Video Transcript
En este video, vamos a aprender cómo hallar la mediana y los cuartiles superior e inferior de un conjunto de datos. Los cuartiles dividen un conjunto de datos en cuartos de modo que el 25 por ciento del conjunto de los datos se halle en cada uno de los cuartos. Vamos a comenzar definiendo la mediana, el cuartil inferior y el cuartil superior y vamos a ver cómo podemos calcularlos para un conjunto de datos pequeño. Una vez que hayamos hecho esto, vamos a ver algunos problemas más complicados en contexto.
La mediana o segundo cuartil marca la mitad de un conjunto de datos. Esto significa que el 50 por ciento de nuestros datos está por debajo de la mediana y el 50 por ciento está por encima de la mediana. El cuartil inferior o primer cuartil marca el centro de la mitad inferior de un conjunto de datos. Esto significa que el 25 por ciento de los datos está por debajo del cuartil inferior y el 75 por ciento por encima de él.
El cuartil superior o tercer cuartil marca el centro de la mitad superior de un conjunto de datos. Esto significa que el 25 por ciento de los datos está por encima del cuartil superior, mientras que el 75 por ciento está por debajo. El cuartil inferior, la mediana y el cuartil superior a veces se denotan Q uno, Q dos y Q tres, respectivamente.
Veamos cómo podemos calcular la mediana y los cuartiles a partir de un pequeño conjunto de datos. Vamos a comenzar trabajando con un número impar de datos.
Determina la mediana y los cuartiles de estos valores. 10, 17, 21, 25, 29, 32 y 37.
Notamos que nuestros valores ya están en orden ascendente. Si este no fuera el caso, primero tendríamos que organizarlos de esta manera. Hay siete datos aquí. Y sabemos que la mediana es el valor en el centro. Una forma de calcular la mediana es tachar los valores en ambos extremos. Primero, tachamos 10 y 37. A continuación, tachamos 17 y 32. Finalmente, tacharíamos 21 y 29. Esto nos deja con un valor mediano de 25. El cuarto número en la lista es la mediana.
Como había siete números en la lista, podríamos pensar que la posición de la mediana es la mitad de este número. Sin embargo, este no es el caso. Y podemos calcular la posición de la mediana de cualquier conjunto de datos usando la siguiente fórmula: 𝑛 más uno dividido por dos. 𝑛 es el número de valores, en este caso siete. Así que tenemos siete más uno dividido por dos. Como ocho dividido por dos es igual a cuatro, el cuarto valor en nuestra lista es la mediana.
Sabemos por nuestra definición anterior que el cuartil inferior es el valor central de la mitad inferior. En esta cuestión, la mitad inferior del conjunto de datos tiene tres valores: el primero, el segundo y el tercero. El valor en el centro de estos es 17. Por lo tanto, el cuartil inferior es 17. Podemos calcular la posición del cuartil inferior o Q uno usando una fórmula similar a la de la mediana. Esta vez, es 𝑛 más uno dividido por cuatro. Dividir por cuatro es lo mismo que hallar un cuarto. Siete más uno es igual a ocho, y dividir esto por cuatro nos da dos. Por lo tanto, el segundo número en nuestro conjunto de datos, en este caso 17, es el cuartil inferior.
El cuartil superior es el dato en el centro de la mitad superior de nuestro conjunto de datos, en este caso los números quinto, sexto y séptimo. El centro de esto es el sexto número, 32. Este es el cuartil superior. Y de modo similar a como hemos hecho antes, podríamos hallar la posición del cuartil superior o Q tres hallando tres cuartos de 𝑛 más uno o multiplicando 𝑛 más uno por tres y luego dividiendo por cuatro. Esto es igual a seis. Así que el sexto número en nuestra lista será el cuartil superior. Una forma más rápida de calcular esto sería multiplicar la posición del cuartil inferior por tres, ya que tres cuartos es un cuarto multiplicado por tres. El cuartil inferior, la mediana y el cuartil superior de nuestros valores son 17, 25 y 32, respectivamente.
A continuación, vamos a ver una cuestión en la que tenemos un número par de datos.
Los puntajes en las pruebas de Historia de David son 74, 96, 85, 90, 71 y 98. Determina los cuartiles superior e inferior de sus puntajes.
Para calcular los cuartiles superior e inferior de un conjunto de datos, primero necesitamos colocar los datos en orden ascendente. En este caso, la puntuación más baja fue 71. La siguiente puntuación más baja fue 74. El resto de las puntuaciones de David en orden ascendente fueron 85, 90, 96 y 98. Tenemos seis puntajes en las pruebas y sabemos que la mediana es el valor en el centro.
