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Vídeo de la lección: Ángulos de elevación y ángulos de depresión Matemáticas • Undécimo grado

En este video, vamos a aprender cómo resolver problemas en contextos del mundo real que involucran ángulos de elevación y ángulos de depresión aplicando la tangente.

14:03

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a ver una aplicación de la trigonometría para calcular los ángulos de elevación y de depresión.

Primero que nada, vamos a aclarar qué se entiende por ángulos de elevación y ángulos de depresión. Y los dos diagramas aquí son útiles para explicarlo, los ángulos de elevación, en primer lugar. Aquí tenemos un diagrama de una persona que está mirando hacia arriba, hacia un objeto por encima de ella. El ángulo de elevación es el ángulo formado entre la horizontal y la línea de visión de esa persona cuando mira hacia este objeto.

Un ángulo de depresión es un concepto similar, pero esta vez nuestro observador está mirando hacia abajo. Por lo tanto, el ángulo de depresión es el ángulo que se forma entre la horizontal y la línea de visión del observador cuando mira hacia un objeto.

De hecho, si se agrega otra persona, como he hecho en este diagrama de la derecha, el ángulo de elevación desde el observador de abajo y el ángulo de depresión desde el observador de arriba son los mismos. Son congruentes entre sí porque las dos rectas horizontales son paralelas. Y, por lo tanto, estos dos ángulos son ángulos alternos internos de rectas paralelas. Por lo tanto, muchas cuestiones sobre ángulos de elevación y depresión tienden a ser cuestiones formuladas, en las que hay que leer una descripción, interpretarla, y conviene siempre dibujar un diagrama para ayudarte. Veamos algunos ejemplos de esto.

Esta es nuestra primera cuestión.

Dice que Tom está en un acantilado de 100 metros de altura y ve un barco en el mar. El ángulo de depresión desde Tom hasta el barco es de 51 grados. Calcula la distancia entre el barco y la base del acantilado.

Como mencioné anteriormente, un diagrama es siempre un punto de partida útil para visualizar la situación aquí. Y este es mi diagrama. Tengo un acantilado con Tom y un barco en el mar y Tom está mirando hacia el barco. Ahora, nos dicen que el ángulo de depresión es de 51 grados. Entonces, también necesitamos dibujar la horizontal. Porque, recuerda, el ángulo de depresión se mide desde la horizontal. Entonces, esta es la horizontal. Y el ángulo de depresión que se nos dice es de 51 grados. Necesitamos poner esto aquí.

Ahora bien, si queremos usar trigonometría para resolver este problema, necesitamos un triángulo rectángulo. Por lo tanto, también vamos a agregar una línea vertical que sea paralela al acantilado desde el bote hasta la horizontal. Esto nos da el triángulo rectángulo con el que vamos a trabajar. Ahora, tenemos otra información. Nos dicen que el acantilado en el que está Tom mide 100 metros de altura. Eso significa que podemos escribir esta medida aquí como 100 metros.

Vale la pena señalar que no hemos tenido en cuenta la altura de Tom de ninguna manera. Obviamente, Tom está en lo alto del precipicio, por lo que agregará un poco a esto. Pero no nos han dicho qué tan alto es Tom. Así que, en esta cuestión, ignoramos la altura de Tom. En otra cuestión, es posible que nos digan qué tan alto es Tom o qué tan alto están sus ojos del suelo, en cuyo caso tendríamos que tenerlo en cuenta. Pero en esta cuestión, solo estamos tratando con los 100 metros de altura del acantilado.

Así que, nos piden calcular la distancia entre el barco y la base del acantilado. Esa es esta distancia horizontal aquí, que he indicado como 𝑑 metros. Pensando en cómo abordar este problema, se trata claramente de un problema de trigonometría. Y el primer paso, al abordar una cuestión de trigonometría es siempre etiquetar los lados como el opuesto, el contiguo y la hipotenusa en relación con el ángulo. Eso es con respecto a los 51 grados de aquí.

Y aquí están sus etiquetas. Podemos ver que me nos han dado el lado opuesto y queremos saber el lado contiguo. Tenemos O y A. Por lo tanto, vamos a usar la razón tangente aquí. Necesitamos recordar cuál es la definición de la razón tangente. Y la definición, recuerda, es que tan de 𝜃, donde 𝜃 representa un ángulo, es la razón del opuesto dividido por el contiguo.

Entonces, lo que vamos a hacer es escribir esta razón nuevamente, pero completaremos la información que conocemos para esta cuestión. Vamos a reemplazar 𝜃 con 51 grados, el lado opuesto con 100, y el lado contiguo con 𝑑 porque esa es la letra que le dimos en esta cuestión. Tenemos que tan de 51 es igual a 100 sobre 𝑑.

