy bien, ahora una cuestión parecida: ¿es posible formar un triángulo con lados de seis, siete y 18 metros de largo?

Ya sabemos lo que tenemos que hacer gracias al problema anterior. Tenemos que comprobar si estas tres desigualdades triangulares se cumplen. Sin embargo, solo echando un vistazo a estas tres medidas, seis metros, siete metros y 18 metros, podemos ver que ya hay una inecuación que no va a funcionar. Hacemos la suma de seis y siete, y vemos que seis más siete es 13. Y trece no es mayor que 18. Por lo tanto, la suma de este par de lados no supera la longitud del tercer lado, lo que significa que en este problema no es posible formar dicho triángulo.

Un punto importante que debemos destacar es que, cuando la respuesta fue sí, tuvimos que comprobar las tres inecuaciones para asegurarnos de que todas se cumplían. Cuando la respuesta ha sido no, ha sido suficiente con demostrar que un par de lados no satisfacen la desigualdad. Por lo tanto, siempre que hallemos una inecuación que no funcione, sabremos que no es posible formar el triángulo. No es necesario que comprobemos las otras dos.

Vale, el siguiente enunciado dice: dos lados de un triángulo miden cinco centímetros y ocho centímetros de largo. ¿Cuál es el rango de valores para el tercer lado?

No se nos pide explícitamente que hallemos el tercer lado. Se nos pide que hallemos el rango de valores posibles que puede tener este tercer lado. No conocemos este lado, por lo que vamos a empezar asignándole una letra. Así que lo vamos a llamar 𝑥. Así que empezamos nuestro cálculo con el enunciado «Sea la longitud del tercer lado 𝑥 centímetros». Ahora tenemos que pensar en las tres desigualdades triangulares que hemos visto antes. Primero, pensamos en que, si tomamos este tercer lado 𝑥 y el lado de cinco centímetros, entonces la suma de estos dos lados debe ser mayor que ocho centímetros.

Esto nos lleva a nuestra primera inecuación. La cual dice que 𝑥 más cinco debe ser mayor que ocho. Para resolver esta inecuación tenemos que restar cinco a ambos lados. Y así obtenemos que 𝑥 debe ser mayor que tres. Este es el primer dato que tenemos sobre 𝑥. Tiene que ser mayor que tres.

Ahora escribimos la segunda inecuación. Y esta dice que, si sumamos el tercer lado 𝑥 más ocho centímetros, esto tiene que dar más de cinco. Así que esto nos da la inecuación 𝑥 más ocho debe ser mayor que cinco. Y para resolver la inecuación tenemos que restar ocho a ambos lados. De este modo obtenemos que 𝑥 debe ser mayor que menos tres. Sin embargo, esto no nos da ningún tipo de información adicional, pues 𝑥 representa una longitud. Entonces, por definición, tiene que ser un valor positivo, lo que significa que debe ser mayor que menos tres. Así que no nos ha servido de nada usar esta inecuación de aquí.

En la tercera inecuación debemos tener en cuenta el cinco y el ocho. Y la suma de estos debe ser mayor que 𝑥. Así que tenemos que cinco más ocho es mayor que 𝑥. Si simplificamos esto vemos que 13 es mayor que 𝑥. O, si escribimos la inecuación a la inversa, entonces tenemos que 𝑥 es menor que 13.

Muy bien, ahora tenemos que juntar toda esta información. Recordemos que la inecuación que está en el medio no nos ha dado ninguna información útil. Pero las otras dos sí. La primera nos dice que 𝑥 es mayor que tres. Y la segunda nos dice que 𝑥 es menor que 13. Así que, si juntamos estas dos inecuaciones, veremos que tenemos una desigualdad doble para 𝑥. Esta nos dice que 𝑥 es mayor que tres pero menor que 13. Y, por lo tanto, ese es el rango de los posibles valores del tercer lado del triángulo.

