Vídeo: El área de un círculo

La definición del área de un círculo. Halla el área de un círculo dados su radio o su diámetro. Halla el diámetro o el radio de un círculo dada su área. Halla un número específico de cifras decimales o expresa las respuestas en términos de 𝜋.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a ver cómo calcular el área de un círculo. Cuando decimos el área de un círculo, nos referimos a la cantidad de superficie que ocupa el círculo. Ahora, hay dos medidas que debemos tener en cuenta cuando trabajamos con círculos. La primera es el diámetro del círculo, que es un segmento que empieza en un punto de la circunferencia, es decir, en el borde del círculo y se prolonga hasta el extremo opuesto pasando por el centro del círculo. Por ejemplo, un segmento como el que hemos dibujado aquí, el que está indicado con la letra 𝑑 de diámetro. La otra medida que debemos tener en cuenta es la del segmento que empieza en el borde del círculo y llega hasta el centro del círculo.

Son pues, segmentos, como el que hemos dibujado aquí, este es un radio del círculo y está representado por la letra 𝑟. Queremos ver cómo calcular el área. Y existe una fórmula que podemos utilizar para hacer esto, y es esta fórmula de aquí, la cual nos dice que el área del círculo es igual a 𝜋 multiplicado por 𝑟 al cuadrado, en donde 𝑟 representa el radio como hemos dicho. El número 𝜋 es un número muy especial en matemáticas debido a su relación con los círculos. Es un número irracional, lo que quiere decir que su representación decimal tiene una secuencia infinita de dígitos que no se repiten. Así que, si intentáramos escribirlo en su forma decimal, estaríamos aquí para siempre. Pero es suficiente saber que 𝜋 es aproximadamente igual a 3.14. Y a veces nos piden que usemos este valor 3.14 como una aproximación y no el valor exacto de 𝜋.

Ahora que vemos la fórmula, es realmente importante notar que solo el radio está al cuadrado. No es 𝜋 multiplicado por el radio y después elevado al cuadrado. Es el cuadrado del radio y luego multiplicado por 𝜋. Y podemos ver esto si pensamos en el orden de las operaciones, las potencias antes de la multiplicación. Esa es la fórmula. Vamos a ver cómo podemos usarla en nuestras preguntas. Aquí tenemos un círculo y queremos calcular su área. Ahora podemos ver que el radio del círculo ha sido marcado para nosotros, es 5.2 centímetros, así que solo necesitamos recordar nuestra fórmula para el área. La fórmula del área es igual a 𝜋𝑟 al cuadrado. Y solo tenemos que sustituir el valor de 5.2 en esta fórmula del área.

Tenemos, pues, que el área es igual a 𝜋 multiplicado por 5.2 al cuadrado. Recordemos que solo estamos elevando al cuadrado 5.2, no 𝜋. Y esto nos da un valor de 27.04𝜋 inicialmente. Esto es a lo que nos referimos cuando decimos que expresamos la respuesta en términos de 𝜋 o como un múltiplo de 𝜋, lo cual es muy útil cuando no tenemos una calculadora. Pero vamos a ir un poco más lejos y vamos a evaluar esto multiplicando 27.04 por 𝜋. Y esto nos da un valor de 84.9 redondeado a una cifra decimal. Notamos que las unidades son centímetros cuadrados porque es un área lo que estamos calculando. Muy bien, vamos a la segunda pregunta.

Tenemos un círculo diferente. Y nuevamente queremos hallar su área.

Si observamos cuidadosamente vemos que no nos han dado el radio esta vez. Nos han dado el diámetro, la distancia a través del círculo. Recordemos que nuestra fórmula para el área del círculo utiliza el radio. Esta área es igual a 𝜋𝑟 al cuadrado. Por lo tanto, si el diámetro de la circunferencia es cinco, el radio será la mitad de este valor. Es decir 2.5, porque el radio es siempre la mitad del diámetro. Por lo tanto, tenemos que 𝑟 es igual a 2.5 centímetros.

Ahora podemos sustituir los valores en nuestra fórmula. Sabemos que el área es igual a 𝜋 multiplicado por 2.5 al cuadrado. Y si queremos expresar nuestra respuesta como múltiplo de 𝜋, es 25𝜋 sobre cuatro, o podemos evaluarlo como un decimal. Y esto nos da el valor de 19.6 centímetros cuadrados con una cifra decimal. Por lo tanto, cuando nos dan un círculo, debemos tener muy claro al mirar la pregunta por primera vez ¿nos han dado el radio o nos han dado el diámetro? Y recordemos que para usar la fórmula del área necesitamos el radio. Pasemos a otro tipo de pregunta.