Hemos de resolver esta ecuación para hallar el valor de 𝑑. 𝑑 está en el denominador de una fracción, así que lo primero que haremos es multiplicar ambos lados de la ecuación por 𝑑. Y esto nos da 𝑑 multiplicado por tan 51 es igual a 100. El siguiente paso para despejar 𝑑 es dividir ambos lados de la ecuación por tan 51. Tan 51 es simplemente un número, así que podemos hacer esto sin ningún problema. Y así, esto me da 𝑑 igual a 100 sobre tan 51.

Ahora, en este punto, tomamos una calculadora para evaluar esto. Y como ese 51 son grados, necesito asegurarme de que mi calculadora esté en modo de grados para esta pregunta. Evaluar eso me da 80.9784 para 𝑑. No me han dicho cómo redondear mi respuesta. Así que, vamos a redondear al metro más cercano. Esto me dice que la distancia entre el barco y la base del acantilado es de 81 metros al metro más cercano.

Vemos, pues, que es realmente importante dibujar un diagrama si no te lo han dado. Lee la información en la cuestión con mucho cuidado y asegúrate de ponerla en el diagrama correctamente. Hemos aplicado la razón al triángulo tangente y hemos resuelto luego la ecuación resultante y hemos calculado así la longitud del lado que estábamos buscando.

Bien, ahora la segunda cuestión que vamos a ver.

Jess se encuentra a 40 metros de un edificio de 25 metros de altura. ¿Cuál es el ángulo de elevación desde Jess hasta la parte superior del edificio?

Así que, como sugerí antes, un diagrama es muy conveniente para comenzar a resolver esta cuestión. Esta vez, representamos a Jess con un punto. No nos han dicho nada tampoco sobre su altura. Por lo tanto, no la estamos tomando en cuenta. Está a 40 metros del edificio, que tiene 25 metros de altura. Y estamos haciendo la suposición razonable aquí de que el edificio está en ángulo recto con el suelo, que es horizontal. Queremos calcular el ángulo de elevación cuando Jess mira hacia la parte superior del edificio. Es este ángulo que he marcado como 𝜃 en el diagrama.

Es un problema de trigonometría como el anterior, por lo que siempre es conveniente nombrar los tres lados del triángulo primero. Tenemos, la hipotenusa, el lado más largo aquí; el lado opuesto, que es el lado opuesto a este ángulo 𝜃, y luego el lado adyacente que está entre 𝜃 y el ángulo recto. Los dos lados que nos han dado son el opuesto y el contiguo. Así que vamos a usar otra vez la tangente. Escribamos su fórmula. tan de 𝜃 es igual al lado opuesto dividido por el lado contiguo.

Así, pues, lo que vamos a hacer es escribir esta razón. Pero vamos a reemplazar el lado opuesto y el lado contiguo con sus valores en esta cuestión, 25 y 40. Y obtenemos tan de 𝜃 igual a 25 sobre 40. En realidad, esto se simplifica ya que puedo dividir ambas partes de esta razón por cinco. Entonces, si quisiéramos, podríamos simplificarlo a cinco sobre ocho. Pero, ahora, como estamos buscando calcular un ángulo en vez de un lado, necesitamos usar la función inversa de la tangente para hacer esto.

Tenemos que 𝜃 es igual a inversa de tan de cinco sobre ocho. Y en este punto, usamos la calculadora para evaluar eso. Entonces, esto me dice que 𝜃 es igual a 32.00538. Y si redondeamos eso al grado más cercano, tenemos la respuesta a esta cuestión, que es que el ángulo de elevación es de 32 grados. Así que, como hicimos anteriormente comenzamos con un diagrama, identificamos los lados del triángulo rectángulo y luego usamos la razón tangente para hallar este ángulo faltante.

Bien, la cuestión final que vamos a ver dice que Sue está a cuatro metros y medio de una estatua. El ángulo de elevación desde Sue hasta la base de la estatua es de 18 grados. El ángulo de elevación desde Sue hasta la parte superior de la estatua es de 49 grados. Se nos pide calcular la altura de la estatua.

Por lo tanto, pensemos detenidamente en la información en esta cuestión por un momento. Nos dan dos ángulos de elevación. Y uno de ellos está en la base de la estatua, lo que significa que esta estatua no está plana en el suelo con Sue. Está a cierta altura del suelo. Por lo tanto, debemos tener esto en cuenta cuando dibujamos nuestro diagrama. Y la situación se ve así. Tenemos a Sue de pie en el suelo y está mirando hacia la estatua. También dibujaremos una línea horizontal para el suelo.