Una forma de calcular la mediana de un conjunto de datos pequeño es tachar los números de ambos extremos. Tachamos el número más pequeño y el número más grande. Luego tachamos 74 y 96. Esto significa que nos quedan dos números centrales, 85 y 90. La mediana es el valor medio de estos dos números. Podemos resolver esto usando una recta numérica. Alternativamente, podemos hallar el promedio o el punto medio de dos números hallando su suma y dividiendo por dos. Esto es igual a 87.5. La mediana de las puntuaciones de las pruebas de David es 87.5.
Una forma alternativa de hallar la mediana, que es útil si tenemos un conjunto de datos grande, es usar la fórmula 𝑛 más uno dividido por dos. Esto nos da la posición mediana en la lista. Como había seis valores en esta cuestión, 𝑛 es igual a seis. Seis más uno es igual a siete, y dividir por dos nos da 3.5. Esto significa que la mediana estará a medio camino entre el tercer y cuarto valor. Esto confirma que nuestra respuesta de 87.5 era correcta.
Como teníamos seis valores en total, hay tres valores menores que la mediana y tres valores mayores que la mediana. Sabemos que el cuartil inferior es el centro de la mitad inferior de nuestro conjunto de datos. Como hay tres valores aquí, el cuartil inferior, o Q uno, será el del medio. Esto es igual a 74. El cuartil superior será el valor central de la mitad superior de nuestro conjunto de datos. Una vez más, tenemos tres números por encima de la mediana. El número central es el de en medio. Esto es igual a 96.
Por lo tanto, podemos concluir que el cuartil superior de las puntuaciones de de David fue 96 y el cuartil inferior fue 74. Antes de continuar con esta cuestión, veamos cómo podemos hallar la posición del cuartil inferior y del cuartil superior. La posición del cuartil inferior se puede calcular usando la fórmula 𝑛 más uno dividido por cuatro o un cuarto de 𝑛 más uno. Siete dividido por cuatro es igual a 1,75. Como está a más de la mitad entre uno y dos, redondeamos a dos. El cuartil inferior es el segundo valor en nuestra lista.
Podemos calcular la posición del cuartil superior usando un método similar. Tres cuartos de 𝑛 más uno, o tres multiplicado por 𝑛 más uno dividido por cuatro. Esto es igual a 5.25, que notamos que es tres veces 1.75. Como está más cerca de cinco que de seis, redondeamos a cinco. El quinto número en nuestra lista es el cuartil superior. Este método es particularmente útil si tenemos un gran conjunto de datos.
Ahora vamos a ver un par de cuestiones más complicadas en contexto.
El número de puntos ganados por cada uno de los 15 estudiantes en el primer nivel de un torneo de videojuegos fue anotado. Los resultados están en la tabla a continuación. Halla la mediana, Q dos, y los cuartiles inferior y superior, Q uno y Q tres, para el número de errores extra ganados. Si los organizadores del torneo deciden que el 25 por ciento de los mejores estudiantes puede competir en el nivel dos, ¿por encima de qué número de puntos debe obtener un estudiante para pasar al siguiente nivel?
Para calcular la mediana y los cuartiles de cualquier conjunto de datos, primero necesitamos colocar los datos en orden ascendente. El número más bajo de puntos que ganó un estudiante fue 14. El siguiente más bajo fue 15. La lista completa en orden ascendente es como se muestra. Una vez que nuestros datos están en orden, podemos calcular la mediana tachando un número desde cualquier extremo hasta llegar al medio. Tachamos 14 y 35. Luego tachamos 15 y 32 y repetimos este proceso hasta llegar a la mitad. Si hubiera dos números medios, encontraríamos el punto medio de estos dos.
Cuando se trata de un conjunto de datos grande, existe una forma más rápida de hallar la posición media. Hacemos esto usando la fórmula 𝑛 más uno dividido por dos, donde 𝑛 es el número de datos. En esta cuestión hay 15 datos. Sumamos uno a 15 y luego dividimos por dos. Esto es igual a ocho. Por lo tanto, la mediana es el octavo número en nuestra lista. O sea, es 22. La mediana de los puntos es 22.
Podemos calcular las posiciones del cuartil inferior y del cuartil superior de manera similar. La posición del cuartil inferior o Q uno se calcula dividiendo 𝑛 más uno por cuatro. 15 más uno es igual a 16, y dividir esto por cuatro nos da cuatro. Por lo tanto, el cuarto número en nuestra lista, en este caso 17, es el cuartil inferior.
