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Vídeo de la lección: Fórmulas y términos de una progresión geométrica Matemáticas • Noveno grado

En este vídeo vamos a aprender cómo escribir fórmulas explícitas y fórmulas de recurrencia que sirvan para hallar el valor del término enésimo de una progresión, y cómo hallar la posición de un término conocido su valor.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender sobre progresiones geométricas. Vamos a aprender, por ejemplo, cómo hallar el término general o término 𝑛-ésimo y cómo hallar la fórmula recursiva. Y, por último, aprenderemos cómo hallar la posición de un término conocido su valor.

Lo primero que hay que saber sobre una progresión geométrica es que es una sucesión en la que el cociente entre términos consecutivos es constante. Como puedes observar, esta definición no es la de progresión aritmética, pues, en aquella, es la diferencia entre los términos la que es constante. Podemos definir una progresión geométrica de dos maneras: bien usando una fórmula de término a término, o bien usando una fórmula de posición a término. La fórmula de posición a término se conoce a menudo como fórmula del término general de la sucesión y es muy útil para hallar el valor de un término específico de la sucesión. Por ejemplo, si quisiéramos hallar el término 15 de una sucesión, podríamos calcularlo directamente sustituyendo 15 en la fórmula del término general en lugar de tener que calcular todos los términos hasta el 15 con una fórmula recursiva.

Veamos ahora cuál es la notación que usamos en las progresiones geométricas. Decimos que, si el primer término se denota con la letra 𝑎 y la razón común es 𝑟, entonces nuestra progresión tendría esta forma. El primer término es 𝑎. El segundo término es 𝑎𝑟 porque hemos multiplicado el primer término 𝑎 por la razón común 𝑟. Multiplicamos el segundo término 𝑎𝑟 por 𝑟 otra vez, y obtenemos 𝑎𝑟 al cuadrado. Podemos representar los términos usando notación de subíndice. Por ejemplo, el primer término se escribiría como 𝑎 sub uno, el segundo término se escribiría como 𝑎 sub dos, el tercero como 𝑎 sub tres, y así sucesivamente.

Así que, ¿cómo podemos hallar una fórmula que sirva para calcular el término 𝑛 -ésimo, el cual se escribe como 𝑎 sub 𝑛? Lo primero que notamos es que cada término tiene una potencia cuya base es 𝑟 y cuyo exponente es uno menos que la posición del término. Así que, el término general tendrá un coeficiente 𝑎, y el exponente de 𝑟 será uno menos que 𝑛. Por lo tanto, podemos decir que el término general de una progresión geométrica cualquiera puede escribirse como 𝑎 por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Recordemos que es solo la 𝑟 la que está elevada a 𝑛 menos uno y que no incluye la 𝑎 también. Veamos, pues, cómo podemos hacer uso de esta fórmula para hallar el término general de nuestra primera progresión geométrica.

Halla el término general de la progresión geométrica menos 76, menos 38, menos 19, menos 19 medios.

Otra forma de referirse al término general es decir término 𝑛-ésimo. Queremos hallar, pues, el término 𝑛-ésimo de esta progresión geométrica, que es una sucesión que tiene un cociente constante entre términos sucesivos. Consideremos entonces la progresión para ver qué conclusiones podemos sacar. En primer lugar, podemos ver que el primer término de la secuencia es menos 76. Cuando trabajamos con progresiones geométricas, normalmente usamos la letra 𝑎 para denotar el primer término de la sucesión. Para hallar el término 𝑛-ésimo, también tendremos que hallar 𝑟, la razón. Cuando consideramos una progresión geométrica general escrita como 𝑎, después 𝑎𝑟, seguidamente 𝑎𝑟 al cuadrado, etcétera, podemos hallar la razón 𝑟 dividiendo cualquier término por el término inmediatamente anterior.

Así que aquí vamos a tomar el segundo término, menos 38, y vamos a dividirlo por menos 76. Obtenemos que 𝑟 es igual a un medio. Y es importante tener claro que, si hubiéramos tomado dos términos distintos, por ejemplo, si hubiéramos dividido el tercer término, menos 19, por el segundo término, menos 38, también habríamos obtenido que la razón común 𝑟 es un medio. Al fin y al cabo, si el valor no fuera el mismo, entonces no tendríamos una progresión geométrica.