Agreguemos ahora la información que conocemos. Sue está parada a cuatro metros y medio de distancia. Es decir que la distancia horizontal aquí es de cuatro metros y medio. También nos dan dos ángulos de elevación. El ángulo de elevación desde Sue hasta la base es de 18 grados. Que es este ángulo de aquí. Y el ángulo de elevación desde Sue hasta la parte más alta de la estatua es de 49 grados. Entonces, ese es todo este ángulo aquí, medido desde la horizontal. Y lo que queremos calcular es la altura de la estatua. Por lo tanto, queremos calcular esta distancia de aquí, a la que nos vamos a referir como 𝑥 metros.

Ahora bien, esa longitud 𝑥 no está en realidad en un triángulo rectángulo. Y necesitamos triángulos rectángulos para este tipo de trigonometría. Por lo tanto, vamos a realizar un proceso de dos etapas para calcular esta longitud 𝑥. Hay dos triángulos rectángulos en el diagrama. Lo que vamos a hacer es dibujarlos por separado para que podamos visualizar el problema un poco más fácilmente.

Y, aquí están esos dos triángulos rectángulos. Comparémoslos con el diagrama. Esta longitud de aquí, a la que llamaremos 𝑦, es esta longitud en el diagrama original. Ese es el triángulo rectángulo más pequeño en la parte inferior. Esta longitud de aquí en el triángulo más grande, a la que llamaremos 𝑧, es la longitud total aquí en el diagrama. Así que tal vez puedas ver ahora cuál será mi estrategia. Vamos a usar estos dos triángulos rectángulos para calcular 𝑦 y 𝑧. Y luego, mirando el diagrama, puedes ver que 𝑥 será la diferencia entre estos dos valores. Entonces, 𝑥 será 𝑧 menos 𝑦.

Primero que nada, en cada uno de estos triángulos, voy a nombrar los tres lados, la hipotenusa, el lado opuesto y el lado contiguo en relación con estos ángulos de 18 y 49 grados. Entonces, en ambos casos, conocemos el contiguo y queremos calcular el lado opuesto lo que significa que vamos a usar la tangente otra vez. Acordémonos, pues de la fórmula de la tangente. La fórmula dice que tan de 𝜃 es igual al lado opuesto dividido por el lado contiguo.

Y vamos a aplicar esto dos veces. Comenzando con el triángulo más pequeño, reemplazamos 𝜃 con 18 grados y reemplazamos el lado contiguo con 4.5. Obtenemos que tan de 18 es igual a 𝑦 sobre 4.5. El primer paso para resolver esta ecuación es multiplicar ambos lados de la ecuación por 4.5 porque está en el denominador. Esto nos da que 𝑦 es igual a 4.5 tan 18. Y acabo de escribir los dos lados de la ecuación al revés. Si evaluamos esto en la calculadora, es un valor de 1.46. Pero lo vamos a mantener exacto por ahora porque necesitamos usar 𝑦 nuevamente más adelante en la cuestión. Y si lo mantenemos así, será un valor exacto y no incluiremos ningún error de redondeo.

Veamos ahora el segundo triángulo. Y nuevamente, escribimos la fórmula de la tangente, pero completando la información que conocemos. Por lo tanto, 𝜃 se reemplazará con 49 y el lado contiguo se reemplazará con 4.5. Tenemos tan de 49 es igual a 𝑧 sobre 4.5. Como en el triángulo anterior, ahora necesitamos multiplicar ambos lados de esta ecuación por 4.5. Y así, tenemos que 𝑧 es igual a 4.5 tan 49. Ahora, nuevamente, si evaluara eso, es un valor de aproximadamente 5.18. Pero lo mantendré así por ahora.

Bien, el paso final es calcular la altura de esta estatua, que era 𝑥. Y recuerda que dijimos que para hacer eso, necesitaríamos hacer 𝑧 menos 𝑦. Entonces, tenemos 𝑥 igual a 4.5 tan 49 menos 4.5 tan 18. Y esta es el paso en el que voy a usar mi calculadora para evaluar esto. Hallamos que 𝑥 es igual a 3.7145. Ahora, esta respuesta está en metros. Por lo tanto, si la redondeamos a la centésima más cercana, será el centímetro más cercano. Esto nos dice que la altura de la estatua es 3.71 metros.

Vimos, en esta cuestión, que elaborar correctamente un diagrama al principio es realmente importante. No asumimos que la estatua está parada en el mismo terreno plano que Sue. Tuvimos que leer la cuestión con atención y deducir que en realidad está más alta que ella.

En resumen, hemos visto qué son los ángulos de elevación y los ángulos de depresión. Y hemos visto cómo usar la tangente para responder cuestiones que involucran el cálculo de un opuesto ángulo de elevación o de depresión o el cálculo de una longitud faltante a partir de una descripción.

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