Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo comparar y ordenar números racionales racionales que pueden estar expresados de diferentes maneras. Si esta caja representa todos los números, podemos dividirla en dos categorías: racionales e irracionales. Los números racionales pueden ser escritos como una fracción, y los números irracionales no pueden ser escritos como una fracción. Los números enteros son valores racionales. Por ejemplo, menos tres es un entero. Si queremos escribir menos tres como una fracción, podemos escribirlo como menos tres sobre uno, lo que demuestra que es un número racional. Los números decimales exactos o periódicos también son racionales. 0.25 como fracción es un cuarto.
Los números irracionales no pueden ser escritos como una fracción. Un ejemplo de esto es 𝜋 o la raíz cuadrada de dos. No vamos a ocuparnos de los números irracionales por ahora. Hemos dicho que los números racionales son valores que pueden ser expresados como una fracción. Recordemos lo que es una fracción.
Una fracción compara una parte con un todo. En una fracción, el denominador es el valor que está debajo de la raya de fracción y nos dice el número de partes iguales en que está dividido el todo. El numerador es el valor en la parte de encima de la raya de fracción y nos dice cuántas de estas partes tomamos.
Por lo general, representamos una fracción con un diagrama usando una figura, a menudo un círculo o un rectángulo. El número de partes en las que está dividida la figura representa el denominador. Aquí, nuestro rectángulo está dividido en cinco partes iguales, así que nuestro denominador es cinco. La parte que tomamos suele estar coloreada. Y como están coloreadas dos de las cinco partes, sabemos que esta fracción es dos quintos.
Aquí tenemos un ejemplo de un diagrama de fracción circular. El denominador es cuatro, que representa el número de divisiones en el círculo. Y el numerados es tres porque hay tres partes coloreadas. Esta fracción es tres cuartos.
Pero ¿qué sucede si el diagrama es así, color preferido, y tiene las etiquetas azul y amarillo? Como dijimos anteriormente, el azul es tres cuartos, lo que significa que el amarillo es un cuarto. Está muy claro aquí que tres cuartos es más que un cuarto. Lo que muestra que ordenar fracciones con el mismo denominador es muy fácil.
Si estamos comparando cinco octavos, un octavo y tres octavos, lo único que tenemos que hacer para ordenar estos números es fijarnos en su numerador. Cinco es el numerador más grande. Por lo tanto, cinco octavos es la fracción mayor de entre estas tres fracciones. Tres es el siguiente numerador más grande, lo que hace tres octavos la segunda fracción más grande en este conjunto.
Pero tenemos que considerar lo que sucede cuando los denominadores no son iguales. Comparar fracciones con diferentes denominadores es algo así.
Daniel tiene nueve monedas, y Will tiene tres billetes. Si alguien dice: «Nueve es mayor que tres, por lo tanto, Daniel tiene más dinero», esta persona ha cometido un error en la comparación debido a las unidades. No puedes comparar el número de monedas con la cantidad de billetes. Vas a tener que convertir las monedas de Daniel a billetes o convertir los billetes de Will a monedas.
Cuando trabajamos con fracciones que no tienen el mismo denominador, tenemos que hacer algo parecido. Tenemos que convertirlas a una forma que podamos comparar. Veamos un ejemplo en el que tenemos que hacer esto.
Compara un medio con dos octavos.
Estas dos fracciones no tienen el mismo denominador, lo que significa que para compararlas, tenemos que expresarlas con un denominador común. Ambos denominadores son números pares. De hecho, dos es un divisor de ocho. Si multiplicamos dos por cuatro, obtenemos ocho. Cuando trabajamos con fracciones, si multiplicamos el denominador por un valor, tenemos que multiplicar el numerador por ese mismo valor. Uno por cuatro es cuatro. Esto nos dice que cuatro octavos es una fracción equivalente a un medio.
Como las dos fracciones tienen ahora un denominador común, solo tenemos que fijarnos en sus numeradores. Cuatro es mayor que dos. Cuatro octavos es, por lo tanto, mayor que dos octavos, lo que nos dice que un medio es mayor que dos octavos. Así es el método de conversión a común denominador.
Pero podemos hacer esto de otra manera también. Podemos convertir estas fracciones a decimales. Un medio como decimal es 0.5. Vemos que el numerador y el denominador de dos octavos son divisibles por dos. Así que podemos decir que dos octavos equivale a un cuarto, y un cuarto escrito como decimal es 0.25. Si comparamos estos dos números decimales, vemos que 0.5 es mayor que 0.25, ya que 0.5 tiene un cinco en el lugar de las décimas y 0.25 tiene un dos en el lugar de las décimas. Esto confirma lo que ya dijimos, que un medio es mayor que dos octavos.
Veamos un ejemplo en el que hay que ordenar más de dos valores.
Ordena un doceavo, un décimo, un tercio, y un veinteavo en forma ascendente.
Primero, necesitamos saber qué significa orden ascendente. Esto significa de menor a mayor. Y nos damos cuenta de que no tenemos un denominador común. Sin embargo, los cuatro valores tienen un numerador de uno. Por supuesto, podemos hallar un denominador común o convertir todos los valores a decimales. Pero debido a que los cuatro valores tienen el mismo numerador, podemos ordenar estos cuatro valores usando un método diferente.
Imagina que representamos estas fracciones con un diagrama circular. El círculo cortado en tercios se vería así. Aquí está ese mismo círculo cortado en 12 partes iguales. Si el denominador es más grande, las porciones son más pequeñas. Un tercio es mucho más grande que un doceavo. Por lo tanto, podemos decir que cuando los numeradores son iguales, la fracción que tiene el denominador más grande será la primera al ordenarlas de menor a mayor. En este caso, comenzamos con un veinteavo como el valor más pequeño. Después, un doceavo seguido de un décimo y luego un tercio. Podemos hacer este tipo de comparación porque los numeradores son iguales.
