Vídeo: Probabilidad en experimentos compuestos

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular e interpretar probabilidades en experimentos compuestos.

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Transcripción del vídeo

En este video vamos a aprender cómo calcular e interpretar probabilidades en experimentos compuestos. Vamos a estudiar tanto experimentos dependientes como independientes.

Cuando hablamos de las probabilidades en un experimento simple o elemental, nos referimos a las probabilidades en un experimento que no depende de ningún otro experimento. Por ejemplo, el acto de tirar una moneda es un experimento simple o elemental. Es un único experimento que tiene dos resultados posibles, cara o cruz.

Como sabes, la probabilidad del suceso A es el número de formas en las que el suceso A puede ocurrir dividido por el número de resultados posibles. Para el experimento simple consistente en el lanzamiento de una moneda resulta que la probabilidad de obtener cara es un medio. La probabilidad de que el resultado sea cara es una de las dos opciones posibles. Pero si lanzamos la moneda dos veces, ya no se cumple la definición de un experimento simple, pues no es un único experimento. Al lanzar la moneda dos veces, hemos pasado de un experimento simple a un experimento compuesto.

Así que queremos aprender cómo calcular las probabilidades en experimentos compuestos. Las probabilidades en un experimento compuesto siguen siendo igual al número de resultados favorables dividido entre todos los resultados posibles. No obstante, para calcularlas vamos a tener que realizar algún trabajo adicional. Veamos una cuestión en la que se nos pide calcular probabilidades en un experimento compuesto.

Si lanzamos una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara las dos veces?

Como ya hemos dicho, la probabilidad aquí es el número de resultados favorables dividido por el número de resultados posibles. La moneda es lanzada dos veces. Podemos usar un diagrama de árbol para representar todos los resultados posibles. En el primer lanzamiento, hay dos resultados posibles, cara o cruz. La probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento es un medio. Y la probabilidad de obtener cruz en el primer lanzamiento es un medio.

Consideremos ahora dos situaciones posibles. Veamos qué puede pasar en el segundo lanzamiento cuando el primero dio como resultado cara. El segundo lanzamiento solo puede resultar en cara o cruz también, y, además, la probabilidad de que sea cara es un medio y la probabilidad de que sea cruz es también un medio. Si el primer lanzamiento dio como resultado cruz, el segundo lanzamiento podría igualmente resultar en cara o cruz solamente. Y cada una de esas opciones tiene una probabilidad de un medio.

A partir del diagrama de árbol, podemos ver todos los posibles resultados, cara, cara; cara, cruz; cruz, cara; o cruz, cruz. Queremos hallar la probabilidad de obtener cara en ambos lanzamientos. Y eso ocurre en uno solo de los cuatro posibles resultados. Podemos ver que la probabilidad de obtener cara la primera vez es un medio y que la probabilidad de obtener cara la segunda vez es también un medio.

Para hallar la probabilidad de obtener cara las dos veces, debemos calcular primero la probabilidad de obtener cara en la primera tirada y luego multiplicar el resultado por la probabilidad de que nos salga cara en la segunda tirada. Un medio por un medio es un cuarto. Recuerda que también podemos expresar la probabilidad como un número decimal. Por lo tanto, la probabilidad de obtener cara las dos veces que lancemos una moneda es un cuarto o 0.25.

En esta otra cuestión también se nos pide calcular una probabilidad en un experimento compuesto.

Si estas dos ruletas son giradas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números en los que se detengan las flechas sea un múltiplo de cinco?

Para responder a esta pregunta tenemos que considerar como primer experimento la acción de girar la primera ruleta y como segundo experimento la acción de girar la segunda ruleta, formando así un experimento compuesto. Si queremos calcular la probabilidad de que la suma de los resultados de las ruletas sea un múltiplo de cinco, necesitamos hallar el número de los resultados que son múltiplos de cinco y dividirlo por el número total de resultados. Para ello hay varios métodos que podemos aplicar. Una de las opciones sería hacer un diagrama de árbol para representar la ruleta uno y la ruleta dos. Pero como tenemos que sumar los resultados de la ruleta uno y de la ruleta dos, una tabla sea probablemente una opción más factible.

En la primera fila y en la primera columna, suponemos que la primera ruleta se detiene en el uno y la segunda ruleta se detiene en el dos, sumamos, y esta suma daría tres. Seguidamente suponemos que la primera ruleta se detiene en el uno y la segunda ruleta se detiene en el cuatro. Esta suma sería cinco. Y completamos el resto de la tabla con las sumas correspondientes. En la tabla aparecen todos los resultados posibles. Ahora solo nos queda rodear aquellos números que son múltiplos de cinco.