Una forma alternativa de hallar el cuartil inferior sería hallar el centro de la mitad inferior de nuestra lista. Hay siete valores por debajo de la mediana, y el del medio es 17, el cuarto valor. Para hallar la posición del cuartil superior o Q tres, multiplicamos 𝑛 más uno por tres cuartos o multiplicamos 𝑛 más uno por tres y luego dividimos por cuatro. Esto es igual a 12. Date cuenta de que esto es tres veces la posición de Q uno. El valor en la posición 12 en nuestra lista es 29, por lo que este es el cuartil superior.
Como el cuartil superior es el centro de la mitad superior de los valores de los datos, podríamos, por supuesto, haberlo hallado como el valor central de los siete valores por encima de la mediana. La mediana del número de errores extra es 22, el cuartil inferior es 17 y el cuartil superior es 29.
Ahora borramos todo esto y hacemos espacio para resolver la segunda parte de la cuestión.
En la segunda parte de la cuestión nos piden que hallemos los mejores 25 por ciento de los estudiantes. Recordemos que una de las razones para calcular los cuartiles es dividir nuestros datos en cuartos. Un cuarto es lo mismo que un 25 por ciento. Esto significa que el 25 por ciento de los mejores estudiantes estará entre Q tres y el valor máximo inclusive. Como Q tres o el cuartil superior era igual a 29, un estudiante estará en el 25 por ciento superior si logra 29 puntos o más.
Nuestra última cuestión es parecida a esta pero un poco más complicada.
En el segundo año de un torneo de videojuegos, hubo 42 participantes y se anotó el número de puntos que ganó cada uno en el nivel uno. Los datos se muestran en el gráfico a continuación, donde cada punto representa un participante. Halla la mediana del número de puntos ganados y los cuartiles superior e inferior, Q uno y Q tres.
También hay una segunda parte de esta cuestión que veremos más adelante. Podemos ver en el gráfico que hubo un estudiante que logró 13 puntos. También hubo un estudiante que obtuvo 15. Dos estudiantes obtuvieron 19 puntos y dos estudiantes obtuvieron 20. El número máximo de puntos obtenidos por un estudiante fue 38.
Para calcular la mediana y los cuartiles, podemos escribir todos estos números en orden ascendente. 13, 15, 19, 19, 20, 20, etc. Esto llevaría mucho tiempo. Por lo tanto, un método más rápido es determinar en qué posición estarán la mediana y los cuartiles. La posición de la mediana se puede calcular usando la fórmula 𝑛 más uno dividido por dos. 𝑛 es el número de valores de datos, en este caso 42. Sustituir esto en la fórmula nos da una respuesta de 21.5. Esto significa que la posición mediana está entre el número 21 y el 22.
Si calculamos la frecuencia acumulada, podemos ver que los números 19, 20, 21 y 22 son todos 26. Esto significa que la mediana del número de puntos es 26. Podemos calcular la posición del cuartil Q uno o más bajo usando un método similar. Esta vez, dividimos 𝑛 más uno por cuatro, lo que nos da una respuesta de 10.75. Como está por encima del punto medio entre 10 y 11, redondeamos hacia arriba al número 11. Los números 11 y 12 son iguales a 23. Por lo tanto, Q uno es igual a 23.
Para calcular la posición del cuartil Q tres o superior, multiplicamos la posición del cuartil inferior por tres. Esto nos da 32.25. Como está a menos de la mitad entre 32 y 33, redondeamos hacia abajo. Estamos buscando el número 32. Esto es igual a 29.
La segunda parte de la cuestión nos pide que calculemos qué puntaje obtuvo el 25 por ciento más alto de los participantes. Los cuartiles dividen nuestros datos en cuartos, o sea, grupos con el 25 por ciento de los datos. Esto significa que el 25 por ciento de las puntuaciones estará por encima del cuartil superior. Por lo tanto, una puntuación de 29 o más sitúa a un estudiante en el 25 por ciento superior.
A continuación, vamos a resumir los puntos principales de este video. La mediana marca el punto central de un conjunto de datos. El cuartil inferior marca el punto central de la mitad inferior de un conjunto de datos. Y el cuartil superior marca el punto central de la mitad superior de un conjunto de datos. Podemos calcular las posiciones de la mediana y las de los cuartiles usando estas fórmulas de aquí. Los cuartiles dividen nuestros datos en cuartos, o sea, grupos con el 25 por ciento de los datos cada uno.
