Lección: Series geométricas

En esta lección, vamos a aprender cómo derivar la fórmula para calcular sumas finitas de series geométricas y cómo usarla para resolver problemas prácticos.

Hoja de actividades • 15 Cuestiones

P1:

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Una sucesión geométrica es una lista de términos que se pueden escribir en la forma 𝑎 , 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 , , donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón (el número por el cual debes multiplicar un término de la sucesión para obtener el siguiente 𝑟 1 ).

Identifica 𝑎 y 𝑟 en la siguiente sucesión 4 , 1 2 , 3 6 , 1 0 8 , .

P2:

Vamos a obtener una fórmula para la suma de una serie geométrica. Considera la siguiente serie geométrica 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 .

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Multiplica la expresión 𝑆 por la razón 𝑟 , the common ratio.

De esta manera, obtendrás 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 and 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 .

El lado derecho de ambas ecuaciones son muy similares. Identifica los términos en los que difieren.

Ahora, considera la diferencia 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 .

Usa la respuesta anterior para simplificar 𝑆 𝑟 𝑆 .

Factoriza ambos lados de la ecuación.

Despeja 𝑆 de la ecuación anterior.

P3:

Hay dos series geométricas cuyo primer término es 3 y cuyos tres primeros términos suman 21.

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¿Cuál es la razón de estas series?

Escribe una expresión para la suma de los primeros 𝑛 términos de una sucesión cuyo primer término es 3 y tiene razón 2.

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