De entre las 21 posibilidades que tenemos, hemos identificado cinco resultados que son múltiplos de cinco. La probabilidad de que la suma de las ruletas sea un múltiplo de cinco es, por lo tanto, cinco sobre 21. La fracción no puede simplificarse, por lo que cinco partido por 21 es la respuesta final.

Antes de seguir adelante y ver otros ejemplos, vamos a explicar un aspecto muy importante de los experimentos compuestos. Hay dos tipos de experimentos compuestos. En primer lugar, están los experimentos compuestos formados por experimentos independientes, y en segundo lugar, están los formados por experimentos dependientes entre sí. Hasta ahora, en los ejemplos que hemos visto, solo hemos considerado experimentos independientes.

Los experimentos de lanzar una moneda varias veces son experimentos independientes. Cuando lanzamos una moneda, lo que ocurre la primera vez no afecta a lo que sucede la segunda vez. El hecho de sacar cara o cruz en el primer lanzamiento no influye en la probabilidad de lo que pasará en el segundo lanzamiento. Lo mismo con las ruletas. La primera ruleta — o mejor dicho, el primer giro — no afecta para nada al resultado del siguiente giro.

Por otro lado, si tenemos una bolsa llena de canicas y calculamos la probabilidad de sacar dos canicas sin reemplazo, estamos cambiando el número de resultados del segundo evento. Para calcular la probabilidad de sacar una canica amarilla primero y una canica verde después, debemos hallar primero la probabilidad de extraer una canica amarilla. Y seguidamente calcular la probabilidad de sacar una canica verde, dado que una canica amarilla ya fue extraída.

Si tenemos dos sucesos A y B, y el hecho de que A ocurra no afecta a la probabilidad de que B ocurra, decimos que los sucesos son independientes. En ese caso, la probabilidad de que A y B ocurran es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de B. Los sucesos son dependientes si el hecho de que A ocurra sí afecta a la probabilidad de que B ocurra. En ese caso, la probabilidad de A y B es igual a la probabilidad de A por la probabilidad de B condicionada a A.

Veamos cómo calcular la probabilidad de que ocurran dos sucesos si son independientes.

Se sabe que A y B son sucesos independientes, y que la probabilidad de A es un tercio y la de B es dos quintos. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sucesos A y B ocurran?

Sabemos que estos son sucesos independientes, o sea, el hecho de que A ocurra no afecta a la probabilidad de B. Y sabemos que, en este caso, la probabilidad de que A y B ocurran es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de B. La probabilidad de A y B es, por lo tanto, igual a un tercio por dos quintos. Multiplicamos los numeradores y los denominadores, y obtenemos dos quinceavos. No podemos simplificar más. Así que esta es la respuesta final. La probabilidad de que los dos sucesos A y B ocurran es dos quinceavos.

Como ves, este problema ha sido muy fácil, pues se nos dijo que los sucesos eran independientes y se nos dieron sus probabilidades. No es siempre así de fácil. Pues en muchos casos vamos a tener que determinar si los sucesos son independientes o no. El siguiente es uno de los casos en los que vamos a tener que determinar si los sucesos son independientes o dependientes.

En una bolsa hay ocho bolas rojas, siete bolas verdes, 12 azules, 15 naranjas y siete amarillas. Si se sacan dos bolas consecutivamente sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul?

Fíjate en que son dos cosas las que se hacen, lo que significa que se trata de un experimento compuesto. Y como estamos sacando bolas de la bolsa y no hay reemplazo, es decir, no las estamos devolviendo a la bolsa. Esto significa que lo que ocurra en la primera extracción afectará a la probabilidad del segundo resultado. Y eso nos dice que estos son experimentos dependientes. Cuando queremos calcular la probabilidad en experimentos compuestos dependientes, sabemos que será igual a la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B dado que el suceso A ocurrió.

En este caso, queremos calcular la probabilidad de sacar una bola roja y luego una azul. Sabemos que la probabilidad es igual al número de resultados favorables partido por el número de resultados posibles. En primer lugar debemos calcular la probabilidad de sacar una bola roja en la primera extracción. Al inicio había ocho bolas rojas. Antes de que empezáramos a extraer bolas, había un total de siete más siete más ocho más 12 más 15 bolas en la bolsa, es decir, un total de 49 bolas. En la primera ronda, la probabilidad de sacar una bola roja es, por lo tanto, ocho sobre 49.

