Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo simplificar expresiones trigonométricas aplicando identidades trigonométricas..
Para ello, conviene recordar que una identidad es una ecuación que es verdadera independientemente de los valores que se elijan para las variables independientes. Vamos a usar combinaciones de identidades trigonométricas, por ejemplo, las identidades de cofunción, identidades de traslación y las identidades pitagóricas. Antes de ver algunos ejemplos específicos, vamos a repasar las propiedades de la circunferencia unitaria o goniométrica.
Como ya sabemos, la circunferencia unitaria es una circunferencia de radio uno, como se muestra. Esta circunferencia nos permite determinar el valor del seno, el coseno o la tangente de cualquier ángulo 𝜃, donde 𝜃 se mide en el sentido contrario a las agujas del reloj desde el semieje 𝑥 positivo. La abscisa 𝑥 de un punto cualquiera en la circunferencia unitaria es igual al coseno de 𝜃 y la ordenada 𝑦 es igual al seno de 𝜃. Para hallar la primera identidad pitagórica, usamos el triángulo rectángulo en nuestro diagrama junto con el teorema de Pitágoras. Obtenemos seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 igual a uno.
Si recordamos las funciones trigonométricas recíprocas, podemos formar otras dos identidades pitagóricas. Las tres funciones recíprocas son cosecante, secante y cotangente, donde cosecante 𝜃 es igual a uno entre seno de 𝜃, secante de 𝜃 es igual a uno entre coseno de 𝜃 y cotangente de 𝜃 es igual a uno entre tangente de 𝜃. Y como tangente de 𝜃 es igual a seno de 𝜃 entre coseno de 𝜃, entonces cotangente de 𝜃 es igual a coseno de 𝜃 entre seno de 𝜃. Dividimos ambos lados de nuestra primera identidad pitagórica por coseno al cuadrado de 𝜃, y obtenemos que seno al cuadrado de 𝜃 partido por coseno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 partido entre coseno al cuadrado de 𝜃 es igual a uno entre coseno al cuadrado de 𝜃. Aplicamos las identidades recíprocas, y obtenemos la expresión simplificada tangente al cuadrado de 𝜃 más uno igual a secante al cuadrado de 𝜃.
Del mismo modo, podemos dividir ambos lados de la primera identidad por seno al cuadrado de 𝜃. Y obtenemos uno más cotangente al cuadrado de 𝜃 es igual a cosecante al cuadrado de 𝜃. Hemos obtenido un conjunto de tres identidades pitagóricas que vamos a usar, junto con las identidades recíprocas, para resolver un par de ejemplos.
Simplifica seno de 𝜃 multiplicado por cosecante de 𝜃 menos coseno al cuadrado de 𝜃.
En este problema nos piden que simplifiquemos una expresión trigonométrica. Y, para hacerlo, hemos de aplicar las identidades recíprocas y pitagóricas. Aunque, en cuestiones de este tipo, no siempre está claro cuál debemos aplicar primero. Pero, como regla general, conviene empezar sustituyendo las funciones recíprocas por la función seno, coseno o tangente.
Sabemos que cosecante de 𝜃 es igual a uno partido entre seno de 𝜃. Sustituimos esto en nuestra expresión, y obtenemos seno de 𝜃 multiplicado por uno partido por seno de 𝜃 menos coseno al cuadrado de 𝜃. El seno de 𝜃 en el numerador y denominador de nuestro primer término se cancela, así que nos queda uno menos coseno al cuadrado de 𝜃. Recordemos ahora la primera identidad pitagórica: seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 igual a uno. Restamos coseno al cuadrado de 𝜃 de ambos lados, y reescribimos la expresión como seno al cuadrado de 𝜃 igual a uno menos coseno al cuadrado de 𝜃. Por lo tanto, podemos reescribir nuestra expresión como seno al cuadrado de 𝜃. La expresión seno de 𝜃 multiplicado por cosecante de 𝜃 menos coseno al cuadrado de 𝜃, en su forma más simple, es seno al cuadrado de 𝜃.
Veamos un segundo ejemplo de este tipo.
Simplifica seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 dividido por cosecante al cuadrado de 𝜃 menos cotangente al cuadrado de 𝜃.