La pregunta dice que el área de un círculo es 28.3 centímetros cuadrados. Halla el diámetro del círculo al centímetro más cercano.

Este es un ejemplo de una pregunta en donde debemos trabajar hacia atrás, empezando con el área para después calcular el radio o el diámetro. Así que vamos a escribir nuestra fórmula del área para comenzar. Recordemos que el área es igual a 𝜋𝑟 al cuadrado y la pregunta nos dice que este valor es 28.3. Lo que significa que queremos escribir una ecuación usando el área del círculo que nos han dado y la fórmula del área. Esta es nuestra ecuación 𝜋𝑟 al cuadrado es igual a 28.3. Ahora tenemos que resolver esta ecuación para hallar el valor de 𝑟. La pregunta no me pide 𝑟; me pide el diámetro, pero recordemos que el uno y el otro están estrechamente relacionados. Por tanto, si tenemos el radio, podemos hallar el diámetro duplicándolo.

Lo primero que tenemos que hacer es dividir ambos lados de la ecuación por 𝜋. Hallamos que 𝑟 al cuadrado es igual a 28.3 sobre 𝜋. El siguiente paso, tenemos 𝑟 al cuadrado y queremos hallar 𝑟, entonces necesitamos hallar la raíz cuadrada para obtener 𝑟. Hallando la raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación, obtenemos que 𝑟 es igual a la raíz cuadrada de 28.3 sobre 𝜋, y en este punto necesitamos una calculadora para evaluar este valor. Cuando lo escribimos en la calculadora, debemos asegurarnos de que estamos hallando la raíz cuadrada de toda esta fracción aquí, no solo la raíz cuadrada de 28.3 para luego dividir el resultado por 𝜋. Debe ser la raíz cuadrada de toda la fracción. Podemos usar paréntesis en la calculadora o el botón de fracción para asegurarnos de que el cálculo es correcto.

Entonces cuando hacemos los cálculos obtenemos 3.00136, etcétera, para el radio. Recordemos que nos pidieron el diámetro, así que necesitamos duplicar esto para obtener su valor. Al duplicarlo obtenemos 6.0027, y la pregunta nos pide el valor al centímetro más cercano. Por lo tanto, nuestra respuesta es que el diámetro del círculo es seis centímetros, al centímetro más cercano.

Así que podemos trabajar de las dos formas. Podemos calcular el área del círculo partiendo de su radio o diámetro, o podemos hacerlo hacia atrás empezando por el área para calcular el radio o el diámetro. En este último caso, se trata solamente de formar una ecuación a partir de la información que nos dan. De acuerdo. Resolvamos ahora un problema.

Este problema dice que se espera que una tormenta impacte un área de siete millas en todas las direcciones alrededor de un pequeño pueblo. Dando la respuesta en términos de 𝜋, calcula el área total que la tormenta afecta.

Algo que debemos tener en cuenta en esta pregunta es que se nos pide expresar la respuesta en términos de 𝜋, lo que significa que nuestra respuesta final no debe ser como decimal, sino que debe incluir 𝜋. Suele ser útil hacer un diagrama rápido. Aquí está el pueblo y nos han dicho que la tormenta va a impactar siete millas en todas las direcciones. Por lo tanto, formará un círculo con un radio de siete alrededor de este pueblo. Esta es nuestra fórmula del área, el área es igual a 𝜋𝑟 al cuadrado. De modo que será 𝜋 multiplicado por, en este caso, siete al cuadrado. Y aquí la tenemos, el área es 𝜋 veces siete al cuadrado. Siete al cuadrado es 49, así que el área es igual a 49𝜋. Y nos detenemos aquí porque la pregunta nos pide expresar nuestra respuesta en términos de 𝜋.

Así que tal vez este es el tipo de pregunta que queremos responder sin una calculadora porque no se necesita de una para saber cuánto es siete al cuadrado. Y en realidad no debemos multiplicar 49 por 𝜋, debemos dejar la respuesta así. Necesitamos algunas unidades, las unidades en la pregunta son millas. Por lo tanto, nuestra respuesta para el área estará expresada en millas cuadradas. Así que nuestra respuesta en términos de 𝜋 es: la tormenta afectará un área de 49𝜋 millas cuadradas.