Si sacáramos una bola roja en la primera ronda, nos quedarían 48 bolas. Y de esas 48 bolas, 12 de ellas son azules. La probabilidad de sacar una bola roja y luego una azul sería 8 sobre 49 por 12 sobre 48. Vamos a simplificar estas fracciones antes de multiplicarlas. 12 sobre 48 se simplifica a un cuarto. Y ocho cuartos se reduce a dos sobre uno. Por lo tanto, la probabilidad de extraer una bola roja y luego una azul es dos sobre 49, que es una fracción irreducible. Así que es la respuesta final, dos 49avos.

Veamos ahora otro ejemplo en el que no se nos dice si los sucesos son independientes o dependientes.

Un meteorito cae en un campo donde hay muchas ovejas. Considerando el tamaño del meteorito, el tamaño del campo y la cantidad de espacio que ocupan las ovejas, la probabilidad de que alguna de ellas resulte herida por culpa del impacto es de uno sobre 35. Al mismo tiempo y cerca de allí, un panel cae de un helicóptero a un campo de vacas. El panel es bastante grande y el campo está repleto de vacas. Así que la probabilidad de que alguna vaca resulte heridas es un tercio. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún animal resulte herido como resultado de estos dos incidentes?

Queremos calcular una probabilidad. Y sabemos que ha habido dos incidentes. Así que sabemos que la probabilidad aquí es de experimentos compuestos. Si consideramos el impacto del meteorito y el impacto del panel de helicóptero, estos dos incidentes, ¿son experimentos independientes o dependientes? ¿Afecta el resultado del primer incidente a las probabilidades del segundo? Si una oveja resulta herida, ¿afecta eso a la probabilidad de que una vaca resulte herida?

Como el primer incidente no afecta a las probabilidades del segundo incidente, concluimos que estos experimentos son independientes. Y por lo tanto, la probabilidad de que ocurran tanto el suceso A como el B es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de B.

Queremos hallar la probabilidad de que todas las ovejas y todas las vacas sigan sanas y salvas. ¡Ojo! debemos tener en cuenta que solo se nos ha dado la probabilidad de que una oveja resulte herida. Para calcular la probabilidad de que todas las ovejas sigan sanas, podemos calcular la probabilidad de que alguna oveja resulte herida y restarla de la unidad. Si hay una posibilidad de 1 entre 35 de que alguna oveja resulte herida, hay una probabilidad de 34 entre 35 de que ninguna resulte herida. Así que tomamos esta información y la sustituimos en nuestra fórmula. La probabilidad de que las ovejas sigan todas sanas y salvas es de 34 entre 35.

Vamos a aplicar el mismo procedimiento a las vacas. La probabilidad de que ninguna de las vacas resulte herida es uno menos un tercio, que es dos tercios. Vamos a escribirlo para el suceso B. La probabilidad de que las ovejas y las vacas estén todas a salvo es igual a la probabilidad de que todas las ovejas se hayan salvado multiplicada por la probabilidad de que todas las vacas se hayan salvado. Multiplicamos 34 sobre 35 por dos tercios y obtenemos 68 sobre 105. La probabilidad de que ningún animal resulte herido como resultado de los incidentes es de 68 sobre 105. Esta fracción es irreducible, así que está en su forma final.

En este momento, debemos hacer un apunte. Las probabilidades en experimentos compuestos son probabilidades que se refieren a más de un experimento simple. Y eso significa que podemos tener más de dos experimentos a considerar. Podríamos considerar el experimento de tirar una moneda tres o 15 veces. Estos serían todos experimentos independientes. Por lo tanto, para calcular la probabilidad en experimentos independientes en los que hay más de dos experimentos, podemos seguir el procedimiento habitual. Multiplicamos la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B por la probabilidad del suceso C, etcétera

Si los sucesos son dependientes aplicamos el mismo procedimiento, pero tenemos que tener más cuidado. Para calcular la probabilidad de tres sucesos dependientes, A, B y C, calculamos la probabilidad de A por la probabilidad de B dado el suceso A. Seguidamente multiplicamos el resultado por la probabilidad de C dados A y B.

Resumamos lo que hemos aprendido en este vídeo. La probabilidad en experimentos compuestos se refiere a la probabilidad de que lo que puede ocurrir al hacer más de una cosa. Los experimentos que se componen pueden ser independientes o dependientes. Para los sucesos independientes, la probabilidad de A y B es igual a la probabilidad de A por la probabilidad de B. Para calcular la probabilidad de sucesos compuestos dependientes, decimos que la probabilidad de A y B es igual a la probabilidad de A por la probabilidad de B dado que el suceso A ocurrió.

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