Muy bien, ahora que hemos hallado los valores de 𝑎 y 𝑟, vamos a recordar la fórmula general para el término enésimo de una progresión geométrica. 𝑎 sub 𝑛, que es el término 𝑛-ésimo, es igual a 𝑎 por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Lo que hemos de hacer ahora es sustituir los valores de 𝑎 igual a menos seis y 𝑟 igual a un medio en esta fórmula. Esto nos da que 𝑎 sub 𝑛 es igual a menos 76 multiplicado por un medio elevado a 𝑛 menos uno. Como no podemos simplificar más, esta es nuestra respuesta para el término general o el término 𝑛-ésimo de la progresión geométrica.

Veamos otra cuestión en la que se nos pide hallar el término 𝑛-ésimo de una progresión un poco más compleja.

Halla, en términos de 𝑛, el término general de la progresión un cuarto, nueve partido por 16, 81 partido por 64, 729 partido por 256, etcétera.

En esta cuestión se nos han dado los primeros cuatro términos de esta secuencia. No parece que haya una diferencia común entre los términos, por lo que deducimos que no es una progresión aritmética. Vamos comprobar si es una progresión geométrica, o sea, si tiene un cociente constante entre términos consecutivos, y, en ese caso, cuánto vale ese cociente constante llamado razón.

Para hallar la razón 𝑟 entre los dos primeros términos, debemos tomar el segundo término, nueve partido por 16, y dividirlo por el término anterior, un cuarto. Recordemos que dividir por un cuarto equivale a multiplicar por el recíproco, que es cuatro partido por uno. Simplificamos el cuatro en el numerador y el 16 en el denominador cancelando un factor común de cuatro. Seguidamente multiplicamos los numeradores y los denominadores. Nueve por uno es nueve, y cuatro por uno es cuatro. Vamos a comprobar si hay la misma razón entre el tercer término y el segundo término. Para ello, calculamos 81 partido entre 64 dividido por nueve partido entre 16. Podemos ver que el recíproco de nueve partido entre 16 es 16 novenos. Y simplificamos las fracciones antes de multiplicar el numerador y el denominador, lo que nos da la misma razón 𝑟 de nueve cuartos. Y, si comprobamos la respuesta, hallando lo que necesitamos para multiplicar el tercer término 81 sobre 64 y obtener el cuarto término de 729 sobre 256, obtenemos la misma respuesta de nueve cuartos.

Pensemos ahora cómo podemos hallar el término general de esta progresión. Recordemos que el término general es otra forma de decir el término 𝑛-ésimo. La fórmula general del término 𝑛-ésimo 𝑎 sub 𝑛 es 𝑎 sub 𝑛 igual a 𝑎 por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. El valor 𝑟 representa la razón y el valor 𝑎 representa el primer término de la progresión. Ya sabemos que 𝑟 es igual a nueve cuartos, y que el valor de 𝑎, el primer término de la progresión, es un cuarto. Así que tomamos estos valores de 𝑎 y 𝑟 y los sustituimos en la fórmula general. De esta forma obtenemos que 𝑎 sub 𝑛 es igual a un cuarto multiplicado por nueve cuartos elevado a 𝑛 menos uno.

Si bien esta es una respuesta perfectamente válida para el término 𝑛-ésimo de la sucesión, conviene ver si podemos simplificar más este lado derecho. Para averiguar cómo podemos simplificar esto, vamos a pensar en lo que ocurre cuando tenemos una fracción elevada a un exponente. Una fracción elevada a un exponente es equivalente al numerador elevado a ese exponente partido entre el denominador elevado a ese exponente. Si, seguidamente, consideramos estas fracciones multiplicadas, vemos que, al multiplicar los numeradores, uno por nueve elevado a 𝑛 menos uno, obtenemos el valor en el numerador de nueve elevado a 𝑛 menos uno. Al multiplicar los denominadores obtenemos cuatro por cuatro elevado a 𝑛 menos uno.