Para poder resolver este problema, tenemos que recordar las identidades pitagóricas. En primer lugar, sabemos que seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 es igual a uno. Dividimos cada término por seno al cuadrado de 𝜃, y, usando lo que sabemos sobre las funciones trigonométricas recíprocas, obtenemos que uno más cotangente al cuadrado de 𝜃 es igual a cosecante al cuadrado de 𝜃. Fíjate en que el lado izquierdo de la primera identidad es idéntico al numerador de nuestra expresión. Restamos cotangente al cuadrado 𝜃 de ambos lados de la segunda identidad, y obtenemos que uno es igual a cosecante al cuadrado de 𝜃 menos cotangente al cuadrado de 𝜃. Vemos que el lado derecho de esta identidad es igual al denominador de nuestra expresión.
Como seno al cuadrado 𝜃 más coseno al cuadrado 𝜃 es igual a uno y cosecante al cuadrado 𝜃 menos cotangente al cuadrado 𝜃 también es igual a uno, nuestra expresión se simplifica a uno dividido por uno. Que es uno. La expresión seno al cuadrado 𝜃 más coseno al cuadrado 𝜃 partido por cosecante al cuadrado 𝜃 menos cotangente al cuadrado 𝜃 es igual a uno.
Para resolver el último problema, hemos de repasar primero las identidades de cofunción y las identidades de traslación. Comencemos considerando la circunferencia unitaria. Como los ángulos en un triángulo suman 180 grados, el tercer ángulo en nuestro triángulo rectángulo es igual a 90 grados menos 𝜃. Veamos lo que sucede si volvemos a dibujar este triángulo de modo que el ángulo entre el semieje 𝑥 positivo y la hipotenusa sea 90 grados menos 𝜃. Las coordenadas del punto marcado en la circunferencia goniométrica son coseno de 90 grados menos 𝜃, seno de 90 grados menos 𝜃. Podemos ver que la distancia en la dirección 𝑥 ahora es la misma que la distancia en la dirección 𝑦 en el primer triángulo. Esto significa que coseno de 90 grados menos 𝜃 debe ser igual a seno de 𝜃. Análogamente, seno de 90 grados menos 𝜃 es igual a coseno de 𝜃.
Como seno de 𝜃 entre coseno de 𝜃 es igual a tangente de 𝜃, la tangente de 90 grados menos 𝜃 es igual a coseno de 𝜃 entre seno de 𝜃. Aplicando lo que sabemos sobre las funciones recíprocas, vemos que esto es igual a cotangente de 𝜃. Por lo tanto, secante de 90 grados menos 𝜃 es igual a cosecante de 𝜃. Cosecante de 90 grados menos 𝜃 es igual a secante de 𝜃. Y cotangente de 90 grados menos 𝜃 es igual a tangente de 𝜃. Estas seis identidades se denominan identidades de cofunción.
También podemos usar la circunferencia unitaria para hallar identidades con ángulos tales como 180 grados menos 𝜃, 180 grados más 𝜃 y 360 grados menos 𝜃. En nuestro último ejemplo, vamos a hacer uso de estas identidades y de las identidades pitagóricas para simplificar una expresión.
Simplifica uno más cotangente al cuadrado de tres 𝜋 partido por dos menos 𝜃, todo dividido por uno más tangente al cuadrado de 𝜋 partido por dos menos 𝜃.
Para resolver este problema hemos de usar una combinación de identidades trigonométricas. Podemos tomar varios caminos para comenzar. Sin embargo, vamos a comenzar tratando de reescribir la expresión simplemente en términos de 𝜃. Dibujamos la circunferencia goniométrica, y recordamos que 𝜋 radianes es igual a 180 grados. Esto significa que 𝜋 entre dos radianes es igual a 90 grados. Por lo tanto, el denominador de nuestra expresión puede reescribirse como uno más tangente al cuadrado de 90 grados menos 𝜃. Una de nuestras identidades de cofunción dice que tangente de 90 grados menos 𝜃 es igual a cotangente 𝜃. Esto significa que tangente al cuadrado de 90 grados menos 𝜃 es igual a cotangente al cuadrado de 𝜃. Por lo tanto, el denominador de nuestra expresión es uno más cotangente al cuadrado de 𝜃.