Continuamos con la siguiente pregunta.

Un colgante está hecho de plata. Calcula el área de la cara del colgante. Y tenemos un diagrama aquí, en donde el colgante es esta parte sombreada aquí.

Así que este colgante es un círculo grande que contiene un círculo más pequeño cortado en el medio. La parte cuya área tenemos que calcular tiene una forma similar a una rosquilla. Por lo tanto, podemos hacer esto hallando el área del círculo más grande y restándole después el área del círculo más pequeño. El círculo más grande, si lo pensamos bien, tiene este radio aquí y ese radio, bueno, son dos centímetros más un centímetro. Entonces el círculo más grande tiene un radio de tres centímetros. Y nuestra fórmula para el área es 𝜋𝑟 al cuadrado. Y vamos a hacer el área grande menos el área pequeña. Por lo tanto, solo tenemos que sustituir el valor de los radios.

Para el círculo más grande es 𝜋 multiplicado por tres al cuadrado y para el pequeño es 𝜋 multiplicado por dos al cuadrado. Si evaluamos cada uno de estos, tenemos nueve 𝜋 menos cuatro 𝜋. Y nueve 𝜋 menos cuatro 𝜋 es igual a cinco 𝜋. No me han pedido expresar la respuesta en términos de 𝜋, por eso la expresaré en forma decimal. Y usando mi calculadora, obtengo una respuesta de 15.7 centímetros cuadrados con una cifra decimal. Y esto es el área de este colgante.

Bien, ahora la última pregunta que vamos a contestar en este video.

El dibujo muestra un cuadrado de 12 centímetros de lado con un semicírculo en uno de sus lados y un cuarto de círculo en otro. Nos piden calcular el área total de esta figura.

Tenemos, pues, un cuadrado de 12 centímetros, así que vamos a añadir la información al diagrama. Listo. Necesitamos el área total, tenemos tres áreas que calcular, un cuadrado, un semicírculo y un cuarto de círculo. El cuadrado es el más fácil, así que empecemos por él. Para hallar el área del cuadrado, necesitamos multiplicar 12 por 12. Lo que es igual a 144 centímetros cuadrados. Ahora pasemos al semicírculo. Vamos a necesitar nuestra fórmula del área, la cual nos dice que el área es igual a 𝜋𝑟 al cuadrado. Pensemos en el radio de este círculo. La longitud total del lado del cuadrado es de 12 centímetros. El radio del círculo, por lo tanto, esta parte de aquí, debe ser igual a seis centímetros.

Para hallar el área de este semicírculo, podemos calcular el área de un círculo completo de radio seis, pero después tendremos que dividirlo por dos ya que necesitamos solo la mitad del círculo. Por lo tanto, el área del semicírculo es igual a 𝜋 multiplicado por seis al cuadrado dividido por dos. Y si inicialmente lo calculamos como un múltiplo de 𝜋, nos da 18𝜋 como el área del semicírculo. Ahora resolvamos el cuarto de círculo. Para calcular el área del cuarto de círculo, podemos hallar el área de un círculo completo y después dividirlo por cuatro. Bien, el radio del cuarto de círculo, que es esta parte aquí, es igual a la longitud de lado del cuadrado. Entonces el radio esta vez es de 12 centímetros. Para calcular el área, multiplicamos 𝜋 por 12 al cuadrado, y luego debemos dividirlo por cuatro, ya que es solo un cuarto de círculo. Nuevamente, trabajamos esto solo en términos de 𝜋 inicialmente. Lo que nos da un área de 36𝜋 para ese cuarto de círculo.

Por último, calculamos el área sumando estas tres áreas individuales. Tenemos 114 más 18𝜋 más 36𝜋, lo que nos da un resultado de 144 más 54𝜋 centímetros cuadrados, esto si expresamos nuestra respuesta en términos de 𝜋. Pero vamos a evaluarla como un decimal, lo que nos da una respuesta final de 313.6 centímetros cuadrados con una cifra decimal.

Así que hemos analizado el cálculo del área del círculo a partir del radio o del diámetro. Hemos visto también cómo trabajar hacia atrás empezando con el área hasta calcular el radio o el diámetro, y hemos visto también un par de problemas que requieren calcular áreas de círculos.

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