Si nos fijamos en el denominador, vemos que podemos aplicar una de las propiedades de las potencias, que dice que 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. En el denominador, el valor de 𝑥 aquí es cuatro. Y nuestros valores de 𝑎 y 𝑏, que son los exponentes, son uno y 𝑛 menos uno. Sumamos uno y 𝑛 menos uno, y obtendremos el valor de 𝑛. Así que ya tenemos nuestra respuesta completamente simplificada para el término general de esta sucesión en términos de 𝑛. Es nueve elevado a 𝑛 menos uno sobre cuatro elevado a 𝑛.

En las dos cuestiones que acabamos de resolver, hemos hallado el término 𝑛-ésimo o la fórmula explícita. En el siguiente problema vamos a hallar una fórmula de recurrencia.

Halla una fórmula de recurrencia para la sucesión 486, 162, 54, 18, seis, dos, dos tercios.

Aquí tenemos una sucesión que comienza con el número 486, y se nos pide que hallemos una fórmula recursiva. Esto significa que, en vez de una fórmula para calcular, a partir de la posición 𝑛, el valor del término de la progresión en esa posición, vamos a hallar una fórmula para hallar un término a partir del término anterior. Es decir, vamos a hallar una regla para ir de un término al siguiente. Comencemos calculando el cociente constante, la razón, entre los términos. La denotamos con la letra 𝑟. En una progresión geométrica decimos que el primer término es 𝑎, el segundo término es 𝑎 por la razón común 𝑟, el tercer término es 𝑎𝑟 al cuadrado, el cuarto término es 𝑎𝑟 al cubo, y así sucesivamente. Por lo tanto, para hallar la razón entre los términos, tomamos cualquier término y lo dividimos por el término inmediatamente anterior.

Así que vamos a tomar, por ejemplo, el segundo término, 162, y vamos a dividirlo por el término inmediatamente anterior, 486. Y si verdaderamente se trata de una progresión geométrica, como suponemos, podríamos igualmente tomar el tercer término y lo dividiríamos por el segundo término. Incluso podríamos tomar el sexto término, dos, y dividirlo por el quinto término. Vemos enseguida que dos sextos se simplifica a un tercio. Ahora bien, ¿las otras dos fracciones aquí también se simplifican a un tercio? Bueno, si tomamos 54 y sumamos 54, obtenemos 108. Y si sumamos otros 54 obtenemos 162. Por lo tanto, esta fracción también se simplifica a un tercio. 162 partido por 486 se simplifica a un tercio.

Así que la razón es un tercio. De hecho, si tomamos dos términos consecutivos cualesquiera en esta secuencia, hallamos que tenemos que multiplicar el primero por un tercio para obtener el segundo. Los términos que se nos han dado tienen una razón de un tercio. Entonces, ¿ya hemos hallado una fórmula recursiva? ¿Basta con decir que hay que multiplicar un término por un tercio para hallar el siguiente?

Bueno, casi. Lo que falta es expresar esto en forma algebraica, con una fórmula. Decimos que el primer término 𝑎 uno es igual a 486. Para hallar el segundo término, sabemos que es 486 multiplicado por la razón 𝑟 de un tercio. Por lo tanto, 𝑎 sub dos, el segundo término, es igual a un tercio de 𝑎 sub uno. Del mismo modo, si queremos hallar el tercer término y no conocemos su valor, tomamos el segundo término y lo multiplicamos por la razón 𝑟 de un tercio. Si continuamos diremos que el cuarto término será igual a un tercio multiplicado por el tercer término.

Por lo tanto, si quisiéramos hallar el 𝑛-ésimo término de esta sucesión, calcularíamos un tercio multiplicado por el término anterior, denotado por 𝑎 sub 𝑛 menos uno. Así es cómo obtenemos la fórmula recursiva, que dice que, si queremos hallar el término en la posición 𝑛 más uno de una sucesión, tenemos que multiplicar la razón común por el término en la posición 𝑛. Como puedes ver, esta fórmula es parecida a la fórmula del término 𝑛-ésimo de una sucesión, pero esta vez cada término se calcula usando el término anterior en vez del término inicial de la sucesión. En nuestra respuesta decimos que cualquier término en la sucesión 𝑎 sub 𝑛 puede calcularse multiplicando un tercio por el término anterior, 𝑎 sub 𝑛 menos uno.

