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Lección: Concavidad y puntos de inflexión Matemáticas

En esta lección, vamos a aprender cómo determinar la concavidad de una función y sus puntos de inflexión usando su segunda derivada.

Plan de la lección

Los alumnos podrán

  • comprender cuál es la relación de la segunda derivada de una función con su concavidad y cómo aplicar el criterio de la segunda derivada,
  • hallar los intervalos en los que una función es cóncava y en los que es convexa,
  • comprender la relación entre los puntos de inflexión y la concavidad,
  • hallar los puntos de inflexión de una función.

Hoja de actividades de la lección

P1:

Halla los puntos de inflexión de 𝑓(𝑥)=−2𝑥+5𝑥.

P2:

Decimos que una función es algebraicamente cóncava si 𝑓(𝑐)<(1−𝑡)𝑓(𝑎)+𝑡𝑓(𝑏) para todo punto 𝑐=(1−𝑡)𝑎+𝑡𝑏 situado entre 𝑎 y 𝑏 en el eje de abscisas. Las restricciones son 0≤𝑡≤1 y 𝑎<𝑏. Decimos que hay concavidad geométrica —que es como se llama en este contexto a la concavidad usual— cuando la pendiente de la gráfica se incrementa con 𝑥. Y este ejercicio es para demostrar que concavidad geométrica implica concavidad algebraica.

Con 𝑎<𝑐<𝑏, si los puntos 𝐴(𝑎,𝑦), 𝐶(𝑐,𝑦) y 𝐵(𝑏,𝑦) están alineados, entonces pendientependiente𝐴𝐶=𝐶𝐵. ¿Cómo están relacionadas estas pendientes si 𝐶 está por encima de la recta ⃖⃗𝐴𝐵?

En la situación anterior, ¿qué podemos concluir si la relación entre las pendientes es la pendiente 𝐶𝐵>𝐴𝐶pendiente?

Supón ahora que 𝑓 es geométricamente cóncava y la gráfica es como se muestra.

¿Qué teorema prueba que las rectas 𝑇 y 𝑇 deben existir?

¿Cuál de nuestros supuestos nos permite decir que pendientependiente(𝑇)>(𝑇)?

¿Qué debemos concluir ahora, lo cual implica, de hecho, que 𝑓 es algebraicamente cóncava?

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