Ahora, haciendo un inciso, es importante mencionar que, si el problema nos hubiera pedido hallar el valor entero más pequeño de 𝑥, por ejemplo, la respuesta no sería tres. Sería cuatro, pues tiene que ser estrictamente mayor que tres. Así que nos interesa el entero siguiente a tres. Muy bien, en este problema, hemos planteado tres inecuaciones fijándonos en los tres pares distintos de los lados del triángulo, hemos resuelto las inecuaciones y hemos juntado toda la información al final del problema, para así calcular el rango de los valores posibles del tercer lado.

Bien, en el último problema tenemos un diagrama y se nos pide: Sabiendo que 𝑥 es un entero, es decir, un número entero, determina los posibles valores de 𝑥.

Y si nos fijamos en el diagrama podemos ver que los tres lados están expresados en términos de 𝑥. Entonces, como en el ejemplo anterior, tenemos tres inecuaciones que debemos escribir. En la primera vamos a tomar el lado rojo y el lado azul y sumarlos. Y, al hacerlo, la desigualdad triangular nos dice que la suma debe ser mayor que el tercer lado, el cinco 𝑥 menos tres. Así que tenemos esta inecuación aquí.

Ahora lo que tenemos que hacer es resolver la inecuación. Entonces, si simplificamos el lado izquierdo, tenemos tres 𝑥 más 𝑥 igual a cuatro 𝑥 y menos uno más tres igual a dos. Así que tenemos que cuatro 𝑥 más dos es mayor que cinco 𝑥 menos tres. El siguiente paso al resolver esta inecuación es sumar tres a ambos lados, lo que nos da que cuatro 𝑥 más cinco es mayor que cinco 𝑥. Por último, restamos cuatro 𝑥 a ambos lados, y obtenemos que cinco es mayor que 𝑥. O, si lo planteamos a la inversa, tenemos que 𝑥 es menor que cinco. Y ya tenemos la primera información sobre 𝑥. Esta nos dice que debe ser menor que cinco.

Ahora tenemos que hacer lo mismo con los otros dos lados del triángulo. Ahora, si nos fijamos en el lado azul y en el lado verde, y en la suma de esos dos, tenemos que 𝑥 más tres más cinco 𝑥 menos tres debe ser mayor que el tercer lado, que es tres 𝑥 menos uno. Ahora, al mismo tiempo, vamos a escribir la tercera inecuación. En esta inecuación sumamos el lado rojo y el lado verde. Y la suma debe ser mayor que el lado azul. Así que esto nos da la tercera inecuación: tres 𝑥 menos uno más cinco 𝑥 menos tres es mayor que 𝑥 más tres.

Ahora bien, no vamos a explicar paso a paso la solución de las dos inecuaciones. Que hemos escrito en la pantalla. Por lo tanto, si quieres pausar el vídeo y hacerlo tú mismo, adelante. Pero nos da estos valores de aquí. 𝑥 es mayor que menos un tercio, para la primera, pero esto no nos da ninguna información nueva, pues la tercera inecuación nos dice que 𝑥 tiene que ser mayor que uno. Entonces, si 𝑥 tiene que ser mayor que uno, definitivamente tiene que ser mayor que menos un tercio. Y también debemos asegurarnos de que la longitud de estos lados sea positiva.

En definitiva, son la primera y la última inecuación las que nos dan más información. 𝑥 tiene que ser mayor que uno pero menor que cinco. Así que podemos plantearlo como una desigualdad doble, como hemos hecho antes. Pero en este problema se nos dice que 𝑥 es un número entero. Así que 𝑥 es un entero mayor que uno pero menor que cinco, lo que significa que hay tres posibles enteros que pueden ser 𝑥. 𝑥 puede ser dos, tres o cuatro. Y ya tenemos la respuesta al problema.

Entonces, resumiendo, hemos aprendido lo que es la desigualdad triangular y lo que nos dice sobre la relación que debe haber entre los tres lados de un triángulo. Hemos visto cómo aplicarla para determinar si es posible o no construir un determinado triángulo usando tres longitudes dadas. Y, luego, hemos aprendido cómo aplicar este método a problemas más complejos en los que hemos tenido que plantear y resolver algunas inecuaciones algebraicas.