En el siguiente problema se nos va a pedir hallar la posición de un término conocidos su valor y la fórmula del término 𝑛-ésimo de la progresión.

Halla la posición del término cuyo valor es 4374 en la progresión geométrica 𝑎 sub 𝑛 igual a dos tercios por tres elevado a 𝑛.

Veamos cuál es la información que nos da el enunciado. Esta fórmula de 𝑎 sub 𝑛 es la fórmula del término 𝑛 -ésimo o término general de esta progresión. Se nos pide que hallemos la posición del término cuyo valor es 4374. Eso significa que tenemos una secuencia, y en algún lugar de esta secuencia se encuentra este valor de 4374. Cuando se nos pide hallar la posición de este término significa que hemos de determinar si es el segundo término, el décimo término, el centésimo término… Eso es lo que tenemos que averiguar. Para hacerlo denotamos la posición del término como 𝑛, así que nuestro término 𝑛 -ésimo será 4374. Seguidamente, sustituimos esto en la fórmula y reorganizamos para despejar 𝑛, lo que nos dará la posición de este término.

Lo siguiente que hacemos es dividir ambos lados de la ecuación por dos tercios. En el miembro izquierdo podemos aplicar que, para dividir por una fracción, multiplicamos por su recíproco. Y en el miembro derecho tenemos tres elevado a 𝑛. Vamos a simplificar los valores del lado izquierdo. Así que hacemos 2187 multiplicado por tres, que es 6561 igual a tres elevado a 𝑛.

Y, en este paso, conviene mencionar que hay una herramienta de las Matemáticas, los logaritmos, que podríamos utilizar para resolver este problema muy fácilmente. Pero como la mayoría de los alumnos estudian los logaritmos mucho después de haber estudiado las progresiones geométricas, vamos a aplicar el método de ensayo y mejora aquí. Recuerda que una ecuación como tres elevado a 𝑛 igual a 6561 en realidad equivale a decir tres elevado a ¿qué? nos da este valor de aquí. Seguramente te sepas las primeras potencias de tres de memoria, hasta aproximadamente tres elevado a cuatro, que es igual a 81. Vamos a seguir multiplicando por tres los términos que obtenemos para así hallar algunos términos más. Si no queremos, o no podemos, usar calculadora, probablemente tendremos que usar lápiz y papel. Muy bien, hemos hallado que tres elevado a ocho es igual a 6561. Esto significa que nuestro valor de 𝑛 aquí es igual a ocho. Por lo tanto, nuestra respuesta a la pregunta cuál es la posición del término cuyo valor es 4374, es ocho, pues es el octavo término en esta progresión.

Resumamos lo que hemos aprendido en este vídeo. En primer lugar, hemos aprendido que una progresión geométrica es una sucesión en la que la razón entre términos consecutivos es constante. Si el primer término es 𝑎 y la razón es 𝑟, los términos de la progresión son 𝑎, 𝑎𝑟, 𝑎𝑟 al cuadrado, 𝑎𝑟 al cubo, etcétera. Para hallar la razón 𝑟 si se conoce el valor de los términos de una progresión geométrica, podemos dividir cualquier término por su término anterior. Por ejemplo, 𝑟 puede hallarse dividiendo el tercer término por el segundo término. La fórmula del término general o término 𝑛-ésimo de la progresión geométrica es 𝑎 sub 𝑛 igual a 𝑎 por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno.

Por último, hemos visto la fórmula recursiva, que puede escribirse como 𝑎 sub 𝑛 más uno igual a 𝑟 por 𝑎 sub 𝑛, y hemos aprendido que esto significa que, si queremos hallar el valor del término en la posición 𝑛 más uno, tenemos que multiplicar el valor del término en la posición 𝑛 por la razón 𝑟.

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