Puedes verlo de la siguiente manera: cuantas más rebanadas cortas en una pizza, más pequeñas son las rebanadas. Si comes una rebanada de pizza pero solo hay tres rebanadas, es más que si cortas la misma pizza en 10 rebanadas y comes solo una de ellas. Para esta cuestión, en orden ascendente, tenemos un veinteavo, un doceavo, un décimo y un tercio.
Aquí tenemos otro ejemplo de ordenación de números racionales. Esta vez, ninguno de los valores está dado en forma de fracción.
Ordena los valores en forma ascendente: 0.2, menos 0.2, menos 2.3, nueve, dos.
Sabemos que orden ascendente significa de menor a mayor. Es útil pensar en estos valores en términos de una recta numérica. Sabemos que los valores positivos van a la derecha de cero y que los negativos van a la izquierda de cero. Cuando trabajamos con valores negativos, los valores a la izquierda de cero, cuanto más grandes, más lejos de cero. Menos 2.3 está más lejos de cero que menos 0.2. Por tanto, menos 2.3 es el valor mínimo.
Después viene menos 0.2. Ahora vamos a comparar nuestros valores positivos. El número decimal es el único que es menor que uno. Así que será el siguiente. Y sabemos que dos es menor que nueve. Por eso escribimos dos y después nueve. En orden ascendente, estos valores son, por lo tanto, menos 2.3, menos 0.2, 0.2, dos y nueve.
Aquí tenemos un ejemplo que tiene números mixtos y valores decimales.
Coloca el siguiente conjunto de números en orden ascendente: menos tres con tres décimos, menos 3.61, y menos 3.5.
El orden ascendente es de menor a mayor y tenemos tres valores. Los tres valores son negativos. Dos de ellos son números decimales y uno es un número mixto. Tenemos dos opciones. Podríamos convertir el número mixto en un decimal, o podríamos convertir los dos números decimales en números mixtos. Dado que dos de los valores ya están en forma decimal, nos conviene convertir este número mixto en un número decimal.
Sabemos que menos tres seguirá siendo la parte entera del número decimal. Pero ¿cómo convertimos tres décimos a decimal? Como se trata de una fracción con denominador 10, es un procedimiento realmente simple. Basta con poner un tres en el lugar de las décimas, y obtenemos, pues, menos 3.3. En este punto, debemos tener mucho cuidado porque estamos ordenando valores negativos. Y cuando ordenamos valores negativos, el valor menor será el que esté más alejado de cero. Y sabemos que la distancia desde cero es el valor absoluto de nuestro número.
Esto significa que menos 3.61 está a 3.61 unidades a la izquierda de cero. Y significa que menos 3.5 está a 3.5 unidades a la izquierda de cero. Menos 3.5 está más cerca de cero que menos 3.61, y menos 3.3 es el más cercano a cero de los tres valores. Ordenados de menor a mayor, comenzamos por menos 3.61, después menos 3.5 y luego menos 3.3. Sin embargo, para la respuesta final, es mejor tomar menos 3.3 y volver a ponerlo en el formato que nos dieron originalmente: menos tres con tres décimos.
A continuación, tenemos un ejemplo con valores positivos y negativos, y también con números mixtos y fracciones.
Coloca los elementos en el conjunto uno con dos tercios, menos un octavo, uno con un noveno y menos un medio en orden descendente.
El orden descendente es de mayor a menor. Nos damos cuenta, además, de que estos valores no tienen el mismo denominador. Pero si pensamos en ellos en términos de la recta numérica, sabemos que menos un medio debe ir a la izquierda de cero y uno con dos tercios a la derecha de cero. En este punto, necesitamos comparar menos un medio y menos un octavo, y uno con un noveno y uno con dos tercios.
Comenzando por los valores negativos, tenemos menos un medio y menos un octavo. Si multiplicamos el numerador y el denominador por cuatro, por menos un medio, obtenemos menos cuatro sobre ocho. Debido a que estos valores son negativos, debemos ser cuidadosos al hacer su comparación. Menos un octavo está más cerca de cero en la recta numérica que menos cuatro octavos. Su posición en la recta numérica es esta. Si lo hacemos en orden descendente, de mayor a menor, menos un octavo debe ir antes de menos un medio.
Pero ahora necesitamos comparar los dos valores positivos. Uno con un noveno y uno con dos tercios, ambos tienen uno como su parte entera. Esto significa que al compararlos solo tenemos que comparar sus fracciones. Estas dos fracciones no tienen el mismo denominador. Pero si multiplicamos dos tercios por tres en el numerador y en el denominador, este número mixto se convierte en uno con seis novenos. Uno con seis novenos es mayor que uno con un noveno. Así que podemos situarlos en la recta numérica de esta manera. Y ya estamos listos para escribirlos en orden descendente.
Orden descendente significa de mayor a menor. Queremos escribir esto en notación de conjuntos, así que vamos a abrir llaves. El valor más grande es uno con dos tercios, después uno con un noveno, luego menos un octavo, y finalmente menos un medio. Cerramos llaves. Y así hemos escrito los elementos del conjunto en orden descendente.
Antes de terminar el video, repasemos los puntos clave que necesitamos para comparar y ordenar números racionales. Los números racionales son números reales que pueden ser expresados como fracciones en las que tanto el denominador como el numerador son números enteros. Para comparar fracciones, un método es convertir las fracciones a denominadores comunes. Otro método es convertir todos los valores a decimales. Ahora estás listo para hacerlo por tu cuenta.
