Lección: Usar inducción matemática para probar una fórmula de sumatorio

Matemáticas

En esta lección, vamos a aprender cómo aplicar el método de inducción matemática para probar una fórmula de sumatorio.

Hoja de actividades

P1:

Leonor está intentando demostrar la fórmula de sumatorio𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6.

Ha comprobado que la fórmula parece funcionar y ha supuesto que 𝑟=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6, y está intentando demostrar que 𝑟=(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+3)6.

Leonor sabe que necesita expresar 𝑟 en términos de su expresión para 𝑟, pero no consigue recordar bien el método. Determina cuál de las siguientes opciones es la correcta.

P2:

Noelia quiere probar, usando inducción, que 𝑓(𝑛)=2−3 es divisible por 5 para todos los números enteros 𝑛≥1.

Primero, necesita verificar el caso base cuando 𝑛=1. Sustituye 𝑛=1 en la expresión y determina el resultado cuando se divide por 5.

Noelia luego hace la suposición de que 𝑓(𝑘)=2−3 es divisible por 5. Necesita, por lo tanto, demostrar que 𝑓(𝑘+1)=2−3() es divisible por 5. Para hacer esto, considera la diferencia 𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘). Escribe esta diferencia en la forma 𝑎2−𝑏3.

En esta etapa, no está claro si 𝑓(𝑘+1) es divisible por 5. Pero Noelia se da cuenta de que puede sustituir 𝑓(𝑘) en la expresión. Escribiendo 72 como 52+22, reescribe la expresión 𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘) incorporando 𝑓(𝑘).

Reorganizando la ecuación, Noelia obtiene 𝑓(𝑘+1)=52+3𝑓(𝑘). Entonces llega a la siguiente conclusión: Si la suposición de que la expresión es divisible por 5 cuando 𝑛=𝑘 es correcta, entonces hemos demostrado que la expresión es divisible por 5 cuando 𝑛=𝑘+1. Como hemos demostrado que la expresión es divisible por 5 cuando 𝑛=1, hemos demostrado por inducción matemática que la expresión es divisible por 5 para todos los enteros 𝑛≥1.

¿Es correcta la conclusión de Noelia ?
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