Consideremos ahora el ángulo tres 𝜋 entre dos menos 𝜃. Si observamos la circunferencia unitaria, podemos ver que tres 𝜋 entre dos radianes es igual a 270 grados. Esto significa que el numerador de nuestra expresión es igual a uno más cotangente al cuadrado de 270 grados menos 𝜃. Si el ángulo 𝜃 está en el primer cuadrante, como se muestra en nuestro triángulo rectángulo, entonces tres 𝜋 sobre dos menos 𝜃, o 270 grados menos 𝜃, está en el tercer cuadrante. A partir del diagrama podemos ver que coseno de tres 𝜋 entre dos menos 𝜃 es igual a menos seno de 𝜃, y que seno de tres 𝜋 entre dos menos 𝜃 es igual a menos coseno de 𝜃. Como seno de 𝜃 entre coseno de 𝜃 es tangente de 𝜃 y coseno de 𝜃 entre seno de 𝜃 es cotangente de 𝜃, entonces cotangente de 270 grados menos 𝜃 es igual a tangente de 𝜃. Elevando al cuadrado ambos lados de esta identidad, obtenemos que el numerador de nuestra expresión es uno más tangente al cuadrado de 𝜃.
Recordemos ahora dos de las identidades pitagóricas. Tenemos que tangente al cuadrado de 𝜃 más uno es igual a secante al cuadrado 𝜃. Y que uno más cotangente al cuadrado de 𝜃 es igual a cosecante al cuadrado de 𝜃. Nuestra expresión se simplifica a secante al cuadrado de 𝜃 partido por cosecante al cuadrado de 𝜃. Que puede reescribirse como secante al cuadrado de 𝜃 multiplicado por uno partido entre cosecante al cuadrado de 𝜃. Por las identidades de reciprocidad, sabemos que secante 𝜃 es igual a uno entre coseno de 𝜃 y que cosecante de 𝜃 es igual a uno entre seno de 𝜃, así que obtenemos uno partido por coseno al cuadrado de 𝜃 multiplicado por seno al cuadrado de 𝜃, que puede reescribirse como seno al cuadrado de 𝜃 sobre coseno al cuadrado de 𝜃, que, a su vez, es igual a tangente al cuadrado de 𝜃. La expresión uno más cotangente al cuadrado de tres 𝜋 partido entre dos menos 𝜃, todo entre uno más tangente al cuadrado de 𝜋 partido entre dos menos 𝜃 es, en su forma más simple, igual a tangente al cuadrado de 𝜃.
Resumamos los puntos principales de los que hemos hablado en este vídeo. En esta lección hemos aprendido a simplificar expresiones trigonométricas usando una variedad de identidades trigonométricas. Hemos usado las tres identidades pitagóricas, seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 es igual a uno, tangente al cuadrado de 𝜃 más uno es igual a secante al cuadrado de 𝜃, y uno más cotangente al cuadrado de 𝜃 es igual a cosecante al cuadrado de 𝜃. También hemos usado las identidades de reciprocidad cosecante de 𝜃 es igual a uno sobre seno de 𝜃, secante de 𝜃 es igual a uno sobre coseno de 𝜃 y cotangente de 𝜃 es igual a uno sobre tangente de 𝜃. Y como tangente de 𝜃 es igual a seno de 𝜃 entre coseno de 𝜃, hemos visto que cotangente de 𝜃 es igual a coseno de 𝜃 entre seno de 𝜃.
En último lugar hemos aplicado las identidades de cofunción seno de 90 grados menos 𝜃 es igual a coseno de 𝜃 y coseno de 90 grados menos 𝜃 es igual a seno de 𝜃. Y, usando las identidades de reciprocidad de arriba, hemos obtenido las otras cuatro identidades de cofunción. En el último ejemplo hemos visto cómo podemos usar la circunferencia unitaria para obtener otras identidades trigonométricas. Hemos visto también que, a menudo, tenemos que aplicar más de una identidad trigonométrica para simplificar una expresión trigonométrica.
